Метод быстрого счета: A potentially dangerous Request.Path value was detected from the client (?).

«Математические трюки для быстрого счета»

Фанат математики и научный журналист Ингве Фогт с детства увлекался числами и счетом. В книге «Математические трюки для быстрого счёта» (издательство «Альпина нон-фикшн»), переведенной на русский язык Анастасией Наумовой, Фогт собрал интересные способы быстро решать арифметические задачи. От читателя не требуется ничего, кроме знания базовых правил арифметики. N + 1 предлагает ознакомиться с отрывком, посвященным методу скоростного счета в уме, который был придуман бежавшим из России инженером и математиком Яковом Трахтенбергом.


Супербыстрый


швейцарский метод сложения

Я никогда не забуду ту радость, с которой получил от отца в подарок волшебную книгу Микаэля Шрёдера «Молниеносный счет в уме» (Lynregning). Мне было 14 лет, я все детство мечтал о волшебной книге, способной научить меня считать в уме, и теперь даже задрожал от восторга. Передо мной лежала книга, где рассказывалось о таких приемах, о которых я и не подозревал. Помимо прочего, там говорилось о способе складывать огромные числа без особого труда. Если в совершенстве овладеть этим способом, складывать числа можно намного быстрее и веселее, чем если пользоваться классическим школьным приемом.

Этот новый метод сложения был изобретен беженцем из России, которому лишь благодаря чуду удалось выжить в нацистском концлагере и добраться до Швейцарии. Бедный, как церковная крыса, Трахтенберг всего за несколько лет успел усовершенствовать методы расчетов, использовавшиеся в швейцарских банках. Яков Трахтенберг с детства имел склонность к математике. Он родился в 1888 г. в Одессе, в обеспеченной семье. В 1912-м Трахтенберг получил должность главного инженера на Обуховском заводе в Санкт-Петербурге, где строились военные суда для российского флота. В 1917-м к власти в России пришли коммунисты. Трахтенберг, убежденный пацифист, обрадовался, узнав, что теперь завод будет выпускать тракторы. Но спустя некоторое время Трахтенберга обвинили в пособничестве царскому режиму. Ему чудом удалось спастись: переодевшись крестьянином, он бежал из страны. В 1919 г. Яков приехал в Берлин и начал жизнь с чистого листа.

Через несколько лет он женился на еврейской девушке, но с приходом к власти Гитлера им пришлось бежать в Австрию. Здесь Яков Трахтенберг написал труд под названием «Министерство мира» — своего рода пародию на гитлеровскую автобиографию «Моя борьба», где высмеивал фюрера и его боевых соратников. Австрийские нацисты почувствовали себя невероятно оскорбленными. В 1938 г. за день до захвата нацистской Германией Австрии Трахтенберга арестовали. Он смог сбежать и добраться до Югославии, но его опять схватили и отправили в концентрационный лагерь Заксенхаузен. Чтобы не сломаться и сохранить рассудок, Трахтенберг, несмотря на постоянные пытки и допросы, придумывал новые методы счета. Он отрывал кусочки ногтей и выскребал ими примеры на стенах барака. Его целью было разработать новую систему счисления.

В конце войны его жена раздобыла фальшивые документы и добилась перевода Якова Трахтенберга в трудовой лагерь, расположенный в Южной Германии. Оттуда они вдвоем сбежали в Швейцарию. С момента злополучного ареста в Австрии прошло семь лет. Якову Трахтенбергу вновь пришлось начинать жизнь с чистого листа. Ему хотелось поделиться своими идеями о быстром счете с другими, однако они никого не интересовали, пока Трахтенберг не стал обучать математике сына местного полицмейстера. Мальчик, сперва совершенно безнадежный, после занятия с Трахтенбергом научился умножать огромные числа на 11. За несколько лет тысячи швейцарцев освоили новый метод счета, придуманный Трахтенбергом. Этот метод приобрел такую популярность, что математик основал собственный институт, где занимались счетом в уме. И первым преподавателем в этом институте стал — кто бы вы думали? Сын полицмейстера!

Один из многих методов Трахтенберга позволяет складывать множество многозначных чисел всего за несколько секунд, проверять верность полученного ответа и, что немаловажно, находить столбец, в котором прячется ошибка, если таковая имеется.

Давайте проверим метод Трахтенберга и сложим следующие числа:

Используя классический школьный метод сложения, мы, скорее всего, сначала сложили бы числа в правом столбце (4 + 7 + 8 + 9 + 8 + 5 = 41), после чего приступили бы к следу ющим столбцам. С сегодняшнего дня и с этого самого момента вам достаточно будет складывать числа только до 11. Иначе говоря, с бо́льшими числами мы вообще не будем иметь дела. Первое правило — выделим число 11. Каждый раз, досчитав до 11, сделаем отметку, вычтем одиннадцать из имеющейся суммы и продолжим.

Для начала посмотрим на правый столбец.

4 + 7 = 11. Сделаем отметку, вычтем 11 и продолжим.
8 + 9 = 17. Здесь тоже есть 11, и еще остается 6.
6 + 8 = 14. Снова 11, и еще осталось 3.
3 + 5 = 8.

Мы выделили три раза по 11, и еще в правом столбце у нас осталось 8. Запишем два этих важных числа друг под другом. Остаток, то есть 8, запишем в одной строке, а количество чисел 11 — в другой.

Проделаем то же самое с другими столбцами. Решайте сами, хотите ли двигаться слева направо или в противоположном направлении. От порядка действий ничего не зависит. Если хотите, можете сперва подсчитать количество чисел 11 во всех столбцах. Все зависит от вашего желания. Единственное, о чем необходимо помнить, — это делать отметку каждый раз, когда сумма составит 11.

У нас появилось две новых строки. В верхней — количество единиц, а в нижней — количество чисел 11 в каждом столбце. Эти числа, единицы и одиннадцатки, нужно сложить определенным образом.

Фокус в том, чтобы записать вычисления в виде буквы L. Это означает, что в каждом столбце мы не только складываем единицы и одиннадцатки, но также учитываем количество чисел 11 в правом столбце. И, пожалуйста, не забывайте про числа в уме.

(Складываем 8 и 3 — получаем 11. Записываем число 1 и держим 1 в уме.)

(Складываем 4, 2, 3 и 1 (в уме) — получаем 10. Записываем число 0 и держим 1 в уме.)

(Складываем 5, 3, 2 и 1 (в уме) — получаем 11. Записываем число 1 и держим 1 в уме.)

(Складываем 9, 1, 3 и 1 (в уме) — получаем 14. Записываем число 4 и держим 1 в уме.)

(Складываем 1 и 1 (в уме) — получаем 2.)

Возможно, кому-то покажется, что такие расчеты занимают столько же времени, сколько традиционный метод, но, когда метод Трахтенберга внедрили в швейцарских банках, скорость работы существенно возросла. Может, вовсе не удивительно, что Швейцария получила мировую известность благодаря своим банкам?

Основные преимущества нового метода заключаются в том, что с ним, во-первых, проще проверить правильность ответа, а во-вторых, понять, в каком столбце кроется ошибка. Следовательно, если вам не повезло и вы ошиблись, вовсе не обязательно считать все заново. Вместо этого вы сразу можете перейти к столбцу с ошибкой. Чтобы найти ошибку, надо сперва вычислить общую сумму чисел в каждом столбце. Как вы, возможно, помните, вычисляя общую сумму, можно выбросить все девятки.

Начнем с общей суммы чисел в правом столбце. Здесь у нас числа 4, 7, 8, 9, 8 и 5.

4 + 7 = 11. Общая сумма цифр в числе 11 равна 2.

2 + 8 = 10. Сумма цифр в числе 10 составляет 1.

1 + 8 = 9. Не забываем выбрасывать девятки. Тогда у нас остается 5.

Сокращенная сумма цифр во втором столбце справа будет следующей: 5 + 3 + 3 = 11. Сумма цифр в числе 11 равна 2. Следовательно, 2 + 1 + 5 = 8. Последняя цифра у нас 9. Ее можно отбросить. Сокращенная сумма цифр в этом столбце составляет 8. Сокращенная сумма цифр во всех четырех столбцах составляет:

2 2 8 5

Это называется контрольным числом для всех четырех столбцов. Главное — найти взаимосвязь между числами 1, 11 и теми, что у нас в столбцах. Наслаждайтесь моментом, потому что это настоящее волшебство метода Трахтенберга. Контрольные числа каждого столбца должны совпадать с сокращенной суммой единиц и удвоенных одиннадцаток.

9 5 4 8 (единицы)
1 3 2 3 (одиннадцатки)
2 2 8 5 (контрольные числа)

Пойдем справа.

8 + 3 + 3 = 14. Сумма цифр в числе 14 составляет 5. Этот же ответ мы получили, когда вычислили контрольное число для правого столбца.

4 + 2 + 2 = 8. Сокращенная сумма цифр во всем столбце тоже составляет 8.

5 + 3 + 3 = 11. Сумма цифр в числе 11 составляет 2. Значит, все верно.

9 + 1 + 1 = 11. Сумма цифр в числе 11 составляет 2. Значит, тут тоже все правильно.

Если бы в расчетах была ошибка, мы бы сразу же увидели, в каком она столбце. Вместо того чтобы складывать числа во всех столбцах заново, нам достаточно заново пересчитать лишь один столбец. Это позволяет здорово сэкономить время! Неудивительно, что метод Трахтенберга завоевал в свое время такую популярность, ведь тогда калькуляторы и счетные машинки еще не уничтожили необходимость считать в уме. Однако, если бы все владели методом Трахтенберга, стать чемпионом быстрого счета было бы непросто. Поэтому лучше придумать секретные правила, о которых никто больше не знает.

Подробнее читайте:
Фогт И. Математические трюки для быстрого счёта / Ингве Фогт ; Пер. с норв. [Анастасии Наумовой] — М.: Альпина Паблишер, 2020. — 183 с.

Система быстрого счета по Трахтенбергу

Описание

Эта книга представляет собой печатное изложение Э. Катлером и Р. Мак-Шейном (Ann Cutler and Rudolph McShane) системы быстрого счета в уме, разработанной профессором, руководителем, а также и основателем Цюрихского Математического Института Яковом Трахтенбергом. Подробнее вы можете ознакомиться с некоторыми секретами устного счета Якова Трахтенберга в Уроке 4 на нашем сайте.

Больше всего книга подойдет школьникам, а также их учителям для изучения методов устного счета, которые отличаются от того, что преподают в большинстве учебных заведений. Как пишут авторы, первым и главным принципом книги и метода Трахтенберга является способ устного счета без заучивания примеров и расширенной таблицы умножения.

Краткое содержание

Глава 1. Нужна ли таблица умножения?

Глава 2. Быстрое умножение прямым методом

Глава 3. Быстрое умножение — метод «двух пальцев»

Глава 4. Сложение. Правильность ответа

Глава 5. Деление. Быстрота и точность

Глава 6. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня

Глава 7. Алгебраическое обоснование метода

Об авторе

Эту книгу написала Энн Катлер и посвящена она знаменитому математику и преподавателю Якову Трахтенбергу.<.p>

Яков Трахтенберг (1888-1953) — немецкий математик российского происхождения, разработавший технику быстрого счёта, называемую системой Трахтенберга.

До Октябрьской Революции 1917 года жил и работал в городе Одесса и Петрограде. Завершив с отличием обучение в Горном Институте, он работал на Адмиралтейских верфях на Обуховском заводе, где в итоге получил должность главного инженера.

После революции 1917 года Яков Трахтенберг перебрался в Германию (потом в Австрию). После прихода к власти Гитлера выступал против нацизма, за что и попал в плен концентрационного лагеря во время второй мировой войны. Как раз именно в нацистском заключении он разработал свою систему быстрого устного счета или как ее сейчас называют – «метод Трахтенберга».

В 1944 году он бежал в Швейцарию, где продолжил разработку и развитие своего метода. В 1950 году Трахтенберг основал Математический Институт в Цюрихе – единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методам.

Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга

Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга

Малышева Е.М. 1

1МБОУ Барвихинская СОШ

Толстов Д.А. 1

1МБОУ Барвихинская СОШ

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке «Файлы работы» в формате PDF

«Не знающие пусть научатся,

а знающие вспомнят еще раз»

Я.Трахтенберг

Введение

Математика всегда была и останется одним из основных школьных предметов, потому что математические знания необходимы всем людям. С ней связана вся наша жизнь: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Какую бы профессию в дальнейшем не выбрал человек – она так или иначе будет связана с математическими понятиями и задачами. Кроме того, всем обучающимся необходимо сдавать экзамены в 9-м и в 11-м классе, а также успешно переходить из класса в класс, а для этого, обучаясь с 1-го класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего, нужно научиться считать, причем быстро и правильно.

Конечно же, в наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники как бы неуместно говорить об устном счете, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность производить в уме вычисления вызывает откровенное удивление.

Мы постоянно что-то считаем: минуты до прихода и отхода поезда, недели и дни до наступления каникул или дня рождения, деньги, потраченные на покупки… К вычислениям прибегает человек любой профессии. Повар считает, сколько нужно взять муки, масла и сахара, чтобы испечь вкусные булочки. Учёный с помощью чисел точно описывает научный эксперимент. Быстрый счет — настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения. 
Наверняка каждый сталкивался с ситуацией на контрольной, когда до звонка остаются считанные минуты, найдено решение задачи, а времени на вычисления не осталось. [1]

Устным счетом, помогающим развивать память и тренировать навыки, должен владеть каждый. Обучение такому виду умственной деятельности будет успешным, если присутствуют способности, которые совместно с умственной концентрацией помогают сосредоточить внимание на поставленной задаче и удержать в памяти сложные числа; а знание формул, обуславливающих легкость производимых вычислительных действий — практика, которая наряду с постоянными тренировками, позволяет развивать и совершенствовать навыки. [2]

. Тема моей проектной работы — «Способы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга». Я выбрала ее, так как считаю, что умение быстро устно считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.

Цель проекта: изучить методы быстрого счета — метод Якова Трахтенберга, доказать эффективность использования этого метода для упрощения вычислений, а значит и для уменьшения времени на выполнения заданий, создать буклет, в котором собрать основные методы быстрого счета.

Актуальность темы моего проекта состоит в том, что в наше время все чаще на помощь людям приходят калькуляторы, и все большее количество не может быстро считать устно, что влияет на скорость и рациональность решения задач. Всем хорошо известно, что изучение математики развивает логическое мышление, память, гибкость ума, приучает человека к точности, к умению видеть главное. Здесь уместно вспомнить высказывание М.В. Ломоносова «Математику уж затем учить следует, что она ум в порядок приводит».

Задачи проекта:

Ознакомиться с биографией Якова Трахтенберга.

Рассмотреть приемы быстрого счета по методу Якова Трахтенберга.

Подробно изучить способы умножения любых чисел на множители от нуля до 12 и научиться использовать их для устных вычислений;

Создать памятку с кратким описанием алгоритма вычислений;

Разработать буклет с основными методами устного умножения для применения учениками школ.

Методы.

При работе над проектом я пользовалась следующими методами:

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы в библиотеке, поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

анализ и систематизация полученных в ходе исследования данных.

Основная часть

Биография Якова Трахтенберга

К настоящему времени сохранилось мало достоверных фактов из биографии этого великого человека. Точно известно, что родился он в 1888 году в еврейской семье, проживавшей в Одессе, на территории Российской империи. Здесь же он получил среднее образование, после чего юноша отправился продолжать учебу в Петербург, где стал студентом Горного института. Обучение Якова происходило успешно, о чем говорит полученный им диплом с отличием и направление на работу на Обуховский завод. Поступив туда поначалу на рядовую инженерную должность, он, благодаря своему уму и старательности, очень быстро дорос до должности главного инженера завода, где под его руководством стало находиться свыше 11 тысяч рабочих.

Дальнейшую карьеру Трахтенберга сорвали сначала Первая мировая война, а потом разразившаяся в России череда революций. Сам Яков был убежденным пацифистом, однако во время смуты подобные взгляды оказались не в чести. Поэтому молодой перспективный инженер принял решение выехать из страны. Как и множество других вынужденных переселенцев первой волны, он перебрался в Германию, и поселился в Берлине. Там он нашел работу в издательстве, занимавшемся выпуском пацифистской литературы. Как человек с образованием, он входил в группу экспертов по вопросам России и даже выпустил книгу, рассказывавшую о российской промышленности. Учитывая, что ему самому пришлось привыкать к новому для себя языку, он разработал собственную оригинальную методику изучения различных иностранных языков. Интересно, что данная методика успешно используется и в настоящее время. В Германии Трахтенберг создал семью, взяв в жены девушку Алис, происходящую из аристократической семьи [3].

Однако вскоре и на новом месте жизнь круто изменилась. К власти в Германии пришло нацистское правительство, управляемое Адольфом Гитлером. Чете Трахтенбергов, открыто выступавшей против нацизма, пришлось срочно выехать из Германии в Австрию. Здесь грамотного специалиста приняли в Вене, предложив должность в редакции научного журнала. Но вскоре расширявшая границы гитлеровская Германия дотянулась и до Австрии, и беженцам из Германии пришлось срочно искать новое безопасное место для жизни. Трахтенберги выбрали Югославию, но и туда в 1941 году дотянулись щупальца нацизма. 

