Нестандартные логические задачи: Логические задачи для нестандартного мышления

5 задач на логику, после которых мозг заработает на всю катушку / AdMe

Логические задачи — это один из самых эффективных методов развития интеллекта и мышления. Нестандартные задания своего рода «гимнастика для ума», которая очень нужна каждому из нас. Предлагаем вам поучаствовать в интеллектуальном мини-марафоне на логику, внимательность и сообразительность.

Мы в AdMe.ru собрали для вас 5 задач, где каждая новая немного сложнее предыдущей. И помните: иногда все оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

1. Семь сестер на даче

Семь сестер приехали на дачу, и каждая занялась каким-то делом. Первая любовный роман читать начала, вторая — оладьи жарить, третья — в шахматы играть, четвертая — кроссворды разгадывать, пятая стирку затеяла, шестая огород поливать пошла.

А чем занялась седьмая сестра?

2. Кража туфелек

Достались одному молодому человеку в наследство две фабрики по производству дамских туфелек удивительной красоты. И все бы хорошо, да заметил владелец, что рабочие на фабриках этих приноровились воровать прекрасные туфельки для своих подружек и жен. И ведь каждого за руку не поймать!

Какое же решение принял владелец фабрик, чтобы сократить воровство туфелек?

3. Кошка и мышка

Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале.

Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике.

Если сыр на столе, а кошка в подвале, то мышка в комнате.

Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе.

Тогда где кошка и мышка?

4. Сколько у вас бедренных костей?

Преподаватель на экзамене дал студентке в руки бедренную кость и спросил:

— Сколько у тебя таких костей?

— Пять!

— Неправильно. Бедренных костей у тебя всего две.

Но студентка внезапно оказалась права. Как такое может быть?

5. Как перехитрить правителя

Самодержавный правитель одного острова не хотел, чтобы на этом острове поселились пришельцы. Желая показать себя справедливым монархом, он издал распоряжение, согласно которому всякий желающий поселиться на острове должен высказать любое утверждение, от содержания которого зависит его жизнь.

Распоряжение гласило: «Если пришелец скажет правду, его расстреляют. Если он скажет неправду, его повесят».

Как же пришельцу перехитрить правителя и стать жителем острова?

Давайте же проверим, сколько правильных ответов вам удалось найти.

Ответы

1. Седьмая сестра играет в шахматы с третьей.

2. Владелец приказал на одной фабрике производить только левые туфельки, а на второй только правые.

3. По условию задачи, кошка может быть в двух местах: в комнате или в подвале. Но в комнате кошка не может находиться, так как сыр не лежит в холодильнике (он лежит на столе). Следовательно, кошка находится в подвале. Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а кошка — в подвале. В этом случае мышка — в комнате.

4. Студентка была беременна. Она имела в виду две свои бедренные кости, две кости ребенка и ту кость, которую она держала в руках на экзамене.

5. Если пришелец скажет: «Я осужден к повешению», этим он создаст для правителя безвыходное положение. Ведь если считать это правдой, то полагается его расстрелять. Но тогда это неправда. А если это неправда, то его надо повесить. Но тогда выходит, что он сказал правду. Следовательно, утверждением «Я осужден к повешению» пришелец может сохранить себе жизнь.

Сколько задачек вам удалось решить? Какая понравилась больше всего?

Иллюстратор Natalia Kulakova специально для AdMe.ru

Логические задачи на собеседовании | ZLONOV.ru

Ещё 5 интересных задач и обзор книги «Быстрое и нестандартное мышление: 50+50 задач для тренировки навыков успешного человека» можно почитать здесь.

На собеседованиях время от времени задаю кандидатам различные задачи на логику, а вот вчера потенциальная новая сотрудница задала задачу мне самому.

У вас есть три котлеты и две сковороды. Каждая сторона котлеты жарится одну минуту. На одну сковороду одновременно помещается лишь одна котлета. За какое наименьшее время можно пожарить все котлеты с обеих сторон?

UPD. Уточню, что очевидное решение «3 минуты» не подходит. Можно уложиться всего в две. Вопрос — как?

Решение достаточно не сложное, но интересное. Как и почти всегда для таких задач, его, естественно, можно оспорить, привести аргументы и попробовать доказать несостоятельность — но стоит ли? По моему опыту, так чаще поступают те, кто сам не смог догадаться до ответа, для того чтобы как-то оправдать себя (на собеседовании, конечно, так себя не ведут, а в компании знакомых — случается).

Лично для меня как для интервьюера интересен вовсе не сам факт правильного ответа, а процесс поиска решения. Кто-то, чуть подумав, говорит: «Не знаю», — и сдаётся. Другой же минут 10 может молча сидеть и напряжённо всматриваться в листочек, пока ты сам не начнёшь задавать ему наводящие вопросы. Как и любая нештатная ситуация (хотя собеседование обычно само по себе уже стресс), такие задачи дают возможность посмотреть на кандидата под новым углом, выведя его за рамки «расскажите, как проходил ваш обычный рабочий день» или «почему вы приняли решение о смене места работы».

Одной из моих самых любимых задач и по сей день остаётся та, что задали мне самому на третьем в моей жизни собеседовании, когда я только-только начинал свой в области информационной безопасности.

Вам даны две верёвки и коробок с достаточным количеством спичек. Про каждую из верёвок достоверно известно, что будучи подожжённой она сгорает полностью за один час. Необходимо отмерить 15 минут. Как это сделать с учётом того, что верёвки горят неравномерно?