Яков и его супруга были арестованы, после чего эшелоном доставлены в Польшу, где в тот момент строился концентрационный лагерь Аушвиц, ныне более известный как Освенцим. Яков Трахтенберг со своей женой в составе рабочих команд прошли через ужасы подлинного ада, устроенного для заключенных руководством лагеря. Из-за того, что кормежка покрывала затраты энергии лишь в малой степени, люди быстро теряли силы. Самые слабые из них ежедневно уничтожались, отправляясь под расстрел и в печи крематориев. 
Его тело истощалось с каждым днем, но разум отказывался принять окончательное поражение и устремлялся в мир беспристрастных, жизнеутверждающих чисел, которые по его воле складывались в удивительные по своей красоте математические построения. В заключении он разработал метод Трахтенберга. Сначала он просто занимался сложением многозначных величин. Но потом встала задача о способе быстрого счёта. Задача оказалась нелегкой, и Трахтенберг придумал элементарный в обращении способ, который позволяет любому, даже ребенку, безошибочно производить простое арифметическое действие, оперируя цифрами.

Когда в 1944 г. стало известно о его предстоящей казни, его верный друг — жена сумела спасти его. Она добилась перевода мужа в Лейпциг и там организовала побег. И хотя вскоре он был снова арестован и отправлен на каменоломню в Триест, самое тяжелое осталось позади. Последний побег — и супруги Трахтенберг в Швейцарии. В конце 40-х годов Трахтенберг организовал в Цюрихе свой Математический институт — единственное в своем роде учебное заведение, где дети и взрослые учились и переучивались считать по его методу, и по единодушному признанию успехи были поразительны.
Суть приемов, разработанных профессором Трахтенбергом, очень проста. Но конечно, как на всякое новое дело, на усвоение их (особенно когда речь идет о взрослых людях, которым приходится отказываться от прежних привычек), требуется и время, и известное напряжение.

С помощью своего метода Трахтенбергу удалось научить многих детей, ранее считавшихся умственно отсталыми (во всяком случае, по части математики), превосходно, быстро и надежно вычислять. Более того, обнаружилось, что у этих детей (как, впрочем, и у всех учеников Трахтенберга) увлечение легкостью и простотой его «волшебных» приемов неизменно перерастало в интерес к математике и к учению вообще.
Система Трахтенберга уже оказала свое влияние не только на школьное преподавание, но и на практику банковских расчетов, причем не только в Швейцарии.

На основе изысканий Трахтенберга профессор Рудольф Мак-Шэйн и журналист Анна Кутлер совместно с Яковом составили учебник, предназначенный для учителей и учеников старших классов, а также студентов колледжей. Эта книга вышла в свет под названием «Быстрая система элементарной математики Трахтенберга» [4].

Правила умножения чисел.

А теперь рассмотрим некоторые виды умножения, не пользуясь таблицей умножения и классическим способом умножения «в столбик».

В своей работе я буду излагать материал по принципу «от простого – к сложному». То есть не по мере возрастания цифр (от нуля до 12), а по мере увеличения сложности вычислений.

Начнем с самого простого. [5]

2.1. Умножение на 11

Основные правила умножения на 11 заключаются в следующем:

1. Последняя цифра множимого записывается как самая правая цифра результата.

2. Каждая следующая цифра множимого складывается со своим правым соседом и записывается в результат.

3. Первая цифра множимого становится самой левой цифрой результата. Это последний шаг.

Рассмотрим пример: 633 * 11

Ответ пишется под 633, по одной цифре справа налево, как указано в правилах.

Первое правило.

Напишите последнюю цифру числа в качестве правой цифры результата: 3

Второе правило.

Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат. Перед 3 записываем в результате 6:

633*11

63

Применим второе правило еще раз:

6+3 будет 9. Записываем и эту цифру слева в результат:

633*11

963

Третье правило.

Первая цифра числа 633 это 6, становится левой цифрой результата:

633*11

6963

Ответ: 6963.

Большие числа обрабатываются таким же способом. Второе правило (“каждая последующая цифра множимого складывается со своим правым соседом”) в нашем примере применено дважды; при больших числах это правило может быть применено многократно.

В начале числа следует ставить ноль. Он должен нам напоминать о том, что действие еще не закончено. Без нуля в начале числа мы могли бы забыть написать последнюю цифру. Ответ длиннее данного числа на одну цифру, и ноль в начале указывает на это.

Иногда при сложении числа с его “соседом” в ответе получается число, состоящее из двух цифр: так, 5 и 8 дают 13. В этом случае мы пишем 3 и, как обычно, «переносим» 1. При переносе единицы достаточно поставить точку, в тех случаях, когда переносится двойка — две точки.

2.2. Умножение на 12

Правило умножения на 12 заключается в следующем:

Нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней ее “соседа”.

В отличие от умножения на 11, теперь каждую цифру удваивают, прежде чем прибавлять к ней “соседа”. Рассмотрим это на примере. Умножим 413 на 12.

Первый шаг.

0413*12,Удваиваем самую правую цифру и под ней пишем ответ.

6

Второй шаг.

0413*12 Удваиваем 1 и прибавляем «соседа» 3.

56

Третий шаг.

0413*12 Удваиваем 4 и прибавляем 1.

956

Последний шаг.

0413*12 Удвоенный нуль есть нуль, прибавляем 4.

4956

Ответ: 4 956.

Проделав это самостоятельно, мы убедимся, что действие производится очень быстро и легко.

При умножении на 5, 6 и 7 используется идея деления цифры “пополам”.

Отличительная особенность нечетных цифр (1,3,5,7 и 9) состоит в том, что при делении их “пополам” мы отбрасываем дроби. Четные цифры (0, 2, 4, 6 и 8) дают обычный результат.

2.3. Умножение на 6

Приведем правило умножения на 6:

Прибавьте к каждой цифре “половину” “соседа” и еще 5 в том случае, если цифра нечетная.

Является ли “сосед” четным или нечетным — никакой роли не играет. Мы смотрим только на “цифру”: если она четная, прибавляем к ней “половину” “соседа”, если нечетная, то, кроме “половины соседа”, прибавляем еще 5.

Например: 04352*6.

Первый шаг.

04352*6, 2 — четная и не имеет “соседа”; напишем ее снизу.

2

Второй шаг.

04352*6, 5нечетная; 5 плюс 5 плюс половина от 2, будет 11.

12

Третий шаг.

04352*6, 3 нечетная; 3 плюс 5 будет 8, плюс половина от 5, плюс перенос.

112

Четвертый шаг.

04352*6, 4 плюс “половина” от 3, плюс перенос.

6112

Последний шаг.

04352 х 6 Ноль плюс “половина” от 4.

26112

Ответ: 26112.

Число, которое мы умножали на 6, было длинным. А будет ли работать метод, если мы попытаемся умножить на 6 однозначные числа, например 8 на 6?

Да, и даже не потребуется никаких изменений. Попробуем умножить 8 на 6, применив тот же способ:

08*6 “соседа” нет; пишем просто 8

8

08*6 ноль плюс “половина” от 8, будет 4.

48

Когда множимое нечетное, например 7, то при первом шаге мы должны прибавить 5. Разумеется, мы ее не прибавляем при втором шаге, так как ноль мы рассматриваем как четное число:

07*6, 7 плюс 5, будет 12.

2

07*6 ноль плюс “половина” от 7 плюс перенесенная 1.

42

2.4. Умножение на 7

Правило умножения на 7 очень похоже на правило умножения на 6.

Удвойте цифру и прибавьте половину соседа. Если цифра нечетная, прибавьте еще 5.

Предположим, что мы хотим умножить 4242 на 7.

В этом примере мы действуем так же, как и при умножении на 6, если не считать того, что теперь мы удваиваем цифру:

Первый шаг.

04242*7, дважды 2.

4

Второй шаг.

04242*7, дважды 4 плюс половина соседа.

94

Третий шаг.

04242*7, дважды 2 плюс половина соседа.

694

Четвертый шаг.

04242*7 дважды 4 плюс 1.

9694

Последний шаг.

04242*7, дважды ноль, но еще прибавляется половина соседа.

29694

2.5. Умножение на 5

Правило умножения на 5 подобно правилу умножения на 6 и 7, только оно проще. Вместо того чтобы прибавлять цифру, как мы это делали при умножении на 6, или удваивать ее, как при умножении на 7, мы используем цифру только для того, чтобы определить ее четность или нечетность,

Если цифра нечетная, берем половину соседа и прибавляем 5. Если цифра четная, пишем половину соседа.

Предположим, мы хотим 426 умножить на 5:

0426*5 смотрим на цифру 6, она четная: 5 не прибавляем (соседа нет).

0

0426*5 смотрим на цифру 2, она четная; пишем половину от 6.

30

0426*5 смотрим на цифру 4, она четная; пишем половину от 2.

130

0426*5 смотрим на 0 — четная; возьмем половину от 4.

2130

Если бы мы имели во множимом нечетную цифру, мы бы прибавили 5:

0436*5 как выше.

0

0436*5, 3 — нечетная; 5 плюс половина соседа (3), т.е. 8.

80

0436*5

2180

Все это легко выполнимо. Вычислений тут очень мало.

2.6. Умножение на 9

При умножении на 8 и 9 мы мысленно делаем еще один полный шаг, который требует дальнейших упражнений. Раньше мы только складывали цифры, теперь нам нужно будет вычитать цифру из 9 или 10. Предположим, мы хотим 4567 умножить на 8 или 9. В обоих этих случаях первый шаг состоит в том, чтобы последнюю цифру большего числа (7) вычесть из 10, Мы начинаем с того, что смотрим на правый край числа 4567 и говорим “3”. Не надо предварительно говорить: “10 минус 7, будет 3”, реакция должна быть немедленная. Мы смотрим на 7 и говорим “3”.

Иногда нам придется вычитать цифру не из 10, а из 9. Мы смотрим, например, на цифру 7 и тут же говорим “2”.

Правило умножения на 9 гласит:

1. Вычтите правую цифру большего числа из 10. Это дает правую цифру результата.

2. Возьмите поочередно каждую из следующих цифр до самой последней, вычтите ее из 9 и прибавьте соседа.

3. В последнем шаге, когда вы будете рассматривать цифру нуль, стоящую перед данным числом, вычтите 1 из соседа, и полученное число будет самой левой цифрой результата.

Если имеется точка (перенесенная 1), то, разумеется, при всех этих шагах вы, как обычно, должны ее прибавить.

Рассмотрим пример: 8769 умножить на 9:

08769*9

78921

Во-первых, вычитаем 9 из 10, получаем 1.

Во-вторых, вычитаем 6 из 9 (получим 3) и прибавляем соседа (9). Результат -12, поэтому пишем точку и 2.

В-третьих, 7 вычитаем из 9 (получаем 2), плюс сосед (6), будет 8 и плюс “точка”, будет 9.

В-четвертых, 8 вычитаем из 9, будет 1, плюс сосед, будет 8.

В-пятых, это последний шаг, поэтому уменьшаем самую левую цифру от числа 8769 на 1, и 7 становится самой левой цифрой результата.

2.7.Умножение на 8

Правила умножения на 8 таковы:

1. Первая цифра: вычтите из 10 и удвойте.

2.Средние цифры: вычтите из 9 и удвойте полученное, затем прибавьте соседа.

3. Левая цифpa: вычтите 2 из самой левой цифры большого числа.

Умножение на 8 аналогично умножению на 9, с той лишь разницей, что происходит удвоение разностей и в последнем шаге из левой цифры большого числа вычитается не 1, а 2.

Рассмотрим пример: 789*8:

0789*8, 10 минус 9 получаем 1 и удваиваем результат.

2

0789*8, 9 минус 8 равно 1, удваиваем и прибавляем соседа 9, равно 11.

12

0789*8 9 минус 7, умножить на 2, плюс 8, плюс перенос, получаем 13.

312

0789*8, 7 минус 2, плюс перенос, равно 6.

6312

2.8. Умножение на 4

Правила умножения на 4 таковы:

1. Вычтите самую правую цифру данного числа из 10 и прибавьте 5, если цифра нечетная.

2. Вычтите поочередно каждую цифру данного числа из 9, прибавьте 5, если цифра нечетная, и прибавьте половину соседа.

3. Напишите под нулем перед заданным числом половину соседа этого нуля минус 1.

Пример: Умножить 5 187 на 4:

Первый шаг.

05187*4, от 10 отнять 7, будет 3, прибавить затем 5, так как 7 нечетно.

8

Второй шаг.

05187*4, от 9 отнять 8 плюс половина от 7.

48

Третий шаг.

05187 х 4, 9 минус 1 плюс 5, плюс половина от 8.

748

05187х 4, 9 минус 5, плюс 5 плюс перенос 1

0748

Последний шаг.

05187 х 4 “половина” от 5 минус 1 плюс 1 перенос.

20748

2.9. Умножение на 3

Правила умножения на 3 выглядят следующим образом:

1. Первая цифра: вычтите ее из 10 и удвойте. Если цифра нечетная, прибавьте 5.

2. Средние цифры: вычтите цифру из 9 и полученное удвойте, затем прибавьте половину соседа и 5, если цифра нечетная.

3. Самая левая цифра: разделите на 2 самую левую цифру большого числа и вычтите 2.

Умножим 2588 на 3

Первый шаг.

02588*3, 10 минус 8, удваиваем, равно 4

4

Второй шаг.

02588*3, это 9 минус 8, удваиваем, плюс половина от 8.

64

Третий шаг.

02588*3 9, (9-5)*2+5+8/2=17, последняя цифра 7, 1 переносим.

764

Четвертый шаг.

02588х3 7 – (9-2)*2+5/2+1=17, 7 пишем, 1 переносим.

7764

Последний шаг.

02588 х 3 ноль — это половина от 2 “плюс точка” минус 2. 2/2+1-2 = 0

07764

2.10. Умножение на 2

Умножение на 2, разумеется, очень просто. По методу Трахтенберга мы поочередно удваиваем каждую цифру данного числа, не пользуясь соседом. Мы можем удвоить число, просто прибавив его к самому себе, тогда даже не потребуется выучивать наизусть столбец таблицы умножения на 2.

2.11. Умножение на 1

Умножение на 1 числа не изменяет. Любые числа любой величины при умножении их на 1 остаются неизменными. Поэтому правило звучит так:

Перепишите поочередно все цифры данного числа.

Последние несколько правил для умножения на малые цифры включены главным образом ради полноты описания метода.

Все же важно заметить, что во всех случаях умножения на любые цифры число действительно необходимых операций невелико и все они очень просты. Вычитание из 9, удваивание, образование “половины” и прибавление “соседа” — вот единственные операции, с которыми приходится иметь дело. Если поупражняться, то все они будут казаться естественными, простыми и будут выполняться автоматически.

2.12. Умножение двузначных чисел на двузначные.

Правило умножения двузначных чисел на двузначные звучит следующим образом:

Правая цифра: умножьте единицы.

Средние цифры: уберите между числами знак “умножить” (46 * 35 станет 4635) и сложите произведения внутренних и внешних цифр числа.

Левая цифра: умножьте десятки.

Умножим 87 на 32:

Первый шаг.

87 * 32 | 47 * 2 = 14, 4 пишем,1 переносим.

Второй шаг.

87 * 32 |847 * 3 + 8 * 2 = 37 и 1- из прошлого действия. 8 пишем, 3 переносим.

Третий шаг.

87 * 32 |2784 8 * 3 = 24 и 3 из прошлого действия, 27.

Ответ: 2784

2.13. Умножение трехзначных чисел на двузначные.

Правило умножения трехзначных чисел на двузначные схоже с правилом умножения двузначных чисел на двузначные.

Правая цифра: умножаем крайние правые цифры первого и второго множителя.

Средние цифры: Перемножаем и складываем внутренние и внешние пары.

Последняя цифра: умножаем крайние левые цифры множителей между собой.

Пример: 476 * 46

Первый шаг.

476 * 46| 6 6 * 6 = 36, 6 пишем, 3 переносим.

Второй шаг.

476 * 46|96 первыми парами будут 6 * 4 + 7 * 6 и еще 3 из прошлого действия, получается 69 – 9 пишем, 6 переносим.

Третий шаг.

476 * 46 | 896 вторые пары 7 * 4 + 4 * 6 и еще 6 из прошлого действия. Получается 58, 8 пишем 5 переносим.

Четвертый шаг.

476 * 46 |21896 4 * 4 + 5 = 21. Ответ: 21896

Практическая часть

Практическим результатом моей проектной работы стала брошюра “Способы быстрого умножения чисел по методу Якова Трахтенберга”.

Цель создания брошюры: собрать и систематизировать изученный материал для его функционального применения в практических целях школьниками средних и старших классов, студентами и преподавателями математики.

Этапы практической работы.

Поиск материалов по теме проекта.

Определение конечного продукта, соответствующего теме проекта и поставленным целям.