Существуют, конечно, целые книги про нестандартные задачи, задаваемые на собеседованиях в крупных компаниях. Но мне вопросы типа «как сдвинуть гору Фудзи» или «сколько мячиков влезет в автобус» как-то не очень нравятся. Ведь в них заведомо нет «правильного» ответа. Отвечая на такие вопросы ты становишься всё равно что в позицию рассуждающего о возможных последствиях сделки между Stonesoft и McAfee =)

Совсем другое дело — вот такие, например, интересные штуки:

В полностью светонепроницаемом доме из одной комнаты находятся три лампочки, которые сейчас выключены. На внешней стене дома расположены три выключателя, каждый из которых включает только одну (при этом каждый — свою) лампочку. В дом можно войти через дверь, сейчас плотно закрытую. Как, имея возможность войти в дом только один раз, узнать точно какой выключатель какую лампочку включает? После входа в дом ответ надо дать уже не выходя из него. Дотянуться до выключателей из дома нельзя. Кроме вас никого больше нет.

Намеренно не пишу ответы, так как в моей формулировке сходу эти задачи поисковиками не ищутся (если решите проверить — начните со второй, моей любимой, т.к. про неё это утверждение не верно). Если же вы как и я любите такие головоломки — думаю, вам понравится самостоятельно попробовать найти решения. И не спешите смотреть комментарии — вдруг там кто-то уже ответил за вас? =)

Похожее

Логические задачи в начальной школе.

Логические задачи в начальной школе.

Роль математики в развитии логического мышления очень велика. Причина столь исключительной роли математики в том, что это самая теоретическая наука из всех изучаемых в школе. В ней высокий уровень абстракции и способом изложения знаний является способ восхождения от абстрактного к конкретному.

Огромное внимание развитию логического мышления у младших школьников уделял известный советский педагог В. Сухомлинский. Суть его размышлений сводилась к изучению и анализу процесса решения детьми логических задач, при этом он опытным путем выявлял особенности мышления детей. О работе в этом направлении он пишет в своей книге «Сердце отдаю детям»: «В окружающем мире — тысячи задач. Их придумал народ, они живут в народном творчестве как рассказы-загадки».

Сухомлинский наблюдал за ходом мышления детей, и наблюдения подтвердили, «что прежде всего надо научить детей охватывать мысленным взором ряд предметов, явлений, событий, осмысливать связи между ними… Изучая мышление тугодумов, я все больше убеждался, что неумение осмыслить, например, задачу — следствие неумения абстрагироваться, отвлекаться от конкретного. Надо научить ребят мыслить абстрактными понятиями».

Логические упражнения позволяют на доступном детям математическом материале, в опоре на жизненный опыт строить правильные суждения без предварительного теоретического освоения самих законов и правил логики. На уроке в работе над логическими задачами дети практически учатся анализировать, сравнивать, выделять главное, обобщать и систематизировать, доказывать и опровергать, определять и объяснять понятия, ставить и разрешать проблемы. Овладение этими методами и означает умение мыслить.

Логические задачи занимают особое место в математике, решение задач данного вида способствуют успешному изучению предмета, развивают логическое мышление, являются зарядкой для ума. Развитие мышления младших школьников в процессе решения нестандартных задач способствует формированию умственных приёмов деятельности, творческих способностей учащихся, развитию интеллекта, познавательных способностей, повышению успеваемости. Чем раньше дети поймут, что размышления над трудными нестандартными задачами могут приносить радость, тем больше интереса будет у них к изучению математики. Сделать так, чтобы дети не боялись решать нестандартные задачи, научить их правильно подходить к их решению и послужило выбору темы опыта «Использование логических задач на уроках математики в начальных классах».

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Задача — проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, то есть то, что требуется сделать. В первом значении задачей можно назвать, например, ситуацию, когда нужно достать предмет, находящийся очень высоко; второе значение слышно в указании: «Ваша задача — достать этот предмет». Несколько более жёсткое понимание «задачи» предполагает явными и определёнными не только цель, но и условия задачи, которая в этом случае определяется как осознанная проблемная ситуация с выделенными условиями (данным) и требованием (целью

В учебной практике «задача», принимает более узкий смысл и обозначает упражнение, требующее нахождения решения по известным данным с помощью определённых действий (умозаключения, вычисления, перемещения элементов и т. п.) при соблюдении определённых правил совершения этих действий (логическая задача, математическая задача, шахматная задача).

Под задачей в начальном курсе математики подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами. Ситуация обязательно содержит определенную зависимость между этими численными компонентами. Таким образом, текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной действительности.

Актуальность задачи интеллектуального развития личности, важнейшим компонентом которой является формирование логических умений, обусловлена рядом причин. Качество усвоения знаний во многом зависит от уровня развития мышления учащихся: логически развитое мышление позволяет легче и в большем объемеусвоить различные знания.

В психолого-педагогических исследованиях и практике логической подготовки детей младшего школьного возраста экспериментально доказано, что «младший школьный возраст является сенситивным к усвоению обобщенных средств и способов умственной деятельности; содержанием логической подготовки является формирование логических умений в процессе обучения школьным дисциплинам на всех его ступенях…»

Нестандартная задача — это задача, решение которой для данного ученика не является известной цепью известных действий. Поэтому понятие нестандартной задачи относительно. Успех в решении зависит не только от того, решались ли раньше подобные задачи, сколько от опыта их решения вообще, от числа полностью разобранных решений с помощью учителя с подробным анализом всех интересных аспектов задачи. Нерешённая задача подрывает у учащихся уверенность в своих силах и отрицательно влияет на развитие интереса к решению задач вообще, поэтому учитель должен проследить за тем, чтобы поставленные перед школьниками нестандартные задачи были решены. Но вместе с тем решение нестандартных задач с помощью учителя – это вовсе не то, чего следует добиваться. Цель постановки в школе нестандартных задач – научить школьников решать их самостоятельно.

Нестандартные задачи делятся на 2 категории:

1 категория. Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности – типа задач математических олимпиад.

2 категория. Задачи типа математических развлечений.

Первая категория нестандартных задач предназначается в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач.

Вторая категория нестандартных задач прямого отношения к школьной программе не имеет и, как правило, не предполагает большой математической подготовки. Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только лёгкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сих пор не получено.

«Нестандартные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Но связанные с необходимостью всякий раз применять для их решение заученные правила и приёмы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми примерами, заставляют восхищаться силой разума» .