Разработка эффективного и практичного способа представления материала.

Выбор способов быстрого умножения для брошюры, их классификация и оформление в табличной форме.

Выбор стиля и дизайна брошюры.

Практическая работа по созданию макета брошюры.

Печать брошюры в типографии.

В начале брошюры представлена краткая биография создателя способов быстрого счета Якова Трахтенберга. Также представлены несколько фотографий, иллюстрирующих материал.

Далее собраны способы умножения чисел от 0 до 12, умножение двузначных чисел на двузначные и на трехзначные числа.

Материал собран и представлен по принципу «от простого к сложному». Это сделано не случайно. Авторская методика быстрого счета Якова Трахтенберга предполагает запоминание последовательности простых арифметических действий, которые повторяются в разных вариантах при умножении чисел. Методика запоминания «от простого к сложному» позволяет наиболее эффективно, быстро и легко усваивать материал.

В конце брошюры представлена таблица (памятка), в которой изложены только алгоритмы вычислений. Это краткий сводный материал по всем представленным в брошюре способам вычислений. Памятка необходима для того, чтобы не ошибиться в последовательности арифметических действий при быстром устном счете.

Я постаралась изложить доступным языком материал, представленный в брошюре, чтобы каждый человек, которому это интересно, мог самостоятельно получить дополнительные знания по способам умножения в уме, увидеть математические закономерности, понять всю красоту и разнообразие приемов устного счета.

Заключение

С большим интересом я познакомилась с системой быстро счета Якова Трахтенберга. Изучая материал, я поняла, что эта система основана на закономерностях умножения чисел. Чтобы умножить любое число на 11, 12, 6 и другие числа, надо знать алгоритм выполнения. В этой системе приходится в памяти держать много правил быстрого счета, но система Трахтенберга показывает, как красива математика, если человек открывает тайны ее закономерностей, изучает их и учится применять на практике.

Раньше я и не предполагала, что существуют другие способы умножения, кроме общеизвестной таблицы умножения и вычисления «в столбик». Большинство моих знакомых и даже мои родители не были знакомы с методом Якова Трахтенберга. Я изучила новые для меня способы умножения, рассказала о них родителям и одноклассникам. Все с большим интересом отнеслись к теме моего проекта. Это доказывает, как многогранна математика, сколько ее возможностей скрыто еще от нас. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы умножения. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы вычисления.

Использование этих и других методов устного счета помогает развивать скорость вычисления на уроках и дома, тренирует память, помогает добиваться успехов в изучении всех школьных предметов. [6] Устный счет – гимнастика для ума! Изучайте математику, это очень интересно!

Список литературы

Хэндли Б. Считай в уме как компьютер.- пер. с англ. Е.А. Самсонов. – Мн.: «Попурри»,2006. – 352 с.

Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.

https://ru.wikipedia.org/wiki/Трахтенберг,_Яков

https://isralove.org/load/13-1-0-1878

Катлер Э. Мак-Шейн Р. Система быстрого счёта по Трахтенбергу. — М.: Просвещение,- 1967

Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка».- Москва, 2006.

Приложение 1

Алгоритм вычислений (памятка)

Умножение на

Характер действий

11

К каждой цифре результата прибавляем соседа справа*.

12

Удваиваем цифру и прибавляем соседа справа.

6

Прибавляем к цифре половину** соседа справа. Если цифра нечетная, то прибавляем 5, если четная — то ничего не прибавляем.

7

Удваиваем цифру, прибавляем 5, если она нечетная, и половину соседа справа.

5

Берем половину соседа справа, если цифра нечетная – то прибавляем 5.

9

Первая цифра справа: вычитаем из 10 последнюю цифру множимого.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9 и прибавляем соседа справа.

Последний шаг: уменьшаем самую левую цифру на 1.

8

Первая цифра справа: вычитаем из 10 последнюю цифру множимого и удваиваем.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9, удваиваем и прибавляем соседа справа.

Последний шаг: уменьшаем самую левую цифру на 2.

4

Первая цифра справа: вычитаем из 10 и прибавляем 5, если цифра нечетная.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9, прибавляем половину соседа справа и 5, если цифра нечетная.

Последний шаг: берем половину самой левой цифры множимого и уменьшаем ее на 1.

3

Первая цифра справа: вычитаем из 10, удваиваем и прибавляем 5, если цифра нечетная.

Средние цифры: вычитаем цифру из 9, удваиваем и прибавляем половину соседа справа.

Последний шаг: берем половину самой левой цифры множимого и уменьшаем ее на 2.

2

Удваиваем каждую цифру множимого.

1

Переписываем множимое без изменений.

0

Ноль, умноженный на любое число дает ноль.

*- первое правило: все вычисления производятся и записываются справа налево.

**- второе правило: при делении на 2 нечетного числа, дробная часть отбрасывается (1/2=0, 3/2=1, 5/2=2, 7/2=3, 9/2=4).

Просмотров работы: 940

Метод Трахтенберга — это… Что такое Метод Трахтенберга?

Система Трахтенберга — система быстрого счёта, чем-то напоминающая индийскую математику. Разработана математиком Яковом Трахтенбергом во время заключения в нацистском концлагере.

Система состоит из набора легко запоминающихся шаблонов, которые позволяют любому быстро производить арифметические подсчёты.

Самые важные алгоритмы были алгоритмы для умножения, деления и сложения. Дополнительно, метод включает несколько специальных методов для умножения маленьких чисел между 5 и 13.

Общее умножение

Метод для общего умножения — метод получения произведения a*b с использованием минимума запоминания промежуточных результатов. Это достигается благодаря тому, что последняя цифра полностью определена произведением последних цифр сомножителей. Это является временным результатом. Чтобы найти все последующие цифры, нужно воспользоваться всем, что влияет на эти цифры: Промежуточный результат, последняя цифра числа а, помноженная на соответствующую цифру числа b, а также соответствующая цифра числа а, помноженная на последнюю цифру числа b.

Общее деление

Основано на методе умножения

Другие алгоритмы умножения

Умножение на 12

Правило: чтобы умножить на 12:
Начни с правостоящей цифры, удвой каждую цифру и прибавь её соседа. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Это даёт одну цифру результата. Если ответ содержит больше одной цифры, просто переносим 1 или 2 в следующий регистр.
Пример: 316 × 12 = 3 792:
В этом примере:

  • последняя цифра 6 не имеет соседей.
  • 6 — сосед единице — 1.
  • единица — 1 соседка тройке — 3.
  • тройка — 3 соседка двум добавленным слева нулям.
  • второй добавленный ноль сосед первому.

6 × 2 = 12 (2 переносим 1)
1 × 2 + 6 + 1 = 9
3 × 2 + 1 = 7
0 × 2 + 3 = 3
0 × 2 + 0 = 0

Умножение на 11

Правило: Добавь цифру к её соседу. (Под соседом подразумевается цифра справа.)

Пример: 3,425 × 11 = 37,675

0,3425 × 11 = (0+3), (3+4)(4+2)(2+5)(5+0) = 3,7675

Доказательство:

11 = 10+1

Таким образом,

3425 x 11 = 3425 x(10+1) = 34250 + 3425 = 37675.

Литература

  • Trachtenberg, J. (1960). The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics. Doubleday and Company, Inc., Garden City, NY, USA.
  • Катлер Э., Мак-Шейн Р.Система быстрого счёта по Трахтенбергу, 1967.
  • Rushan Ziatdinov, Sajid Musa. Rapid mental computation system as a tool for algorithmic thinking of elementary school students development. European Researcher 25(7): 1105—1110, 2012 [1].

Система быстрого счета Трахтенберга. «Простой» метод деления. | Техночтиво

Привет, любители математики!

Ставьте лайк, если было интересно!

Именно так я себя чувствовал, когда вникал в методики Трахтенберга.

Именно так я себя чувствовал, когда вникал в методики Трахтенберга.

Уже 3 месяца прошло с тех пор, как я начал писать о методиках быстрого счета Якова Трахтенберга. Я проходил только методы умножения и на них остановился, а ведь есть еще деление и возведение в степени!

Отчасти, оставил эту тему из-за большого количества критики, хотя позитивных отзывов тоже было достаточно. Последняя статья о методике «Двух пальцев» вообще провалилась и я с тех пор зарекся не писать больше на эту тему, но, наверное, было бы неправильно остановится на полпути.

Сказал «А», говори «Б».

Сразу поясню, что я не призываю никого использовать эти методы. Статья публикуется исключительно в информационно-развлекательных целях, и то что Вы увидите здесь, врятли когда-либо будете применять на практике.

Итак, в системе быстрого счета есть два варианта деления:

…деления

…деления

Сегодня, я буду говорить о «простом» методе. Слово «простой» не зря заключено в кавычки, простого там на самом деле почти ничего нет. Деление этим методом довольно громоздкое и долгое, и сейчас Вы поймете почему.

Несмотря на громоздкость, есть и очевидный плюс — Вам не нужно знать таблицу умножения, достаточно уметь складывать и вычитать.

Рассмотрим «простой» метод на примере:

Произвольный пример

Произвольный пример

Чтобы выполнить необходимые нам операции, нужно расположить делимое и делитель определенным способом, чтобы легче было писать:

Мы все еще делим 36 854 637 на 89, не бойтесь 🙂

Мы все еще делим 36 854 637 на 89, не бойтесь 🙂

Это сделано из-за того, что 89 становится верхним числом столбца чисел, который образуется после 10-кратного сложения числа 89.

Составили столбец делителя. Цифры в скобках — указывают на множители если что.

Составили столбец делителя. Цифры в скобках — указывают на множители если что.

Еще раз, цифры в скобках — показатель кратности. Это важно!

Далее, мы будем использовать следующее правило:

Вычитаем последовательно из делимого каждый раз возможно большее число из столбца делителя.

Что все это значит? Вы начинаете вычитание с левого конца делимого, как и при обычном делении. При каждом шаге, Вы заглядываете в столбец делителя и выбираете наибольшее число, которое можно вычесть из соответствующей части делимого.

Если, мы например, возьмем первые две цифры нашего числа — «36«, заглянем в столбец делителя, а там нет числа меньше 36. Поэтому, мы берем первые 3 цифры числа — 368. Заглянем в столбец делителя и поищем наибольшее число, которое меньше 368. У нас это 356. После того, как мы нашли нужное нам число, вступает в действие следующее правило:

Показатель кратности вычитаемого числа есть очередная цифра ответа.
Вычитаем из 368 — 356, получаем 12. Затем прибавляем следующую цифру делимого

Вычитаем из 368 — 356, получаем 12. Затем прибавляем следующую цифру делимого

Таким образом и будет формироваться ответ.

В ответ идет «нуль», если нам приходится добавлять 2 цифры из делимого.

В ответ идет «нуль», если нам приходится добавлять 2 цифры из делимого.

Такой вот «простой» метод. Разберется с ним даже ребенок, но вот нужно ли им пользоваться?.. Наверное, только если позабавить свое чадо, не более, да и мозги размять.

Постарался написать максимально понятно, надеюсь, мои труды оцените, если же нет, то помните, что в комментариях нецензурная лексика не допускается и такие комментарии будут удаляться.

Спасибо, что осилили публикация до конца, ставьте лайки и подписывайтесь!

Татьяна Мельничук | Приёмы быстрого счёта

Приёмы быстрого счёта

Милена Кандыбова проводит занятие на тему «Приёмы быстрого счёта» для обучающихся 11 класса

Трудно сказать, когда появились числа и как человек научился считать. Однако, наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек научился считать, производить вычисления. Для счёта использовали пальцы рук, ног, различные предметы. Например, индейцы изображали числа с помощью узелков на верёвках. Первым способом  «записи» чисел были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. В конце-концов были придуманы цифры. Люди научились складывать и вычитать, затем умножать и делить, причём способы вычислений не всегда были и остаются удобными и понятными.

Большинство обучающихся и взрослых испытывают затруднения при выполнении вычислений. Многие неоправданно часто используют калькулятор, а вот устно же считать почти никто не умеет. Приёмам рациональных вычислений в учебной литературе уделяется крайне мало внимания. При этом, например, сдача ЕГЭ и ГИА предполагает наличие у учеников умений и навыков рациональных вычислений.

Предлагаю вниманию читателя выдержки из проекта «Приёмы быстрого счёта» ученицы 5-А класса новосмолинской МАОУ СОШ №48 Милены Кандыбовой, в которых описаны удобные методы рациональных устных вычислений:

Проект «Приёмы быстрого счёта» Презентация к проекту Продукт проекта

На основе данного проекта в 5-х и 11-м классах новосмолинской МАОУ СОШ №48 были проведены занятия на соответствующую тему, фоторепортажи которых доступны в статьях «Занятие в 5 классах «Приёмы быстрого счёта»» и «Занятие в 11 классе «Приёмы быстрого счёта»».

Умножение и деление на 4

Чтобы число умножить на , его дважды удваивают.

Например:

   

Чтобы число разделить на , его дважды делят на два.

Например:

   

Умножение и деление на 5, 50, 500…

Чтобы число умножить на нужно умножить его на и разделить на .

Например:

   

Чтобы разделить число на нужно разделить его на и умножить на .

Например:

   

Умножение на 25, 250, 2500…

Чтобы число умножить на нужно умножить его на , и полученный результат разделить на (на делятся только те числа, у которых две последние цифры представляют собой число, делящееся на ).

Например:

   

   

   

Деление на 25, 250, 2500…

Чтобы выполнить деление числа на и т.д. это число надо разделить на и т.д. и умножить на .

Например:

   

Умножение на 125, 1250, 12500,…

Чтобы число умножить на надо это число разделить на и умножить на . (На делятся только те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящееся на ).

Например:

   

   

Деление на 125, 1250, 12500,…

Чтобы число разделить на надо это число разделить на и умножить на .

Например:

   

   

Умножение на 1.5

Чтобы умножить число на нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например:

   

   

Умножение на 9

Чтобы умножить число на , к нему приписывают и отнимают исходное число.

Например:

   

Умножение на 11

Чтобы умножить число на . К нему приписывают 0 и прибавляют исходное число.

Например:

   

   

Чтобы двузначное число умножить на , сумма цифр которого не превышает , надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

Например:

   

   

Чтобы умножить на двузначное число, сумма цифр которого или больше , надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

Например:

   

   

Умножение двухзначного числа на 111

Умножим на . Мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя (), предварительно найдя сумму его цифр: , и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды.

Например:

   

   

Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающегося цифрой (например, ), умножают число его десятков () на число десятков, увеличенное на (на ), и к полученному числу приписывают .

Например:

   

В продолжение темы приёмов быстрого счёта рекомендую прочесть книгу «Магия чисел. Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы», русский перевод которой увидел свет в 2015 году. В аннотации к книге сказано: «Эта книга научит вас считать в уме быстрее, чем на калькуляторе, запоминать большие числа и получать от математики удовольствие.

Любой человек может умножать, делить, возводить в степень и производить другие операции над большими числами в уме и с большой скоростью. Для этого не нужно решать десятки тысяч примеров и учиться годами — достаточно использовать простые приемы, описанные в этой книге. Они доступны для людей любого возраста и любых математических способностей.

Эта книга предназначена для всех, кто любит математику, и для тех, кто хочет научиться молниеносно производить в уме любые вычисления».

Подробные библиографические данные книги доступны в каталоге «Библиотеки Татьяны Мельничук».

Вернуться назад…

МЕТКИ >быстрый счёт, вычисления, математика

Техника быстрого счета для детей

Современные технологии позволяют выполнять сложные числовые операции за секунду: мы уже практически не считаем в уме, а все чаще используем для этих целей калькулятор. Для чего тогда во всем мире так пристально изучают вопрос обучения детей быстрому счету? Зачем формировать умение у маленьких детей действовать с двузначными и трехзначными числами в уме, не совершая при этом ошибок. В этой статье мы детально рассмотрим все вопросы, затрагивающие обучение детей быстрому счету.

Влияние обучения счету на развитие умственных способностей

Для многих из нас показателем одаренности является умение ребенка умножать двузначные числа. Это заблуждение, так как умение быстро считать – это прежде всего показатель правильного развития мыслительной деятельности. Люди, выполняющие сложные математические вычисления в уме, не являются гениями, но они обладают определенными качествами, среди которых:

  • гибкость мышления, проявление креативности;
  • умение выделять главное и концентрироваться на достижении результата;
  • способность находить выход из нестандартных ситуаций.

Проведенные научные исследования за последние пять лет свидетельствуют о том, что интеллектуальное развитие детей не является динамичным. Для того чтобы умственное развитие ребенка соответствовало норме и не вызывало проблем в школьном обучении, родителям необходимо заниматься с ребенком и обучать его навыкам устного счета.

Обучение счету оказывает благоприятное влияние на развитие психических процессов, необходимых для успешного обучения в школе. В процессе обучения формируется активная речевая и мыслительная деятельность.

Техника быстрого счета

Для того чтобы научить ребенка счету в уме достаточно уделять этому занятию 10-15 минут в день. Результат обучения будет зависеть от индивидуальных возможностей, но при системном подходе к обучению положительная динамика будет отмечена у каждого ребенка. Существует многочисленные способы обучения счету в уме. Представляем вам несколько простых упражнений.

  • Выполнение операций в уме с простыми числами на сложение и вычитание.
  • Разучивание таблицы умножения (это позволит в дальнейшем перейти к более сложным математическим алгоритмам).
  • Увеличение техники чтения (отсутствие интереса у детей к математике связано со слабой памятью, а книги отлично развивают память).

Методики обучения быстрому счету

Приведенные ниже методики позволят вам сформировать навыки элементарного счета у детей на самых ранних этапах обучения.

Методика Глена Домана

Занятия, построенные по этой методике, подходят для детей раннего возраста. Обучение осуществляется с помощью карточек, на которых изображено разное количество точек. Рассматривая карточки, дети знакомятся с множествами, вводятся понятия «меньше» и «больше, развивается память. Недостатком методики является статичность и необходимость постоянного закрепления изученного, так как полученный навык недостаточно устойчив.

Методика А. М. Леушиной

Автор методики выделяет шесть этапов развития навыков счета у детей, начиная с двухлетнего возраста. Первые этапы являются подготовительными (дочисловые) и помогают понять ребенку элементарные действия с множествами, где количество предметов оценивается «один», «много», «поровну», «больше», «меньше».

Дети в возрасте 4-5 лет знакомятся с образование числа, учатся сравнивать множества. Затем постепенно идет усложнение задач, формируется принцип понимания последовательности натуральных чисел, благодаря чему ребенок осваивает счет и овладевает навыками простых арифметический действий в уме.

Обучение счету на основе состава числа

Методика ориентирована на заучивание состава чисел с помощью таблиц или устного проговаривания. Имея представление о составе числа, ребенку значительно легче совершать операции на сложение и вычитание. Например, спросив у ребенка, сколько будет «пять плюс два», ребенок вспомнит, что 5 и 2 входят в состав числа 7. Недостатком методики является возникновение у детей сложностей, связанных с запоминанием.

Ментальная Арифметика

Эта методика достаточно эффективна и в настоящее время. На занятиях ребенок осваивает счет с помощью абакуса (счеты). Сначала ребенок учится принципу работы с абакусом: передвигая косточки, он знакомится с простыми математическими действиями «сложение» и «вычитание», а потом выполняет такие же действия в уме, представляя абакус перед собой. Такой способ хорошо развивает образное и логическое мышление, а также способствует выполнению сложных вычислительных операций в уме с шестизначными числами.

Как выбрать лучшую методику

Для того, чтобы начать обучение счету, ориентируйтесь на возраст ребенка. Если ваш ребенок еще совсем маленький, то для начала ему нужно сформировать представления о множествах. Для этого подойдут методики Леушиной и Домана.

Для обучения детей старшего возраста отдавайте предпочтение ментальной арифметике. Применение разнообразных игровых форм и получение быстрого результата помогут сформировать у ребенка мотивацию к дальнейшему обучению и освоить навыки быстрого счета.

Speed ​​Math — лучшие методы, чтобы быстрее считать в голове



Не знаю, когда я понял, что люблю считать в голове — вероятно, после того, как я бросил школу и мне больше не приходилось заниматься математикой «зарабатывать на жизнь». Как ни странно, любовь к истории и географии у меня не развивалась одновременно!

Я не гений чисел: если вы попросите меня умножить 172 на 47, ответ не слетит с моего языка. Это займет у меня несколько ударов, и, возможно, это сработает с первой попытки, если я устану.Напротив, есть молниеносные человеческие калькуляторы, которые мгновенно выдадут вам произведение двух трехзначных чисел. И есть вундеркинды (такие как Даниэль Таммет), которые совершают еще более выдающиеся подвиги. Тем не менее, по обычным меркам, мои мысленные вычисления довольно быстрые, поскольку они используют ряд простых приемов, на которые я наткнулся с детства. Например, для этого вопроса 172 умножить на 47 я мог бы заметить, что 47 близко к пятидесяти (47 минус 3), и решить сначала вычислить 50 умноженное на 172 (либо взяв пятьдесят процентов от 172 — i.е. половина, то есть 86, и умножение на 100, то есть 8600; или разбив его на 5×100 = 500, 5×70 = 350, 5×2 = 10, суммируя до 860, умножая на десять = 8600). Затем я бы вычитал 3 раза 172 (51 x 10 + 6 = 516), получая 8084 за несколько (долгих) секунд.

Услышав о молниеносных человеческих калькуляторах, о которых говорилось выше, меня всегда немного интересовало, как к ним приходят ответы. Были ли они аутичными учеными, получившими ответы из эфира? Похоже, что это так для некоторых из них.Были ли они «гениями» со сверхбыстрым умом, которые использовали вычислительные приемы гораздо более мощные, чем мои собственные маленькие уловки? Это казалось более частым случаем.

Сокровище: книга Артура Бенджамина
Одним ярким зимним днем, когда мне было за сорок, в нужное время мне в руки попала книга: « секретов ментальной математики», Артура Бенджамина и Майкла Шермера. Это книга с довольно непривлекательной обложкой, но многообещающим подзаголовком: The Mathemagician’s Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks .Книга выполняет свое обещание. Если у вас есть хотя бы отдаленный интерес к повышению скорости умственных вычислений, я настоятельно рекомендую вам купить себе копию, потому что эта книга — сокровище.

Читая первые главы, я с восторгом осознал, что главный автор (Артур Бенджамин) использовал многие из тех уловок, на которые я, естественно, наткнулся. Конечно, это не было совпадением, а скорее естественным результатом параллельного процесса исследования. Было не только приятно читать знакомые описания кого-то, кто бродил по тем же джунглям, но также было ясно, что этот исследователь был намного смелее меня.Он шел по тропам, к которым я никогда не подходил (например, по кубам и квадратным корням), у него был набор крутых техник, о которых я никогда не думал, и он был очень-очень-очень очень быстрым. В самом деле, если бы это не разбило мою метафору исследователя довольно уродливым образом, я бы сказал, что Артур Бенджамин оказался Тарзаном чисел.

Для меня книга Артура Бенджамина пришла в отличное время, так как я заметил, что в последнее время некоторые числа начали доставлять мне проблемы, с тревожной перекрестной связью с 24-часовым временем, которое было , которое никогда не беспокоило меня раньше.Например, число 13 (которое также соответствует 13:00) иногда становилось «размытым» в моем сознании, если вы можете понять это. Этот печальный упадок заставил меня начать сожалеть о своей короткой фазе экспериментов с галлюциногенами несколькими годами ранее. С другой стороны, это могло быть простым следствием возраста или снижения численной активности. Конечно, немного упражнений пойдет мне на пользу.

Приемы, которые имеют смысл
Что мне нравится в Secrets of Mental Math , так это то, что каждая техника, которую представляет Артур, «имеет смысл».Я имею в виду, что для меня все его методы укладываются в знакомый алгебраический контекст, так что каждый метод можно легко декодировать, проверить и понять. Другими словами, он произносит числа на моей волне.

Это контрастирует со многими трюками «быстрой арифметики», которые я читал на многочисленных веб-страницах при изучении темы, трюки, которые часто кажутся слишком изолированными, слишком произвольными, слишком лишенными контекста, чтобы нажимать их способами, которые способствовали бы удержанию. Возможно, в этом заключается разница между тем, кто предлагает рецепт, который он не понимает, и человеком, который экспериментировал с техникой до такой степени, что он владеет ею.

Классные заметки
Я собираюсь использовать эту страницу в качестве «заметок», где я обобщу советы, приемы и техники мысленных вычислений, о которых я не знал, чтобы я мог легко освежить свою память в любое время. Я надеюсь, что, поделившись этими заметками, некоторые уловки понравятся нескольким исследователям, отправляющимся в одни и те же джунгли. Чтобы предоставить более полезный ресурс, на странице также показаны методы, которые использует Артур, которые мне давно знакомы, но, возможно, не вдаваясь в подробности.

Но помните, это только заметки класса. Они не включают богатую оригинальную презентацию, личность учителя, упражнения, которые помогут вам преобразовать идеи в знания. Для меня эта книга — сокровище, и я не могу настоятельно рекомендовать вам взять ее копию — если бы не вы, то одному из ваших детей или племянников. Проходите ли вы стандартизированный тест, сидите на собрании, делите счет в ресторане или занимаетесь деревообрабатывающим проектом, удобство вычислений в вашей голове — это секретное оружие, которое не так уж сложно приобрести и которое делает прекрасное подарок любящему цифры ребенку.

Краткое описание этой очень длинной страницы
Чтобы помочь вам сориентироваться, позвольте мне объяснить структуру страницы. Первые два раздела (которые составляют основную часть содержания) посвящены «знакомым методам» и «новым методам». Это различие, вероятно, для вас бессмысленно, поскольку то, что для меня является новым, может быть вам знакомо. Он предназначен только для того, чтобы помочь мне быстро найти материал, который я, возможно, захочу просмотреть в один прекрасный день. Тем не менее, можно найти определенную логическую прогрессию от «знакомого» к «новому».

Далее мы переходим к тому, что я бы назвал техниками второго уровня, не потому, что им не хватает мощности, а потому, что я, вероятно, не буду их использовать.

Далее мы кратко поговорим о математических фокусах. Артур называет себя «математиком» и устраивает развлекательное шоу для самых разных зрителей. Артур объясняет свои уловки в книге. Меня не очень интересуют фокусы, поэтому я не делал заметок для этой части книги, за исключением одного очень классного алгоритма для вывода кубического корня двузначного целого числа, которое было построено в кубе.

Далее мы обсудим простой способ вычисления дня недели любой даты. В этом разделе я попытался улучшить технику, объясненную Артуром, представив несколько замечательных быстрых клавиш. Я также представляю еще одну знаменитую технику «дня недели», которая может извлечь пользу из моего ярлыка, что делает ее намного проще в использовании, чем обычно, и дает вам два варианта на тот случай, если вы влюбитесь в эти удивительно простые методы … Ты можешь!

Затем мы рассмотрим некоторые другие книги по быстрой арифметике и в заключение приведем несколько ссылок.

Напомним, вот схема:


Итак, без лишних слов, давайте окунемся в мир быстрой мысленной математики.

Знакомые техники

Чтобы обеспечить некоторую структуру, в этом разделе я резюмирую несколько техник, которые долгое время были частью «хлеба с маслом» моих мысленных вычислений и которые Артур ясно объясняет в своей книге.

Слева направо
Как и я, Артур, кажется, считает в уме слева направо.Например, возьмите числа 84 и 53. Если бы вы сложили или умножили их на бумаге, вы бы начали с последних цифр (4 и 3), но в уме вы начинаете слева. Вот примеры того, как это работает.

• Сложение: 84 + 53 = 13 (8 плюс 5 слева), за которым следует 7 (4 плюс 3) = 137. Для такой небольшой операции я бы фактически пошел большими кусками, с 134 (84 + 50) плюс 3, или «увидеть» ответ.

• Умножение: 84 x 53 = 4 240 (80 x 50 + 80 x 3) + 212 (4 x 53) = 4 452.Мы могли бы выбрать «инвертировать» 84 и 53: 4200 (50 x 84) + 252 (3 x 84) = 4452.

• Вычитание: 84 — 53 = 3 (8 минус 5), за которым следует 1 (4 минус 3) = 31.

• Деление: 168/3 = 150/3 + 18/3 = 56. 84/53 также работает слева направо: 1 оставляет 31/53 (1 + 31/53), а 31/53 снова работает слева направо.

Это правило написания слева направо не означает, что вы строго разбиваете каждое число слева направо. Вам могут прийти в голову и другие ярлыки, которые заставят вас разбить числа, с которыми вы работаете, на более крупные куски.

Округление
Это метод, о котором я упоминал во введении, где для вычисления 172 x 47 мы округляем 47 до 50. Часто проще оперировать числом, которое вы округлили в большую или меньшую сторону, а затем добавить или вычесть разницу. Например,

• Сложение: 49 + 77 = 127 (50 + 77) минус 1 = 126;
• Умножение: 49 x 77 = делится на 50 x 70 = 3500, 50 x 7 = 350, в сумме получается 3850 минус 77, что составляет 3750 (3850 минус 100) плюс 23 (разница от округления 77), что дает 3773;
• Вычитание: 77 — 49 = 27 (77 — 50) плюс 1 = 28.
• Деление: 196/4 = (200/4) — 1 = 49.

Билл Хэндли описывает некоторые другие методы округления, которые я использую все время.

Дополнения
В этой технике метод округления идет еще дальше. У меня никогда не было названия для этого, но имя Артура имеет смысл. Например, для двузначных чисел вы можете «округлить» 37 до 100, чтобы вычесть быстрее, а затем прибавить разницу, 63. Вот как это работает: чтобы вычислить 414 минус 37, вы выполняете 314 (400 — 100) и прибавляем 63, получая 377.

Разница между 100 и числом (в случае двузначных чисел) — это то, что Артур называет дополнением. Я давно заметил, что все эти дополнения заложены в моем сознании. Например, если вы скажете 34, мне не нужно вычислять дополнение (66). Это значительно ускоряет выполнение многих задач на вычитание.

Если вы много работаете с числами в голове, вам часто приходят в голову трехзначные числа (или более длинные дополнения). Например, для 1200 минус 625 я инстинктивно прибавил 375 к 200, получив 575.

Обратите внимание, что в случае 1200 минус 375, дополнение к 625 может появиться и дать вам 200 + 625 = 825, но в первую очередь может возникнуть конкурирующий метод 800 (1200 минус 400) плюс 25 = 825. Никогда не знаешь, какая стратегия бросится в глаза в первую очередь.

У Артура есть крутой метод вычитания с помощью дополнений еще быстрее.

Выбор метода
Для меня часто значительная часть вычислительного времени уходит на выбор метода, особенно если есть два привлекательных метода, конкурирующих за внимание.Для некоторых проблем вы решаете, анализируя, для других вам лучше прыгнуть с первой атакой, которая приходит к вам.

Использование аппаратных операций
Иногда вам бросается в глаза, что проблема близка к операции, которая заложена в вас, и вы можете воспользоваться этим. Например, для 4 умножения на 127, вместо умножения слева направо, я замечаю близость к 4 x 125 (жестко запрограммировано как 500), поэтому я просто добавляю 8 (четыре раза по два, поскольку два — это расстояние до 127 от 125).Результат: 508.

Использование факторов
Часто вам бросается в глаза, что число является произведением других чисел. Например, 18 трижды шесть. Это часто дает вам альтернативный, более быстрый метод вычисления чего-либо.

• Умножение: для 16 x 18 вы можете вычислить 16 x 3 (48) умножить на 6 = 288.
• Деление: для 120/15 вы можете вычислить 120/3 (40), разделенное на 5 = 8. Или, заметив ноль в конце 120 и 5 в конце 15, вы можете умножить на два, чтобы получить ноль также отображается справа: 240/30.Когда вы упрощаете это до 24/3, что дает 8, вы используете множители, не задумываясь об этом: вы делите 30 на 10 x 3 и начинаете с деления 240 на десять, первого множителя.

Этот пример показывает, что иногда при делении вы умножаете, чтобы появился общий множитель. По сути, правило — «все работает». Другие примеры:

• чтобы разделить на 16, я часто делю на 2, четыре раза подряд.
• чтобы умножить или разделить на 12½, я буду рассматривать это число как 100/8, умножить на 100 и разделить на 8 или наоборот.Я думаю, вы могли бы назвать это обратным факторингом .

Работа с факторами часто экономит ваше время. Например, в задаче умножения, такой как 16 x 18, с помощью факторного метода мы просто умножаем дважды, тогда как при классической операции слева направо нам нужно было бы дважды умножить , а затем добавить (10 x 16 = 160, 8 x 16 = 128, 160 + 128 = 288) или дважды умножьте , затем вычтите (20 x 16 = 320, 2 x 16 = 32, 320-32 = 288).

Запомненные дроби
Я помню тот давний день, когда, скучая в классе, я решил запомнить все дроби с делителями до девяти и числителями до девяти.

Например, 1/9 = 0,111 повторения, 2/9 = 0,222 повторения и так далее. Это оказалось чрезвычайно полезным. Однажды я оказался на обеде, где нам пришлось разделить счет между семью людьми. Запомнив схему дроби от семи, я получил удовольствие от объявления результата: 23.4285714… К сожалению, деление на семь встречается не так часто.

Было приятно увидеть, что Артур использует одни и те же запомненные дроби. В книге даже перечислены дроби от 11, которые я однажды выучил, но забыл из-за неиспользования, поэтому я перечисляю их в разделе новых методов.

• Все дроби от 9 — это произведение 0,1111… (повторение последней цифры). Например, 6/9 равно 0,6666… Это может пригодиться, если вы разделите 120 на 18 и заметите, что 18 равно 2 умножить на 9. Вы мгновенно упростите до 60/9, что даст вам 6,6666…

• Дроби от 8. Разве вы не используете их все время? 0,125 для одной восьмой, 0,375 для трех восьмых, 0,875 для семи восьмых… Промежуточные части встречаются не так часто, потому что они упрощаются до одной четверти, одной половины и трех четвертей.