К рассматриваемому типу задач относятся:

разнообразные числовые ребусы и головоломки на смекалку;

логические задачи, решение которых не требует вычислений, но основывается на построении цепочки точных рассуждений;

задачи, решение которых основывается на соединении математического развития и практической смекалки: взвешивание и переливания при затруднительных условиях;

математические софизмы – это умышленное, ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного;

задачи-шутки;

комбинаторные задачи, в которых рассматриваются различные комбинации из заданных объектов, удовлетворяющие определённым условиям.

Для настоящего времени характерна тенденция к повышению роли проблемного обучения, поэтому решение нестандартных задач занимает всё более ведущее место в обучении математике, в котором основной акцент ставится на самостоятельное и творческое усвоение школьниками учебного материала, на формирование их математического развития.

Одной из особенностей нестандартных задач является то, что в их решении нельзя «натаскать» учеников, заучить с ними последовательность операций, которая лежит в основе решения определённых видов нестандартных задач, что не исключается при решении задач типовых. Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. Методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;

умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;

умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;

умения записывать ход решения и ответ задачи;

умения проводить дополнительную работу над задачей;

умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Сформированность у учащихся этих умений обеспечивает их продуктивную работу в ходе решения нестандартных задач и тем самым влияет на развитие уровня математического мышления.

Раньше считалось, что учащимся начальных классов доступны только два первых уровня развития математического мышления

— число неотделимо от множества конкретных предметов, которое оно характеризует, а операции проводятся непосредственно над множествами предметов;

— числа определены от конкретных объектов, которые они характеризуют; при этом оперируют с числами, записанными в определённой системе счисления, а свойства операций устанавливаются индуктивно.

Но современные исследования показали, что «дети этого возраста обладают значительно более широкими возможностями в усвоении знаний, нежели это предполагалось ранее, что у них можно сформировать более высокий уровень абстракции и обобщения, чем тот, на который ориентировалось традиционное преподавание».

Следовательно, традиционные формы обучения не в состоянии поднять математическое мышление младших школьников на более высокий уровень. Как же решает эту проблему нетрадиционное обучение? Какие свойства математического мышления развивает решение нестандартных задач?

Во-первых, развивается гибкость мышления. Ученик учится ориентироваться в новых условиях, перестраивать систему усвоенных знаний.

Влияют нестандартные задачи и на глубину мышления, то есть на умение выделять существенное в задаче, её скрытые особенности.

Решение логических задач тренирует логику, память, мышление.

Логические задачи и задачи на логику рассчитаны на разный возрастной контингент и подходят для решения: дошкольникам, младшим школьникам, старшим школьникам, взрослым.

Умение совершать логические действия не является врожденным. По мнению многих авторов мыслительная деятельность успешно активизируется и развивается там, где «учащиеся осознают новые вопросы, включаются в поиски ответов на них, сначала в сотрудничестве с учителем, а затем самостоятельно, постепенно переходя от простых к все более усложняющимся вопросам».

Элементарная логическая задача — это задача, которая характеризуется логической связью между составляющими ее элементами. Благодаря этому она может быть решена экстренно, при первом же предъявлении, за счет мысленного анализа ее условий [Крушинский Л.В.].

Под логической задачей подразумевают задачу на осуществление мыслительного процесса, связанного с использованием понятий, операций над ними, различных логических конструкций.

Особенности логических задач:

— не требуют большого запаса математических знаний, и для их решения можно ограничиться только некоторыми сведениями из арифметики;

— почти всегда носят занимательный характер и этим привлекают даже тех, кто не любит математику;

— их решение развивает логическое мышление, что способствует не только лучшему усвоению математики, но и успешному изучению основ любой другой науки .

Еще одной из известных трактовок понятия является трактовка Фридмана Л. М.: « Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, учитывая и опираясь на те условия, которые указаны в задаче». Другими словами, задача — это проблема, которую необходимо разрешить. Задача может быть сложной или простой. В первом случае найти ее решение трудно, во втором — легко. Заметим, что трудность решения в какой-то мере входит в само по-нятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

Процесс решения задач тесно связан с мышлением. «Решение задачи, — пишет А. В. Брушлинский, — осуществляется только с помощью мышления и никак иначе не осуществимо. Но мышление совершается не только в связи с решением задачи». Вместе с тем он же высказывает мысль о том, что мышление лучше всего формировать «именно в ходе решения задач, когда человек сам наталкивается на посильные для него проблемы и вопросы, формулирует их и затем решает».

Логические или «нечисловые» задачи составляют обширный класс нестандартных задач. Сюда относятся, прежде всего, текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания.

Педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обусловливает высокий интерес школьников к решению логических задач. От обычных задач они отличаются тем, что не требуют вычислений; в них мы не находим ни чисел, ни геометрических фигур; чаще всего в таких задачах создается ситуация, выход из которой может быть найден, если мы тщательно изучим ситуацию и сделаем ряд выводов, иначе говоря логическим методом, с помощью логических рассуждений.

Можно сказать, что логическая задача — это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Но в учебниках, сборниках задач и в других учебных пособиях не дается точного определения логической задачи.

В нашей работе мы будем относить к логическим следующие задачи:

— на упорядочивание множества;

— на нахождение соответствия между элементами различных множеств;

— задачи с ложными высказываниями;

— задачи на переправы и взвешивание;

— турнирные задачи.

Необходимо отметить, что решение и составление логических задач способствуют развитию мышления гораздо в большей степени, чем решение обычных математических задач, которые в основном развивают вычислительные навыки и память обучающихся.

Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача — это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания.

Логика — это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Как известно, видение рождает мышление. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить в виде единой целой. Видеть ход доказательства и решения задач позволяет метод граф — схем, который делает доказательство более наглядным и позволяет кратко и точно изложить доказательства теорем и решения задач[25, c. 47].

В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы.