• Доли числа от 7.Я люблю это. Одна седьмая — 0,142857, затем повторяются эти числа: 0,14285714… Все дроби от двух седьмых до девяти седьмых используют один и тот же образец, начиная с другой цифры. Чтобы узнать, какая цифра, просто умножьте начало (14) на числитель. Две седьмых = 0,28571428… Три седьмых = 0,42857142… Четыре седьмых = 0,57142857… Пять седьмых = 0,71428571… Шесть седьмых = 0,85714285…

• Доли от 6. Они появляются постоянно. Одна шестая — 0,1666… (повторяется). Пять шестых — 0.8333… (повторяет). Промежуточные — трети или половина.

• Доли от 5. Они также появляются постоянно. Деление на пять — это то же самое, что умножение на два и деление на десять, так что просто имейте «рефлекс умножить на два». Например, для трех пятых вы делаете два раза по три, так что это шестой пункт. Одна пятая — 0,2, две пятых — 0,4, три пятых — 0,6, четыре пятых — 0,8.

Проверка делимости числа на 3
Этот трюк я помню со школы и постоянно использую.Чтобы проверить, делится ли число на 3, вы просто складываете все цифры, и если результат делится на 3, то же самое и исходное число. Например, для 817 273 вы получите 28, что не делится на 3. (Повторно, если вы не уверены, делится ли ваш результат на 3, продолжайте складывать цифры: для 28 вы получите 10.) С другой стороны, для 817 272 вы получите 27, что делится на 3, и действительно, 817 272 — это трижды 272 424.

На самом деле, для многих чисел я не утруждаю себя сложением всех цифр: я игнорирую цифры, которые уже кратны 3, ищу пары, которые в сумме дают 3, игнорируя их также, затем складываю оставшиеся цифры.Например, для 6 817 273 я игнорирую 6, игнорирую пару 8-1, игнорирую пару 7-2 и игнорирую последние 3, оставляя 7.

Мне нравится этот трюк, но есть еще кое-что! Артур представляет другие приемы, которые я либо забыл, либо никогда не знал, чтобы проверить их на делимость на другие числа.

Умножение двузначных чисел на одиннадцать
Это излюбленный прием учителей начальной школы. Чтобы умножить двузначное число (например, 42) на одиннадцать, вы складываете две цифры (4 + 2 = 6) и вставляете их посередине: 462.Если вам нужно нести (в 49 x 11, 4 + 9 дает 13), добавьте единицу к первой цифре: 49 x 11 = 539.

Вы можете расширить этот трюк, чтобы умножить более длинные числа на 11, но для меня это не работает с умом, поэтому я им не пользуюсь. Я считаю, что мне лучше пойти на бумагу: например, для 87 657 умножить на 11 я напишу число один раз, затем запишу его снова, чуть ниже первого числа, но сдвинутым на один столбец влево, а затем сложу два числа . Конечно, это именно то, что делает классическое умножение.

Обратная сторона конверта
Артур — большой поклонник предположений. Я тоже
Например, возьмите 7 896 и 4099.

• Сложение: сколько 7 896 плюс 4 099? Не знаю, но это около двенадцати тысяч (8000 + 4000).
• Умножение: сколько 7 896 умножить на 4 099? Я не знаю, но это близко к 32 миллионам (8000 x 4000).
• Разделение: что такое 7 896 против 4 099? Не знаю, но это близко к двум (8000/4000). Если бы я хотел точно настроить приближение, которое, как я знаю, слишком велико для двух учетных записей (первое 7896 меньше 8000, второе 4099 больше 4000), глядя на соотношение между 4000 и 4100, я мог бы сказать, что добавив десять процентов к 4000, в результате чего знаменатель 4400 удалит около десяти процентов ответа (0.2), поэтому с 4100 я бы снял только четверть этого (0,05), получив приблизительное число 1,95, что немного ближе к фактическому ответу (1,926).

Проверка результатов
• Добавление: при добавлении длинных списков чисел я люблю добавлять второй раз снизу вверх.
• Деление: иногда вы можете захотеть умножить результат на делитель, чтобы убедиться, что вы снова встаете на ноги.

Позже мы рассмотрим другие техники, которые использует Артур: выброс девяток (который я не использовал с младших классов) и выброс одиннадцати.

Новые методы

В этом разделе представлены техники, которым я научился в книге.

Умножение соседних чисел: метод привязки
Допустим, вы хотите умножить близлежащие числа, например 62 на 63. Вы заметили, что оба числа близки к шестидесяти. Разбив его на части, если мы запишем 62 как 60 + 2 и 63 как 60 + 3, проблема будет (60 + 2) x (60 + 3), которая уменьшится до 60x (60 + 2 + 3) + 2×3.

Если это жестко запрограммировано в вас, тогда, когда вы видите 62 x 63, вы сразу переходите к 60×65 плюс 6 = 3906.Аккуратный!

Другой пример: 84 x 87 = 80×91 + 28 = 7 308.

Используя этот метод, вы ищете удобную «привязку» для перестановки умножения. В первом примере (62 x 63) колышек был 60; во втором примере (84 x 87) колышек был 80.

Этот «метод привязки» окупается во многих ситуациях. Например, если вы хотите умножить трехзначные числа на нули в середине, такие как 105 и 106, вы быстро получите 100 x 111 + 30 = 11 130.

Этот метод еще проще, если сумма последних цифр равна десяти.Например, для 62 x 68 вы сразу перейдете к 60×70 + 16 = 4216.

Билл Хэндли, специалист по технике «близких чисел», использует ее даже в тех случаях, когда числа совсем не рядом. В конце концов, распределение работает независимо от того, рядом или далеко числа, поэтому вы можете использовать любую привязку, которая вам нравится. Например, для 75 x 25 Билл использует 5 в качестве привязки, что дает (5 x 95) + (70 x 20). В обзоре книги Билла я также покажу его вариант метода привязки для таких случаев, как 23 x 87, где вы можете взять 20 в качестве привязки и 4 в качестве множителя.

Если вы действительно внимательны, вы можете найти привязку, когда рядом будут следующие числа:

• под круглым числом: 58 x 59 = 60 x 57 + 2 = 3 422. Это упрощение (60-2) x (60-1).
• по обе стороны от круглого числа: 57 x 62 = 60×59 — 6 = 3,534. Это упрощение (60-3) x (60 + 2).

Исходные числа для умножения (например, 188×190) в сумме дают ту же сумму (378), что и новые числа для умножения (200×178), и это может быть полезно для быстрой проверки того, что вы умножаете правильные числа, или даже как ярлык для получения второго числа для умножения.

Если вы еще более внимательны, вы можете преобразовать некоторые проблемы в проблему с соседними номерами. Например, для 105 x 412, используя коэффициент 2, вы меняете задачу на 210 x 206, что дает 200×216 + 60 = 43 260. Для 104 x 927, используя коэффициент 3, вы меняете задачу на 312 x 309, что дает 300 x 321 + 108 = 96 408.

Возведение в квадрат методом колышка
• Особый случай «Легкий»: числа, оканчивающиеся на 5 (например, 75). Для двузначного числа возьмите первую цифру, умножьте ее на старшую цифру (7 x 8 = 56), закрепите 25 в конце: 5625.2 = (a — b) x (a + b), при этом при вычислении 38-квадрата a = 38 и b = 2.

• Трехзначные числа. Метод тот же. На этот раз мы находим ближайшее кратное 100. Например, в квадрате 211 ближайшее кратное равно 200, а число «на другой стороне» равно 222. Произведение равно 44 400, к которому вы добавляете квадрат расстояния. (11 квадратов — 121), что дает 44 521.

Приблизительные квадратные корни
Этот метод был откровением. Мы рассмотрим его для квадратных корней из двузначных чисел, но он работает и для больших чисел.Прежде чем мы рассмотрим алгоритм, рассмотрим общую идею. Мы пытаемся найти точное приближение. Возьмем 50. Мы знаем, что квадрат 7 равен 49, а квадрат 8 равен 64, поэтому ответ должен быть между 7 и 8, а 7 дает ближайший квадрат. Теперь рассмотрим 50/7. Поскольку 7 меньше нашей цели (квадратный корень из 50), это число (50/7) больше, чем цель. Другими словами, наша цель находится где-то между 7 и 50/7. Возьмите среднее из двух: это наше приближение. Один из способов вычислить среднее значение: (7 + 50/7) / 2 = 7.07. Другой способ — сказать, что среднее значение равно 7 плюс половина разницы, то есть 7 + (50/7 — 7) / 2, то есть 7 + (50 — 49) / 14, или 7 + 1/14.

Это алгоритм: возьмите число, которое дает ближайший квадрат. Затем добавьте начальную ошибку, деленную на двойное начальное приближение.

• Пример 1: квадратный корень из 90. Ближайший квадрат 9 (квадрат 9 — 81). Ошибка 9 (90 — 81). Наше окончательное приближение 9 + 9/18 = 9,5.
• Пример 2: квадратный корень из 78.Опять же, ближайшее приближение — 9. Ошибка -3 (78 — 81). Наше окончательное приближение 9 — 3/18, то есть 9 — 1/6, что составляет 8 + 5/6 (если вы обнаружите, что быстрее прибавить пять шестых к восьми, чем удалить одну шестую из девяти) = 8,83.

Насколько точен этот метод? Для чисел от 10 до 99 при сравнении приближения, округленного до второго десятичного знака, с фактическим квадратным корнем, округленным до второго десятичного знака, разница в восемьдесят раз составляет 0,01 или меньше, в восемь раз она равна 0,02, если она равна 0.03 (для 20) и сразу 0,04 (для 12). Для меня это очень хорошо.

Кстати, чтобы улучшить ваше приближение, вы всегда можете взять второе приближение и повторить процедуру, добавив новую ошибку, разделенную на удвоенное приближение.

Артур не упоминает об этом, но я обнаружил, что этот метод можно легко преобразовать в процедуру для оценки кубических корней , хотя вычисления не так просты. Вот как это работает. Вы берете первую оценку и складываете ее в куб.Ваша вторая оценка будет исходным приближением плюс начальная ошибка, деленная на удвоенный квадрат приближения . Обратите внимание, что по сравнению с алгоритмом вычисления квадратных корней, «квадрат» в делителе — единственное изменение.

Моя идея этой адаптации метода квадратного корня была вдохновлена ​​приложением к книге Билла Хэндли (рассмотрено ниже), где он представляет свой алгоритм вычисления кубических корней. Конечно, эти два понятия эквивалентны. Кстати, с чего вы начинаете — какова ваша первоначальная оценка? Билл указывает, что вы берете тройки цифр, начиная с правого, и заменяете каждую из них нулем.У вас останутся от одной до трех крайних левых цифр. Для вашего приближения вы берете ближайший куб целых чисел от 0 до 9. Их всего десять, некоторые из которых вы уже должны знать, а остальное вы запомните, если посмотрите на потрясающий трюк Артура (не далеко ниже) для получение кубических корней совершенных кубов двузначных целых чисел. (0 ⇒ 0, 1 ⇒ 1, 2 ⇒ 8, 3 ⇒ 27, 4 ⇒ 64, 5 ⇒ 125, 6 ⇒ 216, 7 ⇒ 343, 8 ⇒ 512, 9 ⇒ 729.)

В своем обзоре книги Билла Хэндли я также упомяну его советы по вычислению квадратных корней из более длинных чисел.Ключевой трюк заключается в том, что при вычислении квадратного корня каждая пара цифр, начинающаяся справа, будет уменьшена до десяти (десять в квадрате — это сотня), за исключением крайнего левого префикса из одной или двух цифр. Используя обычный метод, вы оцениваете квадратный корень из этого однозначного или двузначного префикса, а затем настраиваете шкалу, умножая ее на десять.

Быстрое вычитание с дополнениями
Ранее мы говорили о дополнениях. Напоминаем, что в случае двузначного числа, такого как 41, дополнение — это расстояние от сотни (здесь 59).Мы уже видели, как дополнения можно рассматривать как форму метода округления, которая может ускорить вычитание. Например, для 214 минус 41 вы удаляете 100 (114) и добавляете 41 (59), получая 173.

Артур представляет еще один метод, который мне никогда не приходил в голову и который может быть еще быстрее. Если взять 214 минус 41, опять же, вы знаете, что ответ будет сто с чем-то. В остальном вы вычисляете 41 минус 14 (27) и находите дополнение (73), снова возвращая 173. Это происходит сразу после появления водорослей, но мне никогда не приходило в голову.

Что быстрее? Это зависит. В этом случае это близко. При первом способе вы находите дополнение, а затем добавляете. Во втором методе вы вычитаете, а затем находите дополнение. Если вычитание бросается в глаза, например, 44 минус 22, то второй метод, вероятно, быстрее. Например, в случае 122 минус 44, при втором методе мы перескакиваем с 22 (разница) на 78 (дополнение и ответ), тогда как в первом методе мы переходим к 56 (дополнение), а затем добавляем его обратно к 22, чтобы найти 78.

Перекрестное умножение
Это отличный способ быстро умножать числа любого размера ручкой и бумагой. Я не буду это объяснять, потому что не хочу рисовать диаграммы. Объявление отличный повод купить книгу!

Разделение
Артур отмечает, что при мысленном делении полезно сначала выяснить, сколько цифр будет в ответе. Например, для 357/8 ответ состоит из двух цифр, потому что 100 будет слишком большим (8 x 100 = 800).Итак, когда вы начнете слева с 35 и обнаружите, что 4 работает (4 x 8 = 32), вы можете начать говорить «сорок» … Далее, 37 — это остаток, так что вы можете сказать «четыре». Затем вы можете продолжить с 50 и объявить «точка-шесть» (6 x 8 = 48) и так далее. (Или, в этом случае, идите прямо за деньгами, разделив 50 на 2 три раза подряд.)

Артур тоже предлагает этот отличный трюк. Допустим, вы хотите вычислить 230 из 24. Используя эту технику, вы сразу увидите, что 230 из 24 — это 9 + 14/24, и продолжите задачу с этого момента.Как вы это видите? Во-первых, десять умножить на 24 равно 240, чуть больше 230, поэтому десять — это первое целое число над целой частью нашего ответа, и наш ответ должен быть «9 с чем-то». Пока никаких чудес. Но крутая интуиция — очевидная, как только вы ее видите, — это посмотреть, насколько мы промахнемся, если умножим 23 на десять. Мы промахиваемся на десять (240 — 230 = 10). Итак, если мы умножим 24 на 9, мы получим короткую позицию на 14. Ответ: 9 + 14/24.

Вы бы не использовали эту технику каждый раз, но время от времени информация просто попадает вам в руки, потому что вы пытаетесь угадать целую часть деления, и ваше предположение «просто выходит за рамки» меньше, чем делитель.

На самом деле, если вы промахнулись еще больше, уловка по-прежнему доступна вам, хотя она может быть не такой немедленной. Предположим, что для 620 вместо 33 вы попробуете 20. У вас получится 660, так что вы увидите, что вы превысили свой множитель на два, и ответ должен быть «18 с чем-то». Так как 660 минус 33 равно 627, умножение 33 на 19 приведет к выходу за пределы 7. Умножение 33 на 18, следовательно, приведет к недостижению на 33 минус 7, что составляет 26. Это дает ответ 18 + 26/33.

Проверка на делимость
Ранее мы использовали уловку, чтобы проверить, делится ли число на 3.Вот аналогичные уловки, которые предлагает Артур для проверки делимости на другие числа.

• Делимость на 4. Проверьте, делятся ли последние две цифры на 4. (Так как 4 x 25 равно 100, мы можем не учитывать цифры слева от двух последних). Если вам не сразу понятно, является ли 66 делится на 4, сначала разделите его на 2: вы получите нечетное число, поэтому это не сработает.

• Делимость на 8. Проверьте, делятся ли последние три цифры на 8. (Так как 8 x 125 равно 1000, мы можем не учитывать цифры слева от последних трех.)

• Делимость на 9. Проверьте, делится ли сумма цифр на 9. Например, 123 не делится на 9 (сумма цифр 6), тогда как 126 (сумма цифр 9). Чтобы понять, почему это работает, прочтите мою страницу о том, почему работает метод «изгнания девяток».

• Делимость на 6. Проверьте делимость на 2 и на 3. Duh…

• Делимость на 11. Поочередно складывайте и вычитайте цифры справа налево. Игнорируя любой отрицательный знак, если результат равен нулю или кратен 11, то исходное число делится на 11.Например, для 7 415 вычислите 5-1 + 4-7, получив -7, что не работает (7 не делится на 11). Для 9 273 вы вычисляете 3 — 7 + 2 — 9, что равно -11, что работает, а 9 273 действительно одиннадцать умножить на 843.

• Делимость на другие нечетные числа. Обожаю эту технику. Допустим, вы хотите знать, делится ли 96 843 на 7. Добавляйте или вычитайте числа, кратные 7, пока в конце не получите ноль (добавление или удаление семерок, очевидно, не повлияет на делимость числа на семь). В этом случае мы можем добавить 7, чтобы получить 96 850.Вы можете убрать ноль, потому что деление на десять (то есть на 2 и 5) не влияет на то, является ли 7 множителем этого числа. Итак, у нас осталось 968. Делится на 7? Продолжайте добавлять или удалять семерки, чтобы получить нули. Здесь вы можете прибавить 42, получив 1010, или, проще говоря, удалить 28, получив 940. Удалите ноль. 94 делится на 7? Удалите 14, получив 80. Удалите ноль. Восемь не делится на 7, следовательно, и 96 843.

Давайте воспользуемся этой техникой, чтобы увидеть, делится ли 773 на 17. Складываем 17: 790.Убрать ноль. 79 не делится на 17 (слишком близко к 68), поэтому и 773 тоже.

Разное приближение
Вот несколько идей, которые упоминает Артур.

• Используйте известные фракции. Например, если вам нужно взять 7¾% от суммы, вы можете заметить, что эта доля близка к семи к девяти (7,77… повторение). Это дает вам быстрое приближение (умножение на 7, деление на 9, деление на сто), что особенно удобно, если вы живете в штате, где налог с продаж составляет 7¾%, например, в Калифорнии в старые добрые времена.

• Правило 70. Это интересная идея, о которой я впервые упомянул в великолепном выступлении Эла Бартлетта под названием Арифметика, население и энергия . Я никогда не использовал его, потому что слишком привык вычислять точный ответ с помощью логарифмов, но книга Артура убедила меня запомнить этот трюк из-за его скорости. Скажем, определенная сумма (например, население или денежная сумма) растет со скоростью i% в год. Сколько лет понадобится, чтобы удвоиться? Разделив 70 на i, вы получите хорошее приближение.y = 2. Следовательно, y.log (1 + i%) = log (2) и y = log (2) / log (1 + i%). Для i% = 7% получаем y = log (2) / log (1,07) = 10,24.

• Правило 110. Это то же самое, что и правило 70, но оно используется для оценки того, сколько времени потребуется, чтобы сумма сложного процента с определенной скоростью утроилась. Например, сумма, увеличивающаяся на 7% в год, утроится примерно за 16 лет (110/7 = 15,71). Чтобы получить точный ответ, вычислите log (3) / log (1.07) = 16,23.

Сохранение цифр на руках при вычислении
Хранение цифр на руке… Это странное выражение, но, как указывает Артур, цифры (одна, две, три…) называются цифрами не зря: наши пальцы — это оригинальная счетная машина.

Он дает уловку для запоминания цифр при выполнении многоступенчатых вычислений. За ноль сожмите кулак. У вас уже есть собственный способ представить цифры с первой по пятую с помощью пальцев. (Между прочим, какой бы метод люди вокруг вас ни использовали, это культурная традиция, и такие методы различаются в разных регионах мира.) Для шести, семи, восьми и девяти коснитесь большим пальцем мизинца, безымянного пальца, среднего пальца и указателя. Палец. Обеими руками вы можете сохранить две цифры.

Запоминание больших чисел
Артур использует популярную (и древнюю) мнемоническую систему, называемую главной системой. Короче говоря, каждому числу присвоен согласный звук, так что числа можно закодировать словами. Например, «Сидней просто встряхнул Фабио» кодируется 0123456789:
. 0 в кодировке s или z,
1 кодируется t, d или th
2 кодируется n,
3 кодируется m,
4 кодируется r (как в четыре),
5 кодируется буквой L (римская цифра пятьдесят),
6 кодируется «влажными звуками», как в мягком g в «заработной плате», sh в «shush», ch в «зудящем»
7 кодируется K или жестким g в «go»,
8 кодируется f или v,
9 кодируется b или p.

Гласные ничего не кодируют. Обратите внимание, что система фонетическая: написание не имеет значения. Например, «itchy» кодирует только 1 (t является частью звука tch), а «garage» кодирует 746, поскольку два g произносятся по-разному.

Для телефонных номеров этот метод отлично работает, особенно если вы найдете забавные прозвища для кодирования номеров. Например, как можно забыть «большое лицо Джима» (у которого нет самого маленького лица) или «афродита на стенах» (у кого есть хорошая история, которую можно рассказать)?

Артур говорит, что использует эту технику для запоминания промежуточных результатов в середине длинных вычислений.Если вы планируете использовать такую ​​систему, то имеет смысл запомнить словарь для чисел от 00 до 99 (или даже от 000 до 999), чтобы слова были легко доступны для вас, когда они вам понадобятся.

Вот несколько кодировок, которые я придумал, которые могут вам понравиться:

Квадратный корень из 2: Авторитарный снос, устав Микки Мауса.

Корень квадратный из 3: Токийский мужчина доставляет неприятности повару.

Первые десятичные знаки числа Пи: Вернитесь скоро, так как я собираюсь опубликовать свое потрясающее стихотворение для первых 100 десятичных знаков числа Пи.

Бесплатная программа 2Know может помочь вам кодировать числа. Этот онлайн-кодировщик основной системы тоже неплох.

Методы, которые я, вероятно, не буду использовать

Вот несколько техник, которые упоминает Артур, и которые я, вероятно, не буду использовать, потому что они требуют запоминания определенных операций или потому, что я выполняю операцию так редко, что я ее не запомню. Чтобы узнать подробности, вы обязательно захотите прочитать книгу.

Обнаружение ошибок путем исключения девяти и одиннадцати
Эти два метода (ни один из которых не является полностью точным) используются для обнаружения ошибок в результатах ваших расчетов.Они могут сказать вам, что есть ошибка, но не могут сказать вам, что ошибки нет.

Мы изучили метод «изгнания девяток» в начальной школе, но точный метод вскоре ускользнул из моей головы, и я сомневаюсь, что начну использовать любой из этих методов на этом позднем этапе.

Изгнание девяток (или одиннадцати) может выглядеть как магия, но причину, по которой это работает, действительно легко понять. Если вам интересно, посмотрите мою страницу, объясняющую, как и почему работает отбрасывание девяток. Здесь я просто резюмирую метод.

• Выброс девяток. Для каждого числа, с которым нужно работать, сложите все цифры, пока они не уменьшатся до одной цифры. Например, 859 дает 4 (8 + 5 + 9 = 22 и 2 + 2 = 4). Это называется модульной суммой, и это число по модулю 9 (остаток от деления на девять). Также вычислите мод-сумму для результата операции. Теперь выполните ту же операцию (сложение, вычитание или умножение) над модульными суммами, которую вы проделали с исходными числами. (Для разделения вам нужно сформировать тест определенным образом: см. Раздел о разделении на моей странице о том, как выбросить девятки и выбросить одиннадцать.) Результат должен соответствовать третьей сумме модуляции. Например, для 859 x 17, если вы получаете 14 623, вы знаете, что допустили ошибку, потому что мод-сумма 859 равна 4, мод-сумма 17 равна 8, произведение равно 32, что дает модульную сумму 5. — тогда как мод-сумма 14 623 равна 7.

• Изгнание одиннадцати. Это дает число по модулю одиннадцать (остаток от деления на одиннадцать). Вы используете его как метод 9. Это означает, что когда вы складываете, вычитаете или умножаете модули, их модуль должен упроститься до модуля результата операции.Чтобы получить число по модулю 11, вы попеременно складываете и вычитаете все его цифры, начиная с самой правой цифры и двигаясь влево. Если вы получите отрицательное число, добавьте 11. Например, для 958 вы получите 9-5 + 8 = 12, тогда 2-1 = 1. И действительно, 957 равно 11 x 87, поэтому 958 больше 11 имеет остаток. of 1.

Если модули совпадают, метод исключения девяток имеет 8 шансов из 9 дать вам правильный совет («вероятно, без ошибок»). Если модули совпадают, метод «выбрасывания одиннадцати» имеет 10 шансов из 11 дать вам правильный совет («вероятно, без ошибок»).Если модули совпадают в обоих методах, метод имеет 98 шансов из 99 дать вам правильный совет.

Дружественные факторы
Артур дает список «дружественных факторов», которые он предлагает запомнить, чтобы, когда придет время, вы могли упростить свои вычисления. Например, 38 x 8 = 304, поэтому, если вам нужно было вычислить 38 x 24, вы могли бы решить пойти по пути факторинга, начиная с 8 (38 x 8 = 304), а затем умножив на 3, что легко, потому что «дружественный factor «имеет ноль посередине: 304 x 3 = 912.

Это круто, но я вряд ли запомню длинный список дружественных факторов.

Еще одно изящное применение — сделать так, чтобы коэффициент дружелюбия появился путем деления большего числа: например, для 318 x 13 вы можете взять 3 x 106 x 13, что даст вам 3 x 1,378 = 4,134.

Точные квадратные корни
Мне нравится метод Артура для приближения квадратных корней. Он также дает один для вычисления точных квадратных корней, но я не буду его использовать.

Кубинг
Мне почти никогда не нужно вычислять кубики, поэтому я никогда этого не вспомню.2) х 18 = 5832.

Волшебные трюки

Артур представляет ряд «фокусов». Для некоторых это может быть интересным, а для «фокусника» — развлечением, но на самом деле они меня не интересуют. Почему нет?

Представьте себе эту карикатуру на уловку. Придумайте любое число от одного до ста. Добавьте два. Вычтите свое число. А теперь позвольте мне угадать … результат два … верно?

Для меня большинство фокусов с числами — это вариации этого псевдотрюка. Если есть уловка, есть алгоритм — я могу не знать, какой из них, но этого достаточно, чтобы потерять интерес.Просто вопрос того, что заводит или выключает разных людей.

При этом трюки Артура очень эффективны для аудитории, поэтому, если у вас есть некоторая зрелищность и вы наслаждаетесь таким взаимодействием с людьми, то вам очень понравится эта часть книги. Я больше одиночка.

Тем не менее, был один трюк, который мне понравился: вот он.

Мгновенный корень куба
Это сверхбыстрый метод объявления кубического корня секретного двузначного числа, которое было построено в кубе.Для этого вам нужно знать первые десять кубиков: 1 → 1, 2 → 8, 3 → 27, 4 → 64, 5 → 125, 6 → 216, 7 → 343, 8 → 512, 9 → 729, 10 → 1000.

Все эти кубики заканчиваются разными цифрами от нуля до десяти, и это соотношение один к одному является отличным ключом к разгадке, поскольку оно сообщает вам последнюю цифру двузначного числа, которое вы построили в кубе. Обратите внимание, что последняя цифра куба одинакова во всех случаях, за исключением двух пар, 2⇔8 и 3⇔7.

Допустим, зритель объявляет, что куб 42 875. Вы сразу же знаете, что последняя цифра — 5, потому что 5 → 125.А как насчет первой цифры? Десять-куб — это тысяча, поэтому хитрость здесь заключается в том, чтобы не обращать внимания на все, что находится справа от запятой, и просто сосредоточиться на цифрах слева от запятой. Эти цифры (42) находятся между кубиками для 3 и для 4, поэтому первая цифра — 3. Секретное число — 35!

Метод Артура для извлечения квадратного корня из квадратов двузначных целых чисел не так прост, но похож. Вы вычисляете первую цифру, игнорируя последние две цифры квадрата и сравнивая эти одну или две цифры с первыми десятью квадратами.2 = 36). Чтобы решить, какое из них, вы возводите в квадрат число в середине (простой квадрат числа, оканчивающегося на пять) и смотрите, является ли ваш квадрат ниже или выше.

День недели любой даты

В «волшебной» части своей книги Артур представляет знаменитую технику определения дня недели любой даты в нашем григорианском календаре. Я не включил его в раздел, посвященный математической магии, потому что это полезный метод, который большинство из нас, вероятно, использует сотни раз, даже не демонстрируя его на сцене.

Я придумал улучшенную версию этой техники, сокращенное вычисление, которое упрощает весь процесс. Я скоро представлю его на отдельной веб-странице (по одному!)

Этот ярлык, который я использую, также ускоряет вычисление дня недели, если вы используете альтернативный метод, называемый алгоритмом Судного дня.

Прочие книги по ментальной математике

В этот раздел я планирую постепенно добавлять обзоры других книг о скоростных ментальных вычислениях.

Short-Cut Math , Джерард Келли.
Я считаю эту книгу в основном превосходной. Тон более академичный, чем в книге Артура, что можно объяснить как годом ее публикации (1969), так и тем фактом, что опыт Артура на сцене делает его беглым ведущим.

Я не встречал ни одного потрясающего трюка, но мне понравилось, что Джерард представил много маленьких техник, которые я тоже использую, техник, в которые Артур не входил. Например, Джерард находит время, чтобы описать некоторые разговоры, которые происходят в вашей голове, пока вы выполняете вычисления, а также общие методы, сочетающие мысленные вычисления с ручкой и бумагой, такие как сканирование простых пар (например, 17- 13) при суммировании столбцов чисел.

Джерард показывает добавления «без переноса», где вы суммируете каждый столбец цифр независимо, а затем складываете промежуточные суммы. Это особенно хорошо работает слева направо (записывая соответствующее количество нулей), поскольку вы получаете все более точные оценки.

На мой взгляд, у Джерарда была отличная интерпретация формулы n (n + 1) / 2, которую я всегда использовал для суммирования ряда последовательных цифр, начинающихся с 1. В его формуле сумма не должна начинаться с 1. Если F и L — первое и последнее число в ряду, вы берете среднее значение (F + L) / 2, а затем умножаете на количество чисел (L + 1-F).Легкий!

Джерард указывает, что если вы умножаете на бумаге, и это одно число имеет повторяющиеся цифры, например, как в 666 x 827, вам лучше поставить 666 в нижней части умножения, потому что все три прохода дадут то же число (здесь 4962), которое вы затем суммируете с соответствующими смещениями. Для чего-то вроде 248, отмечает Джерард, все цифры кратны друг другу, что дает нам быстрый способ записать строки 4x и 8x, если у нас есть строка 2x.

Я не поклонник раздела о возведении в квадрат, где Джерард вводит различные техники возведения в квадрат чисел, заканчивающихся на 1, 4 или 5. Хуже того, он опирается на свои правила возведения в квадрат, чтобы предоставить еще больше методов для умножения ближайших чисел, запутывая методы для действительно, помните, по сравнению с одним простым методом поблизости, описанным здесь.

Чтобы умножить на 45, Джерард предлагает умножить на 50 и вычесть десять процентов — прием, который я часто использовал при конвертации валют.Другой пример: умножение на 396 после умножения на 400, вместо четырехкратного вычитания числа, вы можете просто вычесть один процент. Еще один прекрасный пример: чтобы умножить 24 на 27,5, обратите внимание, что 27,5 равно 25 плюс десять процентов. Умножить 24 на 25 легко (25 — это четверть умножить на 100, так что 24/6 = 6 x 100 = 600). Добавьте десять процентов: 660.

В целом, для человека, который либо новичок в этой теме, либо очень ею интересуется, было бы обидно пропустить эту книгу. Я настоятельно рекомендую получить его в качестве дополнения к книге Артура.

Математика скорости , Билл Хэндли. Сначала я думал, что мне эта книга понравится меньше, чем Short-Cut Math Джерарда Келли, но после того, как я дал ей шанс и прочитал ее до конца, она мне, вероятно, понравилась больше, чем книга Джерарда.

Одна вещь, которая сбила меня с толку, заключалась в том, что во введении Билл кланяется автору системы Трахтенберга, которая после беглого просмотра страницы Википедии меня не привлекает, поскольку она содержит слишком много «местных правил».Мне нравятся техники, которые прочно укоренились в алгебре, которую я могу сразу почувствовать. Тем не менее, Билл сказал, что его методы не совсем такие, как у Якова Трахтенберга.

Еще одна вещь, которая меня сначала оттолкнула, заключалась в том, что книга казалась более простой. Некоторые главы, казалось, были не столько о «скоростной арифметике», сколько об обучении простой и понятной арифметике, то есть тому, как выполнять деление в столбик. Без сомнения, ценная информация, но это не то, что я искал, когда брал в руки книгу.

Первые семь глав представляют собой разработку близкого метода, который для моих нужд адекватно объяснен в нескольких абзацах выше.

Но затем Билл представил прекрасную вариацию этой техники. Считаем эти ароматы:
Базовый аромат : 23 x 26 = 20 x (3 + 26) + 3 x 6 = 20×29 + 18 = 598
Улучшенный вкус : 23 x 86 = 20 x (3 x4 + 86) + 3 x 6 = 20×98 + 18 = 1978

Обратите внимание, что в рецепте единственное изменение — это множитель x4, который равен множитель двух исходных чисел, округленный до ближайшего десяти.

Мне понравилось, что Билл указывает, что «соседние номера» совсем не обязательно должны быть рядом. Например, для 75 x 25 вы можете использовать 5 в качестве привязки, что даст 5 x 95 + 20 x 70 = 475 + 1400 = 1875.

Мне также понравилось, что Билл упомянул некоторые из моих любимых методов округления:
• Чтобы умножить на или на 90%, часто проще просто вычесть четверть или десять процентов.
• Чтобы умножить примерно на 19 и семь восьмых, умножьте на двадцать и вычтите восьмую.