Нет совершенной методики, или готового шаблона «как научить ребенка мыслить логически», но умело синтезируя, варьируя и подбирая только то, что действительно подходит для конкретных детей в тот или иной период, можно добиться хороших результатов. Образовательный стандарт нового поколения призывает нас развивать универсальные учебные действия, воспитывать и обучать детей так, чтобы они могли самореализоваться в современном мире.

Требования к составлению и отбору.

 Нестандартные задачи:

— не должны иметь уже готовых, заученных детьми алгоритмов;

— должны быть просты и доступны по содержанию всем учащимся;

— должны быть занимательными и интересными.

Для решения нестандартных задач учащимся должно хватать знаний, усвоенных ими по программе.

Применение нестандартных задач в обучении младших школьников математике реализуется в различных формах как на уроке /устный счет, самостоятельные и контрольные работы, индивидуальные задания/, так и во внеклассной работе /кружки, викторины, конкурсы, олимпиады/. Основной организационной формой является урок, где все учащиеся принимают участие в решении нестандартных задач.

В работе над нестандартными и занимательными задачами очень велика роль учителя. Дети сами не в состоянии полностью организовать свою деятельность, оценить полученные результаты. Поэтому учитель должен разъяснить смысл каждого задания, стимулировать нестандартные и интересные решения, помочь ребенку оценить правильность предложенных решений. А еще необходимо, чтобы учитель был доброжелателен, и терпим к ответам ребенка, умел принимать и спокойно обсуждать даже такие варианты решений, которые на первый взгляд кажутся неполными, абсурдными или невероятными.

Если работа над нестандартными и занимательными задачами будет эффективной, это послужит залогом успешного развития творчески мыслящей личности.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/385311-logicheskie-zadachi-v-nachalnoj-shkole

Логические загадки для детей ✅ Блог IQsha.ru


Каждый родитель рано или поздно сталкивается с рекомендациями по развитию логического мышления у детей. В помощь взрослым существует множество заданий для развития логики. Почему это так важно?

В этой статье мы дадим ответ на этот вопрос и остановимся на одном из видов упражнений — логических задачах для детей.

Зачем развивать логику?

Развивать логическое мышление ребёнка так же важно, как давать новые знания. Ведь умственный багаж — это инструменты, а логика — умение этими знаниями пользоваться, применять их в практической жизни.

Хотите больше заданий по логике? Начните заниматься прямо сейчас

Развивая логику ребенка, родители учат детей задавать правильные вопросы, выбирать важную информацию, отсеивая ненужное, быть избирательным. Логика помогает научиться анализировать и сравнивать факты, находить и применять нестандартные решения. Такие способности пригодятся не только в детском саду и школе, но и в быту. 

Современная жизнь всё больше ускоряется, требуя от растущего ребёнка быть мобильным, креативным, вдумчивым, умеющим быстро переключаться с одного вида задач на другие. В развитии этих качеств поможет логика. Она запускает цепочку «оценка — анализ — решение» и позволяет ребёнку быстро прийти к нужному результату. Развивая логику ребёнка, родители учат детей задавать правильные вопросы, выбирать важную информацию, отсеивая ненужное, быть избирательным. Логика помогает научиться анализировать и сравнивать факты, находить и применять нестандартные решения. Такие способности пригодятся не только в детском саду и школе, но и в быту. 


Способы развития логического мышления

Логическое мышление — это не врождённая способность, её можно и необходимо развивать. Для этого существует много упражнений в игровой форме, которые позволяют стимулировать логику весело и интересно. Обратите внимание: задачи, которые мы предлагаем ребёнку, должны быть немного сложнее привычных. Такой подход позволяет наиболее эффективно развивать мышление и навыки логического анализа. Какие же упражнения и игры на логику существуют?

Интеллектуальные и настольные игры

Это своеобразный способ знакомства с миром. Шашки, домино, «Эрудит», «Крестики-нолики» позволяют не только весело провести время, но и развивать логику и мышление. А шахматы, «Монополия» и нарды полезны для тренировки внимания и сообразительности.

Математические задачи

Близкое знакомство с математикой поможет ребёнку замечать логические связи и закономерности, развивать свою усидчивость, ясность ума и концентрацию внимания. Сюда же можно отнести и геометрические головоломки. Изучение всевозможных фигур способствует развитию логического и пространственного мышления, а также воображения, если предложить собрать из фигур рисунки или использовать в занятиях игру “Танграм”.

Игры со спичками

Это самый простой и увлекательный способ развития логики. Задача проста: нужно переложить одну или несколько спичек так, чтобы получилась другая фигура. Дети любят игры со спичками или палочками, потому что их можно трогать, перекладывать с места на место, придумывать новые варианты решения.

Верёвочные головоломки

Их легко сделать самостоятельно, а разновидностей таких задач — бесчисленное количество. Например, выпутать верёвочку из отверстий, завязать по схеме сложный узел или продеть верёвку через дырочки в картоне так, чтобы получилась фигура или рисунок. К этому виду упражнений можно отнести и популярную игру с геобордом — доской с гвоздиками, на которых с помощью тонких резиночек можно создать любой узор.

Лабиринты

Универсальный и очень весёлый способ развития логического мышления для детей всех возрастов. Привлекательность лабиринтов — в простоте и удобстве изготовления. Их можно сделать из картона, выложить малярной лентой на полу или нарисовать на асфальте. Цель — дойти до финиша верной дорожкой. Задания с лабиринтами также полезны для развития пространственного восприятия и зрительного внимания.

Компьютерные игры и развивающие онлайн-сервисы 

Они тоже могут быть полезны, если использовать их как дополнение к офлайн-занятиям. Существует множество игр, в которых ребёнку необходимо применить логику и смекалку, например, известные классические игры “Тетрис”, “Маджонг”, “Три в ряд”.

Развивающие онлайн-сервисы имеют схожие цели. Хотите отслеживать прогресс ребенка и знать, какие виды логических задач ему даются легче, а какие сложнее? Добро пожаловать на сайт гармоничного развития «IQша»! Мы придумали более 70 интересных упражнений и обучающих игр на логику для детей разных возрастов.

Творческие игры

К ним можно отнести пазлы, правополушарное рисование (рисунок вниз головой), лепку, аппликацию. Такие занятия способствуют не только развитию логического мышления, но и воображения, памяти, мелкой моторики рук, усидчивости и умения завершать начатое.

Логические задачи и загадки 

Такие упражнения полезны и увлекательны не только для детей, но и для родителей. Решение головоломок помогает весело провести время и проверить сообразительность. Нередко логические загадки и задачи составлены в забавной игровой форме, поэтому искать остроумные ответы очень увлекательно. 


Задания такого формата легко воспринимаются ребёнком и не требуют специальной подготовки: решать логические загадки можно где угодно — на прогулке, по дороге в садик, в очереди в поликлинике, в поездке или на празднике.

Несмотря на внешнюю лёгкость и несерьёзность, решение логических загадок и задачек задействует множество мыслительных процессов. Ребёнку необходимо построить цепочку точных рассуждений, сопоставить понятия или предметы с разных сторон и дать верный ответ. Логические загадки очень эффективны, потому что стимулируют мышление, креативность и умение находить нестандартные решения.

Часто логические задачки составлены с подвохом, чтобы запутать дополнительными условиями, ненужными деталями и увести внимание ребёнка. Но если быть находчивым и сообразительным, то ответ найдется очень быстро.

Логические загадки для детей 3 лет

  1. Красное и сладкое,
    Румяное и гладкое.
    Растёт на ветке
    Любят его детки.
    (яблоко)

  2. Маленький и удаленький, на лук похожий. Горький и жжёт тоже.
    (чеснок)

  3. Весна наступит, они растут,
    Осень придёт — пожелтеют и опадут.
    (листья)

Логические загадки для детей 4 лет

  1. Положу под голову
    Мягкую, пуховую,
    Лёгкую как облака,
    Чтобы спать на ней всегда.
    (подушка)

  2. Ловит мушек языком,
    А болото — её дом.
    И не зверь она, не птица,
    На болоте не боится.
    (лягушка)

  3. Колючий, как ёлка,
    С кучей иголок.
    Под сосной лежит,
    Гриб сторожит.
    (ёжик)

Логические загадки для детей 5 лет

  1. Может ли курица назвать себя птицей? (Курица не умеет говорить).

  2. Маленький, серый и выглядит как слон. Какое это животное? (Слонёнок).

  3. Аня закрыла глаза. Что может увидеть Аня, не открывая их? (Сны).

Логические загадки для детей 6 лет

  1. Мама связала своим детям три шарфа и шесть носков. Сколько всего у неё детей? (трое)

  2. На столе лежали четыре груши, одну из них позже разрезали пополам. Сколько всего груш на столе? (4)

  3. Тройка лошадей пробежала пять км. Сколько километров пробежала каждая из лошадей? (по пять км)

Для решения каждой из загадок недостаточно просто сложить или вычесть цифры, важно изобразить условие: например, показать малышу на пальцах, игрушках или нарисовать на асфальте. Так будет легче понять смысл задания и сопоставить информацию. Визуальная опора поможет ребёнку найти решение и дать верный ответ.

Выполните упражнения от Айкьюши

Логические загадки для детей 7 лет

  1. На ней лежат подружки:
    Одеяла и подушки.
    Только ночь настанет,
    К ней как магнитом тянет.
    (кровать)

  2. Строим замки, куличи,
    Во дворе и у реки.
    В вёдра ловко насыпаем
    И лопаткой вглубь копаем.
    (песок)

  3. В одной игрушке
    Сидят подружки.
    С виду похожи,
    Но размером не одно и то же.
    (матрёшки)

 Логические загадки для детей 8 лет

  1. Без рук, без ног бегать умеет,
    Горы даже одолеет.
    И до моря добежит,
    А в пустыне замолчит.
    (река)

  2. По дому летает, но не птица.
    В шкафу любит водиться.
    Съедает шубу на обед
    И мамин шерстяной берет.
    (моль)

  3. На такой пятачок не купишь и травы пучок.
    (нос поросёнка)

 Логические загадки для детей 9 лет 

  1. Стоит столбом вода,
    Не вытекает никуда.
    Я ведёрко опущу,
    Воду ловко наберу.
    (колодец)

  2. Подмышкой посижу
    И что делать, подскажу
    Или уложу в кровать,
    Или разрешу гулять.
    (градусник)

  3. Друг за другом они ходят,
    Брат за братом, не обходят.
    Один придёт, другой уйдёт
    И календарь перевернёт.
    (месяцы)

 Логические загадки для детей 10 лет 

  1. Грызёт, жуёт, а не глотает
    И за собой не убирает.
    Щепки по полу летят,
    Если что-то мастерят.
    (пила)

  2. Тебя заботливо закроет,
    А себя под дождь раскроет,
    Чтоб ты до нитки не промок
    Без плаща и без сапог.
    (зонтик)

  3. Если светит красный глаз,
    Стой на месте ты сейчас.
    Если видишь ты зелёный,
    То шагай уже спокойно.
    (светофор)

 Логические загадки для детей 11 лет 

  1. Два брата рядом стоят,
    Друг на друга глядят,
    Смотрят в воду
    Да обняться не могут.
    (берега)

  2. Пустой внутри,
    И сам молчит.
    Ударишь — ворчит
    И громко кричит.
    (барабан)

  3. Люди пользуются им, но это твоё. О чём говорим? (имя)

 Логические загадки для детей 12 лет  

  1. В руках многих бывает,
    Все новости знает,
    Не умеет говорить,
    Но читать нам всем велит.
    (газета)

  2. Не земля и не озёра,
    Глубоко, но и не море.
    Если вступишь ты в него,
    Утянет быстренко на дно.
    (болото)

  3. Идут и стучат, вставать рано велят.
    (часы)

Какими разными могут быть логические загадки! Для решения некоторых из них не нужно знание цифр и умение считать. Здесь потребуется смекалка,  сообразительность, кругозор и воображение. То есть логические задачи и загадки не всегда содержат в себе какое-то математическое действие, но при этом они включают в работу разные познавательные процессы ребёнка: внимание, воображение, память, мышление.  