Для приближения квадратных корней Билл использует почти ту же технику, представленную выше. Мне нравится, как он предлагает обращаться с числами, длина которых превышает две цифры. Допустим, вам нужен квадратный корень из 382 375. Вы начинаете с разбивки числа на пары из двух цифр, начиная с обратной стороны: 38 23 75. Ваше первое приближение фокусируется только на первой группе, которая будет состоять из одной или двух цифр. Для каждой из замыкающих групп вы просто умножаете на десять. Это означает, что каждое приближение сначала сводится к приближению квадратного корня из двузначного числа, что не так уж плохо … Используя более раннюю технику, 38 содержит шесть квадратов и остаток двух, что дает нам приближение 6 + 2/12 = 6.166 повторение. Следовательно, для нашего первого приближения к квадратному корню из 382 375 мы можем взять 616. Это неплохо, учитывая, что фактический ответ — это прикосновение к 618. Чтобы улучшить приближение, мы могли бы использовать ту же технику, возведя в квадрат 616, а затем сложив остаток. делится на (дважды 616). Это слишком много, чтобы делать в моей голове, но я просто дам вам знать, что это даст 618,369, неплохо, поскольку фактический ответ — 618,365. Другой способ точной настройки приближения, водорослево эквивалентный первому методу (который на самом деле обычно является сокращением этого метода), состоит в том, чтобы разделить 382 375 на первое приближение (616), а затем усреднить два числа.

В приложении Билл также упоминает метод аппроксимации кубических корней. Это вдохновило меня свести его к методу, который я представил выше, который эквивалентен водорослевым водорослям, но, на мой взгляд, более удобен для запоминания. Это почти тот же метод, что и для вычисления квадратных корней.

Билл упоминает технику, которую я никогда не осознавал, что использую. Чтобы вычесть 3745 из 10 000, я автоматически переключаюсь на какую-то технику дополнения, «завершая» все крайние левые цифры, чтобы они стали 9, и завершая последнюю цифру, чтобы она стала нулем: ведущая 3 дает 6 (3 + 6 = 9) , 7 дает 2, 4 дает 5, 5 дает 0, потому что 5 + 5 = 10.Ответ 6 255. Если бы мы вычитали из 100000 (дополнительный ноль), мы добавляем 9 впереди (и действительно, 9 завершает 0, чтобы получить 9).

Билл выполняет свое умножение крест-накрест (которое он называет «прямым методом») слева направо, что мне кажется сложнее, чем то, как это делает Артур, справа налево.

Он дает приближение для преобразования Фаренгейта в Цельсия (или наоборот), которое я считаю немного грубым: удалите 30, затем уменьшите вдвое, или удвойте, а затем добавьте 30. Я привык к C = (5/9) x (F- 32).Я запомнил, что 20C — это 68F (и большинство людей знают, что 0C — это 32F), но Билл также указывает, что 10C — это 50F и что каждое увеличение на 10C означает увеличение на 18F. Формула имеет смысл (в перевернутом виде это F = 1,8 C + 32), но я никогда не уделял времени, чтобы заметить, и это хорошо иметь в виду, поскольку это поможет в некоторых вычислениях. Например, для 15C просто прибавьте 9 (половина 18) к 50 (значение 10), получив 59.

В целом, я очень рекомендую эту книгу, хотя для тех, кто уже разбирается в основах арифметики, я должен был выбрать только одну, мой выбор остается книгой Артура.

Самоучитель по высокоскоростной математике , Лестер Мейерс. Эта старинная книга давно распродана, но я заказал подержанный экземпляр. Я слышал об этом хорошее, и мне любопытно его просмотреть.

Ссылки

Сайт «Арифметическая игра» предлагает вам столько операций, сколько вы можете выполнить за две минуты. Вы устанавливаете диапазон чисел и типы операций.

Математик: веб-сайт Артура Бенджамина.


10 уловок для быстрого выполнения математических расчетов в голове

Не нужно быть учителем математики, чтобы знать, что многие ученики — и, вероятно, многие родители (это было давно!) — боятся математических задач, особенно если они включают большое количество.Изучение методов быстрого выполнения математики может помочь учащимся развить большую уверенность в математике, улучшить математические навыки и понимание, а также преуспеть в продвинутых курсах.

Получайте релевантные учебные материалы и обновления, доставляемые прямо в ваш почтовый ящик. Подпишитесь сегодня! Присоединиться

Если это ваша работа — научить их, вот вам отличное напоминание.

Быстрые математические приемы инфографики

10 уловок для быстрой математики

Вот 10 быстрых математических стратегий, которые учащиеся (и взрослые!) Могут использовать, чтобы вычислить в уме.Освоив эти стратегии, учащиеся должны иметь возможность точно и уверенно решать математические задачи, которые они когда-то боялись решать.

1. Добавление больших чисел

Сложить в уме большие числа. Этот метод показывает, как упростить этот процесс, сделав все числа кратными 10. Вот пример:

644 + 238

Хотя с этими числами сложно бороться, округление их в большую сторону сделает их более управляемыми. Итак, 644 становится 650, а 238 становится 240.

Теперь сложите 650 и 240 вместе. Итого 890. Чтобы найти ответ на исходное уравнение, необходимо определить, сколько мы прибавили к числам, чтобы округлить их в большую сторону.

650 — 644 = 6 и 240 — 238 = 2

Теперь сложите 6 и 2, чтобы получилось 8

Чтобы найти ответ на исходное уравнение, нужно вычесть 8 из 890.

890 — 8 = 882

Итак, ответ на 644 +238 — 882.

2. Вычитая из 1 000

Вот основное правило вычитания большого числа из 1000: вычтите все числа, кроме последнего, из 9 и вычтите последнее число из 10.

Например:

1 000–556

Шаг 1: вычтем 5 из 9 = 4

Шаг 2: вычтем 5 из 9 = 4

Шаг 3: вычтем 6 из 10 = 4

Ответ 444.

3. 5-кратное умножение любого числа

Умножив число 5 на четное, можно быстро найти ответ.

Например, 5 x 4 =

  • Шаг 1: Возьмите число, умноженное на 5, и разрежьте его пополам, в результате число 4 станет числом 2.
  • Шаг 2: Добавьте ноль к числу, чтобы найти ответ. В данном случае ответ — 20.

5 х 4 = 20

При умножении нечетного числа на 5 формула немного отличается.

Например, рассмотрим 5 x 3.

  • Шаг 1. Вычтите единицу из числа, умноженного на 5, в этом случае число 3 становится числом 2.
  • Шаг 2: Теперь уменьшите число 2 вдвое, и оно станет числом 1. Сделайте 5 последней цифрой. Произведенное число — 15, и это и есть ответ.

5 x 3 = 15

4. Уловки деления

Вот быстрый способ узнать, когда число может быть равномерно разделено на эти определенные числа:

  • 10, если номер заканчивается на 0
  • 9, когда цифры складываются и общая сумма делится на 9
  • 8, если последние три цифры делятся на 8 без остатка или равны 000
  • 6, если это четное число и когда цифры складываются, ответ делится на 3 без остатка
  • 5, если он заканчивается на 0 или 5
  • 4, если он заканчивается на 00 или двузначное число, которое делится на 4 без остатка
  • 3, когда цифры складываются и результат делится без остатка на число 3
  • 2, если он заканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8

5.Умножение на 9


Это простой метод, который помогает умножить любое число на 9. Вот как это работает:

Давайте возьмем пример 9 x 3.

Шаг 1 : вычтите 1 из числа, которое умножается на 9.

3 — 1 = 2

Число 2 — это первое число в ответе на уравнение.

Шаг 2 : Вычтите это число из числа 9.

9–2 = 7

Число 7 — второе число в ответе на уравнение.

Итак, 9 x 3 = 27

6. 10 и 11-кратные фокусы

Уловка для умножения любого числа на 10 состоит в том, чтобы добавить ноль в конец числа. Например, 62 x 10 = 620.

Существует также простой способ умножить любое двузначное число на 11. Вот оно:

11 х 25

Возьмите исходное двузначное число и поставьте между цифрами пробел. В данном примере это число 25.

2_5

Теперь сложите эти два числа и поместите результат в центр:

2_ (2 + 5) _5

2_7_5

Ответ на 11 x 25 — 275.

Если числа в центре складываются в число из двух цифр, вставьте второе число и прибавьте 1 к первому. Вот пример уравнения 11 x 88

8_ (8 +8) _8

(8 + 1) _6_8

9_6_8

Есть ответ на 11 x 88: 968

7. В процентах

Найти процентное значение числа может быть несколько сложно, но правильное понимание этого числа значительно упрощает понимание. Например, чтобы узнать, что составляет 5% от 235, воспользуйтесь этим методом:

  • Шаг 1: Переместите десятичную запятую на одну позицию, 235 станет 23.5.
  • Шаг 2: Разделите 23,5 на число 2, получится 11,75. Это также ответ на исходное уравнение.

8. Быстро возведите в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5


Давайте возьмем для примера число 35.

  • Шаг 1. Умножьте первую цифру на себя плюс 1.
  • Шаг 2: Поставьте 25 в конце.

35 в квадрате = [3 x (3 + 1)] & 25

[3 x (3 + 1)] = 12

12 и 25 = 1225

35 в квадрате = 1225

9.Трудное умножение

При умножении больших чисел, если одно из чисел четное, разделите первое число пополам, а затем удвойте второе число. Этот метод быстро решит проблему. Например, рассмотрим

20 х 120

Шаг 1: разделите 20 на 2, получится 10. Удвойте 120, что равно 240.

Затем умножьте свои два ответа вместе.

10 х 240 = 2400

Ответ на 20 x 120 — 2400.

10. Умножение чисел, оканчивающихся на ноль

Умножение чисел, оканчивающихся на ноль, на самом деле довольно просто.Это включает в себя умножение других чисел вместе, а затем добавление нулей в конце. Например, рассмотрим:

200 х 400

Шаг 1: Умножьте 2 на 4

2 х 4 = 8

Шаг 2: Поместите все четыре нуля после 8

80 000

200 x 400 = 80 000

Выполнение этих быстрых математических приемов может помочь как ученикам, так и учителям улучшить свои математические навыки и укрепить свои знания математики — и не бояться работать с числами в будущем.

Присоединяйтесь к Resilient Educator

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать контент, доставляемый в ваш почтовый ящик. Щелкните или коснитесь кнопки ниже.

Присоединяйтесь к Resilient Educator

Подпишитесь на нашу рассылку, чтобы получать контент на свой почтовый ящик.Щелкните или коснитесь кнопки ниже.

Присоединиться

Вы также можете прочитать

Теги: Математика и естественные науки, Математика

(PDF) Метод быстрого подсчета для продуктов с интермодуляцией общего порядка

Метод быстрого подсчета для продуктов с взаимной модуляцией общего порядка

Джузеппе Баруффа и Джанлука Реали

DIEI — Департамент электронной и информационной инженерии

Университет Перуджи

Via G .Duranti 93, 06125 Перуджа, Италия

[email protected], [email protected]

Аннотация. Нелинейные устройства, такие как усилители и электрооптические преобразователи

, вводят паразитные сигналы, известные как интермодуляции, особенно

обычно, когда к системе поступают несколько сигналов на разных частотах. В

этой статье представлено расширение хорошо известного алгоритма быстрого подсчета (FCA)

для интермодуляций и выполнено сравнение с алгоритмами медленного подсчета

.Конфигурация несущей представлена ​​с помощью полиномов дикатора

, и распределение продуктов интермодуляции высокого порядка

может быть вычислено быстро, расширяя результаты, ограниченные третьими или

интермодуляциями. Более того, не делается никаких особых предположений о распределении несущих

(т.е. они не обязательно должны быть равномерно распределены).

Сравнения выполняются с точки зрения точности и скорости с медленными алгоритмами прямого подсчета

.

I. ВВЕДЕНИЕ

ВСЕГДА большое внимание было уделено внедрению и разработке систем цифровой связи с несколькими несущими

,

, где символы данных распределяются на несколько параллельных потоков, которые

модулируют отдельные несущие. Хорошо известные методы, такие как Or-

мультиплексирование с тональным частотным разделением (OFDM) и Multi-

ple Множественный доступ с кодовым разделением каналов несущей (MC-CDMA), em-

, используют несколько частот поднесущих для отправки пользовательских данных и

для эффективного противодействия искажениям, вносимым искажениями канала

из-за избирательного замирания и помехами множественного доступа

(MAI).Более того, хорошо зарекомендовавшие себя аналоговые методы

, такие как множественный доступ с частотным разделением (FDMA) и Sin-

gle Channel Per Carrier (SCPC), требуют наличия нескольких сигналов

с частотным разделением. Для таких схем передачи

один из наиболее критических эффектов представлен нелинейным поведением цепи передачи. В частности, тиски High

Power Amplifier (HPA) и лампы бегущей волны (TWT) de-

характеризуются нелинейным соотношением вход / выход,

обычно выражается в терминах AM / AM (Amplitude Modula-

). ция / амплитудная модуляция) и AM / PM (амплитудная модуляция —

/ фазовая модуляция).Эти эффекты в сочетании с

с операцией с несколькими несущими создают InterModulation Prod-

ucts (IMP), то есть ложные сигналы, которые попадают в полосу пропускания

, представляют интерес и мешают несущим информацию. Даже в оптических системах

подобное явление, известное как четырехволновое микширование

(FWM), вызванное нелинейностями в среде передачи

, может снизить производительность мультиплексирования с разделением по длине волны

(WDM) [1].Существуют хорошо известные математические достижения

, которые позволяют минимизировать этот эффект, например,

достаточно за счет определенных схем несущих, которые не создают IMP, которые мешают самим себе [2] [3]. Однако

в этом случае учитываются только интермодуляции низкого порядка, а

требует значительного избыточного расширения полосы пропускания. Более того, закрытые выражения формы

для распределения продуктов интермодуляции низкого порядка

существуют только тогда, когда выбрана одинаковая конфигурация несущих

[4] [5].В этой статье принимается полиномиальное представление задачи [6] и выводятся результаты для практически

используемых порядков интермодуляции, расширяя предыдущие результаты, ограниченные до третьего порядка [7]. Затем представлено общее выражение

для оценки распределения общих порядковых IMP

, а также метод оценки их мощности в частном случае

. Наконец, выполняется сравнение с горифмом прямого подсчета Al-

(DCA), чтобы показать точность и скорость вычислений

этого метода.

II. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ

Хорошо известно, что интермодуляции возникают из-за нелинейной характеристики ввода-вывода уха

большого класса устройств, таких как

, мощные усилители (HPA), лампы бегущей волны (ЛБВ),

электрооптических преобразователей и т. Д. Эти устройства могут быть представлены как нелинейности полосы пропускания без памяти, т. Е. Положительный радиочастотный сигнал com

на частоте f

RF

сначала фильтруется на используемой полосе пропускания

, а затем отправляется в нелинейную полосу пропускания без памяти. sys-

тем.Выходной сигнал состоит из основного сигнала на частоте

f

RF

плюс бесконечное число гармонических составляющих на частоте

частоты 0, 2f

RF

, 3f

RF

и т. Д. . Фильтр полосы пропускания с центром

на f

RF

(рис. 1) выбирает только основной член, так называемую первую зону

[8]. Если основным членом является сигнал с множеством несущих, то нелинейные искажения вносят интермодуляции в полосу пропускания

с центром на f

RF

.Например, конкретный класс из

IMP является третьим порядком: в этом случае три несущих на разных частотах

, скажем, f

a

, f

b

и f

c

, генерируют интермодуляцию

продуктов при f

a

f

b

f

c

, f

a

f

c

f

b

b

f

c

f

a

.В общем,

, n несущих на частотах f

1

, f

2

,

, f

n

, может производить интермодуляционный продукт

на частоте IM

f

n

k

1

f

1

k

2

f

2

k

n

f

n

9000

000

000 0

k

i

f

i

(1)

где

O

IM

n

k

1

k

2 9000 n

i 0

k

i

(2)

— это порядок интермодуляционного продукта.Более того, для mem-

нелинейностей полосы пропускания без или нет, продуктов интермодуляции, которые

без памяти

Нелинейность

PassBand

Зональный фильтр

PassBand Mult

Фильтр

Multicarrier

Сигнал

Сигнал с несколькими несущими

Сигнал

Рис. 1. Модель системы нелинейного устройства без памяти с полосой пропускания.

Rope Rescue Расчет MA путем подсчета линий

Rope Rescue Расчет MA путем подсчета строк

«Тест на критическую точку» (он же «тест ножниц») требует, чтобы, если какой-либо элемент не прошел, никто не пострадал.

«Изгиб» — это узел, соединяющий две веревки.

«Зацепка» — это тип узла, который необходимо завязать вокруг другого объекта.

«Проверка на свисток» требует, чтобы, если все спасатели ушли, никто не пострадал.