Важный совет: разделение логических задач и загадок по возрастам условно. Ребёнок пяти лет может с лёгкостью решить задачу для шести- или семилеток, но ошибиться в задаче для четырёхлетних детей. Поэтому в подборе логических задач ориентируйтесь только на уровень знаний своего малыша. Загадки на логику не должны быть слишком лёгкими (иначе не будет стимуляции мышления) или слишком сложными, так как в этом случае  у ребёнка пропадёт интерес и мотивация.

Лучший вариант — придумать логические задачи самостоятельно. Как это сделать, мы сейчас вам подскажем. 

«Чёрное-белое»

Заранее приготовьте разные картинки, а потом попросите малыша назвать их. Чем изобретательнее получится ответ, тем лучше. Позже можно усложнить загадку, перевернув её условие: вы называете самые неожиданные свойства и качества предмета, а ребёнок старается угадать, о чём идёт речь.

«Растеряша»

Ситуативная задачка: «Золушке нужно прибрать дом, но она не может найти веник и совок. Чем можно заменить эти предметы, чтобы помочь Золушке с уборкой?». Вместе придумайте самые смешные и невероятные решения, а потом зарисуйте ответ.

 «Противоречия»

Предложите малышу подумать над необычной задачкой: «Учёные вывели новую породу слонов, у которых нет хобота. Как помочь такому слону выжить и какие проблемы его могут ожидать?». Решение таких заданий помогает развивать креативность и способствует расширению кругозора.

«Предметы наоборот»

Вместе с ребёнком поразмышляйте, какими могли бы стать привычные предметы, если бы у них появились противоположные свойства. Например, ножик режет, а антиножик – делает тупыми острые предметы.

«Сказочный винегрет»

Придумайте новую сказку, используя сюжет и героев любимых историй. Пусть Снежная королева будет доброй, а колобок — злым персонажем, лиса — трусливой, а заяц — храбрым задирой.  Пофантазируйте и придумайте совершенно новый рассказ! Такая игра позволяет развивать воображение и фантазию, а также учит находить выход из самых неожиданных ситуаций.


Неважно, какие задачки на развитие логики вы предпочтете, найденные в сети или придуманные самостоятельно. Любая из них в занимательной игровой форме поможет ребенку потренировать мышление, внимание, память и воображение.

Хотите больше заданий по логике? Начните заниматься прямо сейчас

Мастер-класс «Развитие логического мышления младших школьников через решение нестандартных математических задач»

Цели мастер-класса:

  • Ознакомить учителей начальных классов со способами развития логического мышления младших школьников через решение нестандартных математических заданий разными способами.
  • Познакомить с некоторыми методами решения нестандартных задач.

Почему одни люди делают открытия, а другие нет? (они обладают интуицией, творческим мышлением, у них сохраняется детский взгляд на мир).Логика, тоже помогает видеть в обычном необычное. Так как вы думаете, коллеги, что мы сегодня узнаем и научимся? (Решать логические задачи и непросто, а нестандартные логические задачи)

Как показывает опыт, в младшем школьном возрасте одним из эффективных способов интеллектуального развития является решение нестандартных задач.

Нестандартная задача – это задача, алгоритм решения которой учащимся неизвестен, то есть учащиеся не знают заранее ни способов их решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Нестандартные задачи в курсе математики не имеют общих правил. Процесс решения нестандартных задач состоит в последовательном применении двух основных операций:

  • сведения путём преобразования или переформулировки нестандартной задачи в стандартную;
  • разбиение нестандартных задач на несколько стандартных подзадач.

Решение нестандартных задач является одним из средств развития логического мышления, интеллектуальных способностей младших школьников. Вот несколько методов решения: (Слайд 2)

  • алгебраический;
  • арифметический;
  • графический;
  • практический;
  • метод предположения.

Трудность таких задач обусловлена тем, что они требуют проведения дополнительных исследований и рассмотрения различных вариантов. Здесь не нужны знания теории, выходящие за рамки программы, нужны умения думать, мыслить, догадываться, соображать.

Наблюдения показывают, что даже при решении несложных нестандартных задач, учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать.

Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задачи, мы должны поставить себя на место решающего, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений. Наша помощь, оставляющая различную долю самостоятельной работы, позволит ученикам развивать логическое мышление, творческие способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь решения новых задач.

Обучение осуществляется деятельностным методом, когда дети не получают знания в готовом виде, а “открывают” их в процессе самостоятельной исследовательской деятельности. Учитель предлагает учащимся систему вопросов и заданий, подводящих их к самостоятельному “открытию” нового свойства или отношения.

В качестве основных в математике различают арифме­тическийиалгебраический (аналитический) методы решения текстовых задач.
При арифметическом методеответ на вопрос задачи находится в результате выполнения последовательности действий и операций с имеющимися в тексте задачи числами, величинами.

Заметим, что решение задачи арифметическим методом можно оформить по-разному: в вопросно-ответной форме, по действиям, по действиям с пояснениями, в виде таблицы.

При алгебраическом методе ответ на вопрос задачи на­ходится в результате составления и решения уравнения.

Помимо указанных, в школьной практике используются и другие методы.

Практический способ (Слайд 3)

– Я хочу поделиться с вами своим опытом и показать, как можно использовать разные способы при решении нестандартных задач.

Решим простейшую логическую задачу разными методами.

«На школьном участке посадили 20 лип и клёнов, причём на каждую липу приходится 4 клёна. Сколько лип и клёнов посадили?

Изобразим каждое дерево символом-буквой. Известно, что на каждую липу приходится 4 клёна. Поэтому каждому символу, обозначающему липу, по­ставим в соответствие четыре таких же символа — клёны.