На предыдущей странице объяснялось, как для расчета механического преимущества канатно-шкивной системы с помощью T-системы. На этой странице объясняется метод «подсчета строк».«Подсчитать строки» — несложный использовать метод, который лучше всего работает с простыми системы механического преимущества, хотя этот метод может использоваться с составные системы.

Простые системы

Чтобы вычислить механическое преимущество путем подсчета линий, подсчитайте количество отрезков каната (также известных как «линии»), которые либо подключены к нагрузке, либо соединен со шкивом, который будет двигаться с той же скоростью, что и груз.

Ссылаясь на следующую иллюстрацию, три «линии» соответствуют этому критерию, так что это это система 3: 1.

Составные системы

Расчет механического преимущества составных систем такелажа с использованием «подсчета метод линий «немного сложен. Как вы помните, составная система определяется как одна простая система тянет за собой другую простую систему. Для расчета механической Преимущество этих систем, использующих метод «подсчета строк», необходимо:

  1. Изолируйте простые системы внутри составной системы.
  2. Используйте метод «подсчитать линии», чтобы определить механическое преимущество индивидуальные простые системы.
  3. Множественное механическое преимущество отдельных систем для определения общее механическое преимущество.

Тест на преимущество в механике

Посмотрите, сможете ли вы использовать метод «подсчета линий» для решения следующих систем. (Нажмите на иллюстрации, чтобы увеличить их.)

Сводка

Метод «подсчета линий» для расчета механического преимущества прост и невероятно быстро . Вы просто подсчитываете все веревки (также известные как «стропы»), которые соединены с груз или которые соединены со шкивом, который будет двигаться с той же скоростью, что и груз. Этот метод намного быстрее, чем T-System, при расчете механического преимущества. простых систем, хотя не всегда интуитивно понятен при работе с составными системами и он не может решать сложные системы.

Все иллюстрации на этом веб-сайте созданы с помощью программного обеспечения vRigger.


vRigger.com

Общий метод почти точного подсчета k-мер с низким потреблением памяти позволяет de novo собрать 106 данных человеческой последовательности за 2,7 часа

Мотивация: При сборке последовательности de novo стандартным этапом предварительной обработки является подсчет k-мер, который вычисляет количество вхождений каждой подпоследовательности длины k в считываниях секвенирования.Ошибки секвенирования могут привести к появлению большого количества k-мер, которые не появляются в геноме, что приводит к необходимости чрезмерного объема памяти во время подсчета. Эта проблема особенно серьезна, когда собираемый геном велик, глубина секвенирования высока или когда доступная память ограничена.

Полученные результаты: Здесь мы предлагаем быстрый метод почти точного подсчета k-мер, CQF-deNoise, который имеет модуль для динамического удаления зашумленных ложных k-мер.Он автоматически определяет подходящее время и количество циклов удаления шума в соответствии с неправильной скоростью удаления, заданной пользователем. Мы всесторонне протестировали CQF-deNoise, используя данные, полученные из разнообразного набора геномов с различными свойствами данных, и обнаружили, что потребляемая память была почти постоянной независимо от ошибок секвенирования, в то время как процедура удаления шума оказывала минимальное влияние на точность подсчета. По сравнению с четырьмя современными методами подсчета k-мер, CQF-deNoise неизменно показывает лучшие результаты с точки зрения использования памяти, потребляя на 49-76% меньше памяти, чем второй лучший метод.При подсчете k-мер из набора данных человека с примерно 60-кратным охватом пиковое использование памяти CQF-deNoise составляло всего 10,9 ГБ (гигабайт) для k = 28 и 21,5 ГБ для k = 55. De novo сборка 106 × человек Для секвенирования данных с использованием CQF-deNoise для подсчета k-мер потребовалось всего 2,7 ч и пиковая память 90 ГБ.

Наличие и реализация: Исходные коды CQF-deNoise и SH-сборки доступны по адресу https: // github.com / Christina-hshi / CQF-deNoise.git и https://github.com/Christina-hshi/SH-assembly.git соответственно, оба под лицензией BSD 3-Clause.

Фундаментальный принцип подсчета (правило подсчета умножения)

Вероятность и статистика> Вероятность> Принцип фундаментального подсчета

Определение фундаментального принципа подсчета.

Фундаментальный принцип подсчета (также называемый правилом подсчета) — это способ определить количество исходов в задаче вероятности.По сути, вы умножаете события, чтобы получить общее количество результатов. Формула:

Если у вас есть событие «a» и другое событие «b», тогда все различные исходы для событий будут a * b.

Если вы смотрели игру Squid Game на Netflix, вы узнаете правило счета в сцене со стеклянными ступеньками. Посмотрите это видео, чтобы увидеть, как они использовали правило (и как математик из шоу ошибся!):


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Примеры основных принципов подсчета

Посмотрите видео с пятью рабочими примерами использования формулы правила подсчета:


Не можете посмотреть видео? Кликните сюда.

Нужна помощь с конкретным домашним заданием? Связаться с репетитором Chegg. Ваши первые 30 минут бесплатны!

Фундаментальный принцип подсчета: Пример задачи № 1

В ресторане быстрого питания есть специальное меню: 5 долларов за напиток, бутерброд, гарнир и десерт. Возможные варианты:

  • Сэндвич: курица-гриль, говяжья котлета, вегебургер и рыбное филе.
  • Сторона: обычный картофель фри, картофель фри с сыром, картофельные дольки.
  • Десерт: шоколадное печенье или яблочный пирог.
  • Напиток: Fanta, Dr. Pepper, Coke, Diet Coke и Sprite.

В. Сколько комбинаций приемов пищи возможно?
A. Есть 4 ступени:

  1. Выберите бутерброд.
  2. Выберите сторону.
  3. Выберите десерт.
  4. Выберите напиток.

Есть 4 различных типа сэндвичей, 3 различных типа гарнира, 2 различных типа десертов и пять различных типов напитков.

Количество возможных комбинаций блюд: 4 * 3 * 2 * 5 = 120.

Фундаментальный принцип подсчета: Пример задачи №2.

В. Вы принимаете участие в опросе с пятью ответами «да» или «нет». Сколько разных способов вы могли бы заполнить анкету?

A. Есть 5 этапов: вопрос 1, вопрос 2, вопрос 3, вопрос 4 и вопрос 5.
Для каждого вопроса есть 2 варианта ответа (Да или Нет).
Итак, общее количество возможных вариантов ответа:
2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Пример задачи №3.

Q: Компания помещает код на каждый продаваемый продукт. Код состоит из 3 цифр и 2 букв. Сколько разных кодов возможно?
A. Есть 5 этапов (номер 1, номер 2, номер 3, буква 1 и буква 2).
Есть 10 возможных чисел: 0 — 9.
Есть 26 возможных букв: A — Z.
Итак, мы имеем:
10 * 10 * 10 * 26 * 26 = 676000 возможных кодов.


Основные задачи принципа счета: ваша очередь!

Нажмите на вопрос, чтобы увидеть ответ.

Вопрос 1: Вы подбрасываете три десятицентовика. Сколько существует возможных исходов?

Вопрос 2: В вашей школе два урока английского, три урока математики и три урока истории. Вы хотите пройти по одному из каждого класса. Сколько разных способов организовать свой график?

Вопрос 3: Организатор свадебных торжеств предлагает вам три варианта основного блюда, шесть вариантов закуски и пять вариантов десерта. Сколько существует различных блюд (закуска, обед и десерт)?

Вопрос 4: Вы проходите тест с несколькими вариантами ответов, состоящий из 10 вопросов.На каждый вопрос есть 4 возможных ответа. Сколько существует разных способов ответить на тест (при условии, что вы не оставите вопрос пустым)?

  • 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1048576.

Вопрос 5: Интернет-компания предлагает специальное предложение на вечер свидания: выберите один фильм из четырех вариантов, один ресторан из шести вариантов и либо цветы, шоколад или вино. Сколько существует возможных вариантов свидания?

Посетите наш канал YouTube, чтобы получить дополнительную статистику, помощь и советы!

Список литературы

Додж, Ю.(2008). Краткая энциклопедия статистики. Springer.
Уилан, К. (2014). Голая статистика. W. W. Norton & Company

————————————————— —————————-

Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на свои вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, оставьте комментарий на нашей странице в Facebook .


Как подсчитывать клетки Обзор методов подсчета клеток

Многие распространенные процедуры и анализы требуют, чтобы ученые сначала получили точный подсчет количества или плотности клеток. Такие процедуры варьируются от простого поддержания клеточной культуры, такого как расщепление клеток, до количественных экспериментов, таких как количественная ПЦР. Подсчет ячеек может быть выполнен несколькими способами, и в этой статье мы стремимся предоставить исчерпывающий обзор того, как подсчитывать ячейки с помощью различных методов подсчета ячеек, а также преимущества и недостатки каждого метода.

Счетные камеры / гемоцитометры

Для использования гемоцитометра его необходимо сначала очистить 70% этанолом и бумагой для линз. Затем покровное стекло осторожно кладут на счетную камеру. Вы узнаете, что покровное стекло правильно расположено, если сможете наблюдать явление, известное как кольца Ньютона; цветной узор в виде концентрических колец. Небольшой образец клеточной суспензии берут с помощью пипетки, и пипетку помещают рядом с краем камеры, позволяя клеточной суспензии попасть в счетную камеру за счет капиллярного действия.Если необходимо определить жизнеспособность клеток, перед добавлением в камеру к суспензии клеток следует добавить трипановый синий (в соотношении 1: 1).

Счетные камеры, чаще называемые гемоцитометрами, были первым методом, разработанным специально для точного подсчета клеток. К предметному стеклу прикреплена специальная камера с решеткой. Обычно квадраты имеют размер 1 мм x 1 мм и подразделяются на квадраты 0,05 мм x 0,05 мм. Края камеры предназначены для удерживания специального покровного стекла 0.На 1 мм выше отмеченной сетки, тем самым создавая разграниченные области известного объема.

  • Затем микроскоп фокусируется на участке счетной камеры, и клетки подсчитываются с помощью счетчика. Обычно это делается с использованием площади счетной камеры 1 мм2, 100 нл и объектива с 4-кратным или 10-кратным увеличением, но точная используемая площадь и объектив будут зависеть от размера ваших клеток и их плотности в суспензии. Этот процесс обычно повторяется с использованием четырех различных площадей 1 мм2, а результаты усредняются.При определении жизнеспособности клеток следует проводить отдельные подсчеты для живых и мертвых клеток, при этом мертвые клетки выглядят синими из-за проницаемости их поврежденных мембран для трипанового синего.

  • Рис. 1 Схематическое изображение сетки гемоцитометра.

Преимущества и недостатки: Ручной подсчет ячеек — наименее затратный метод определения количества ячеек и плотности ячеек, однако он также является самым медленным и утомительным.Он также может быть одним из наименее надежных из-за возможности человеческой ошибки, особенно при последовательном выполнении большого количества подсчетов ячеек, а выполнение большого количества подсчетов также может вызвать утомление глаз. Если в лаборатории потребность в подсчете клеток является спорадической или нечастой, и если не требуется высокая степень точности подсчета клеток, то гемоцитометры могут быть хорошим выбором. Для более частого использования, когда требуется большая точность или в приложениях с более высокой производительностью, счетные камеры не подходят.Кроме того, счетчики человека часто плохо различают несколько типов клеток в суспензии, если только различия в размере и / или форме между различными типами клеток не являются экстремальными.

Автоматический счетчик клеток

  • Автоматические счетчики клеток были разработаны, чтобы быть более быстрой, простой и автоматизированной альтернативой ручному счетчику. Они используют те же принципы работы, что и гемоцитометры; они выполняют многократный подсчет ячеек в пределах известной области и усредняют результаты.Они также могут отличать живые клетки от мертвых, используя методы исключения красителей (таких как трипановый синий). Автоматические счетчики ячеек могут работать как автономные устройства или требовать подключения к компьютеру. Помимо подсчета ячеек, большинство счетчиков также предоставляют статистическую информацию о размере ячеек. Преимущества и недостатки: ручной подсчет клеток — наименее затратный метод определения количества клеток и плотности клеток, однако он также является самым медленным и утомительным. Он также может быть одним из наименее надежных из-за возможности человеческой ошибки, особенно при последовательном выполнении большого количества подсчетов ячеек, а выполнение большого количества подсчетов также может вызвать утомление глаз.Если в лаборатории потребность в подсчете клеток является спорадической или нечастой, и если не требуется высокая степень точности подсчета клеток, то гемоцитометры могут быть хорошим выбором. Для более частого использования, когда требуется большая точность или в приложениях с более высокой производительностью, счетные камеры не подходят. Кроме того, счетчики человека часто плохо различают несколько типов клеток в суспензии, если только различия в размере и / или форме между различными типами клеток не являются экстремальными.

Флуоресцентные счетчики клеток, такие как двойной флуоресцентный счетчик клеток Luna-FL ™, различают живые и мертвые клетки, а также выполняют подсчет клеток с помощью обычных красителей, таких как акридиновый оранжевый и йодид пропидия.Эти типы счетчиков клеток также превосходны при подсчете клеток в культурах, которые могут быть загрязнены неклеточными остатками, такими как первичные клетки, поскольку красители будут четко различать клетки. Преимущества и недостатки: Для общих приложений подсчета и определения жизнеспособности ячеек автоматизированные счетчики ячеек являются доступным и высокопроизводительным решением. Стоимость эксплуатации невысока, они просты в использовании и значительно сокращают количество человеческих усилий, необходимых для подсчета клеток.Они и точны, и надежны, но могут возникнуть трудности с получением точных измерений клеток очень неправильной формы, чрезвычайно малых размеров или находящихся в чрезвычайно разбавленных клеточных суспензиях или содержащих большое количество клеток, которые необходимо различать. Для большинства типов ячеек и большинства применений автоматические счетчики ячеек обеспечивают отличную производительность подсчета при относительно низкой стоимости.

Счетчики Coulter

Счетчики Coulter не являются оптическими приборами, а измеряют электрическое сопротивление в одном или нескольких микроканалах.Элементы, имеющие большее сопротивление, чем раствор электролита, в котором они находятся во взвешенном состоянии, вызывают кратковременное увеличение сопротивления при прохождении между каналами. Это изменение, которое увеличивается с размером ячейки, регистрируется счетчиком Коултера. Использование счетчика Коултера в чем-то похоже на использование автоматического счетчика клеток. При необходимости суспензию клеток разбавляют, тщательно перемешивают для обеспечения равномерного распределения клеток, добавляют во флакон и запускают цикл. Однако, в отличие от автоматических счетчиков ячеек, использование счетчиков счетчиков требует сначала прогона бланка, а также промывки устройства после использования. Преимущества и недостатки: Из-за их относительной скорости по сравнению с ручным подсчетом и их способности точно подсчитывать клетки различного размера, счетчики Коултера часто используются для полного анализа крови в больницах, где необходимо быстро проводить эритроциты и лейкоциты. и точно отличил. Однако счетчики Коултера не способны отличить живые клетки от мертвых, а также не могут точно подсчитывать клетки, которые образуют кластеры или сгустки. Они также требуют большего обслуживания.

Проточные цитометры Проточные цитометры

чаще всего используются для более подробного клеточного анализа, поскольку они оснащены технологиями обнаружения флуоресценции, которые могут обнаруживать меченые внутриклеточные компоненты. Не все проточные цитометры способны определять количество клеток, поскольку не все отбирают определенные объемы жидкости или измеряют объем взятой жидкости. Однако те, которые это делают, способны обеспечить высокоточный подсчет клеток и могут различать клетки на основе таких факторов, как экспрессия белка, с помощью флуоресцентно меченных антител.Это позволяет им различать типы клеток одного и того же размера в одном образце или даже клетки одного и того же типа на разных клеточных стадиях. Однако такие сложные эксперименты также усложняют экспериментальную установку, и инкубация антител часто измеряется часами, что потенциально значительно увеличивает рабочий процесс. Использование проточного цитометра довольно просто (загрузка и запуск), и поэтому общая простота использования в большей степени зависит от экспериментальной установки. Преимущества и недостатки: Проточные цитометры — чрезвычайно мощные инструменты клеточного анализа, но они также чрезвычайно дороги и стоят от 40 000 до более чем 100 000 долларов.Из-за этого они редко используются для общего подсчета клеток.

Другие методы подсчета клеток

Спектрофотометрия иногда используется для получения относительных оценок плотности клеток. Поскольку клетки мутные, меньше света будет проходить через кювету по мере увеличения плотности клеток. Однако, поскольку спектрофотометры фактически не подсчитывают клетки, а скорее измеряют оптическую плотность, и поскольку другие переменные компоненты клеточных суспензий могут влиять на оптическую плотность, спектрофотометры не являются надежным методом оценки плотности клеток.Чтобы оценить плотность клеток с помощью спектрофотометра, поместите суспензию клеток в кювету и измерьте оптическую плотность. Если вы хотите измерить относительную плотность, вы можете просто сравнить его с другим образцом.

Разное

Leave a Comment

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Семейный блог Ирины Поляковой Semyablog.ru® 2019. При использовании материалов сайта укажите, пожалуйста, прямую ссылку на источник.Карта сайта