Л-К-К-К-К-5 деревьев,

Дальше нетрудно сообразить, что 20 деревьев разделить на 5, получится 4 раза:

Л- К-К-К-К -5 деревьев
Л- К-К-К-К -5 деревьев
Л- К-К-К-К -5 деревьев
Л- К-К-К-К -5 деревьев
4х4=16 (д.)-клёнов

Эту задачу решим арифметическим способом (Слайд 4)

1)1+4=5(частей) — в общем количестве

2)20:5=4(д.) – в одной части

3)1х4=4(д.) — лип

4)20-4=16 или 4х4=16(д.) – клёнов

Можно её решить и алгебраически. (Слайд 5)

Пусть х — количество лип, тогда 4х- клёны.

Получаем уравнение х+4х=20.

Решив уравнение, получаем х=4 — липы, а клёнов 4х4=16 – клёнов.

Вы увидели, как можно одну задачу решить разными способами. А теперь по группам решите задачу «

Бабушке столько лет, сколько внуку месяцев. Вместе им 65 лет. Сколько лет бабушке? Сколько месяцев внуку? (Слайд)

1 группа – решите при помощи рассуждений и символов (1 год = 12 месяцев. Следовательно бабушка в 12 раз старше внука, приводит к формулировке «Внуку и бабушке вместе 65 лет.

Тогда получается внуку – 5 лет, а бабушке – 60 лет) (Слайд )

2 группа – арифметическим способом (Слайд)

1 +12=13 (частей) в суммарном значении возраста

655:13=5 – лет внуку

65-5=60 лет бабушке

3 группа – алгебраическим способом( Слайд )

Пусть внуку х лет. Тогда бабушке 12х. Получается уравнение х+12х=65

13х=65

Х=65:13

Х=5 лет внуку

65-5=60 лет бабушке

Часто встречаются комбинаторные задачи.

Комбинаторика — это раздел математики, в которомисследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам. (Слайд 6)

Учитывая возрастные особенности младших школьников, комбинаторные задачи решаются бесформульным методом на основе рассуждений учащихся, составлением графов, размещением, таблиц, дерева решений. (Слайд 7)

Научимся решать комбинаторную задачу разными методами.

Дана задача «Вася умеет писать только цифры 1,2,3. Сколько чисел от 10 до 30 он сможет записать?»

Решим при помощи графа. Вершины – это цифры,которые знает Вася, соединим линиями – ребрами и посчитаем сколько получится вариантов. (Слайд)

Мы видим, что Вася может составить 6 чисел : 11,12,13,21,22,23

Эту же задачу можно решить с помощью таблицы (Слайд )

 

1

2

3

1

11

12

13

2

21

22

23

3

Когда нам необходимо составить комбинацию, в которой более двух элементов удобно пользоваться древом решений. (Слайд)

А теперь решите по группам задачу «Найдите количество способов, которыми можно составить трёхцветный флаг из горизонтальных полос красного, белого и синего цвета».

  • 1 группа — графом
  • 2 группа — таблицей
  • 3 группа – деревом

Решение 1 группы

Можно составить 3 флага. (Слайд )

Решение 2 группы – таблицей (Слайд)

 

К

Б

С

К

 

+

+

Б

+

 

+

С

+

+

 

Решение 3 группы – деревом решения (Слайд)

Рефлексия

— Мы научились решать простейшие задачи некоторых видов разными способами.

— И в заключение немного отдохнем и задача для всех «Длина каждой палочки 6см. Как из 13 палочек сложить  метр?» (просто составить слово)

— И еще небольшая творческая работа. У вас на столах лежат слова, составите из них буриме,которое будет ответом на вопрос.

  • 1 группа — Чему научились на мастер-классе?
  • 2 группа — Что понравилось?
  • 3 группа – Что бы использовали в своей работе?

Активно – креативно

Логика – методика

Удача – задача

«Считай несчастным тот день и час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию» (Я.А.Коменский)

— Спасибо Вам за помощь. С наступающим Вас Новым годом. И главное – всем здоровья.

Логика в программировании: логические задачи с собеседований

Нестандартное мышление и логика в программировании – наше все. На собеседовании будьте готовы к тому, что некоторые задачи будут нетривиальными.

1,5 белки, да: такая задача действительно существует. Давайте посмотрим на условие:

1,5 белки за 1,5 минуты съедают 1,5 ореха. Сколько орехов съедят 9 белок за 9 минут?

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Согласитесь, что 1,5 белки сразу сбивают с толку. На это и рассчитано условие. Здесь важно абстрагироваться от привычных образов и принять во внимание тот факт, что речь идет не о последовательном, а о параллельном выполнении задач. Мне было удобнее представить себе это в виде многопоточности без монитора. Что мы имеем с таким подходом?

1. Если действие выполняется белками параллельно, а не последовательно, 1,5 белки за 1,5 минуты съедают 1,5 ореха. Стало быть, 1 белка за 1,5 минуты съедает 1 орех, а 9 белок за 1,5 минуты съедают 9 орехов.

2. Но это за 1,5 минуты, а нам нужно 9 минут:

9/1,5 = 6.
  1. Умножаем количество съеденных орехов:
9*6 = 54.

Ответ: 9 белок за 9 минут съедают 54 ореха.[/spoiler]

Условие:

В первой закрытой комнате с низким потолком висит 3 лампы накаливания. В другой такой же комнате установлено 3 переключателя от каждой из них. Можно как угодно дергать переключатели, вот только перейти из 2-ой комнаты в 1-ую разрешено только 1 раз. Как узнать, за какую лампочку отвечает каждый из переключателей?

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Здесь не нужно быть математиком: достаточно немного поразмыслить. Помните, что логика в программировании – это необходимый инструмент. Так как мы можем дотянуться до лампочки рукой (низкий потолок), следует на некоторое время включить одну из них на пару минут, выключить ее и включить любую другую. Далее переходим в комнату с лампочками и проверяем:

  • та, которая горит, соединена с последним переключателем, который мы трогали;
  • та, которая не горит и теплая, соединена с первым переключателем, который мы трогали;
  • за не горящую и холодную лампочку отвечает переключатель, который мы вообще не трогали.[/spoiler]

Здесь работает чистая математика. Условие:

Бейсбольный мяч с битой вместе стоят $13. Но мяч дешевле бейсбольной биты на $3. Рассчитайте стоимость каждого предмета.

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]1. Предмета два, следовательно, делим сумму на 2:

13/2 = 6,5.

2. Мяч дешевле биты на $3, но и бейсбольная бита дороже мяча на $3. Делим разницу на 2:

3/2 = 1,5.

3. Рассчитываем стоимость каждого предмета:

  • мяч – 6,5-1,5 = 5;
  • бита – 6,5+1,5 = 8.

Ответ: мяч = $5, бита = $8.[/spoiler]

Логика в программировании не ограничивается только математической составляющей, но она является одной из ключевых. То же самое и в случае с монетами. Условие:

Дано 12 монет, из которых 11 – настоящие, и только 1 – фальшивая. Фальшивая монета отличается от настоящих по массе. Какое минимальное количество взвешиваний необходимо, чтобы обнаружить фальшивую монету? Для взвешивания используются чашечные весы.

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Задача легкая, хотя многие все равно начинают путаться, отвечая «1» или «2». Минимальное количество взвешиваний – 3, ведь даже если мы взвесим 2 раза, то как мы узнаем, какая из монет фальшивая? Большую часть монет составляют настоящие, так что 2 монеты с одинаковым весом и будут настоящими, третья с другим весом – фальшивой.

Ответ: 3 взвешивания.[/spoiler]

Условие:

Есть 2 веревки и неограниченное количество спичек. Каждая веревка сгорает за час, однако горят они неравномерно, так что нельзя точно узнать, за какое время сгорит определенная часть веревки. Как отмерить с помощью этих двух веревок интервал в 45 минут?

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Горят веревки действительно неравномерно, но полностью сгорают точно за час. Мы можем:

  1. Поджечь оба конца одной веревки и только 1 конец второй веревки.
  2. Как только первая веревка сгорит (пройдет 30 минут, так как горит она с двух концов), поджигаем другой конец второй веревки, и она догорит ровно за 15 минут.[/spoiler]

Условие:

Дана пустая бочка. Нужно наполнить ее водой так, чтобы заполнена была только половина. Использовать палку или другие предметы для измерения нельзя.

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Да, логика в программировании может подкинуть и физику. А что? Ведь занимаются же как-то машинным обучением, и подобные вещи тоже могут пригодиться.

  1. Заполняем бочку водой (или полностью, или точно больше половины).
  2. Наклоняем бочку на 45 градусов: вся лишняя вода выливается, и остается ровно половина.[/spoiler]

Это очень легкая задача, но горе вам, если зададут ее под конец собеседования, когда последние силы покинут, а мыслительный процесс начнет изрядно буксовать. Условие:

12 часов ночи. Идет дождь. Можно ли ожидать, что по истечении 72 часов будет солнечная погода?

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Ответ: нет, так как через 72 часа также будет ночь.[/spoiler]

Условие:

В офисе расположили 3 автомата с различными напитками. В первом – кофе, во втором – чай, а в третьем – и кофе, и чай (выдает случайным образом). Для любого из них нужна 1 монета. Каждый автомат обозначен наклейкой с названием продукта, который он выдаёт. Вот только на заводе перепутали наклейки, и на каждом из трех автоматов оказалась неправильная. За сколько монет можно выяснить, где какой автомат?

[spoiler title=’Решение’ collapse_link=’true’]Здесь, как и в случае с первой задачей, нужно абстрагироваться от мнимой сложности, ведь задача легкая.

  1. Бросаем монету в автомат с надписью «чай-кофе». Так как все наклейки расположены неверно, в зависимости от того, что выдаст автомат, мы определим его в «чайный» или «кофейный».
  2. Допустим, это оказался кофейный автомат. Тогда чайный автомат не может быть ни кофейным, ни чайным: он выдает и чай, и кофе.
  3. Методом исключения определяем автомат, который выдает чай.

Ответ: за 1 монету.[/spoiler]

А вот вам еще несколько интересных задач, которые рассчитаны исключительно на программистов. Сможете их решить? 😉

  1. Сколькими способами можно разложить на 6 целых множителей 1 000 000?
  2. Имеем большой файл в несколько Гб, в котором записаны целые числа. Нужно записать в другой файл все эти числа в отсортированном порядке. Как это сделать максимально эффективно?
  3. Имеем все тот же большой файл в несколько Гб с целыми числами. Каждое число встречается дважды, но также есть 1 число, которое встречается всего 1 раз. Предложите эффективный алгоритм для поиска этого числа.

задания и упражнения на развитие логического мышления детей в 1-4 классах

Зачем развивать логику


Развитая логика помогает выделять суть в потоке информации, принимать взвешенные решения и чётко формулировать свои мысли — эти способности пригодятся не только в школе. Во времена высоких технологий умение мыслить логически становится не просто конкурентным преимуществом, а жизненно необходимым навыком. Вот лишь несколько причин, по которым стоит развивать логику:

  • Чтобы постоянно развиваться. Технологии прогрессируют с огромной скоростью и требует того же от человека. Не оказаться за бортом цивилизации сможет только живой и пластичный ум. 
  • Чтобы правильно формулировать вопросы. Это важнейшее умение и для учёбы, и для жизни вообще. Чтобы получать быстрые и точные ответы, вопросы нужно уметь грамотно задавать. 
  • Чтобы отличать правду ото лжи. Информационное пространство переполнено противоречивыми сведениями. Развитая логика поможет сопоставить факты, сравнить источники и не стать жертвой обмана. 
  • Чтобы находить нестандартные решения. И дело даже не в том, что это ключевой навык для работы в самой высокооплачиваемой сфере — IT. Ни в одной профессии, подразумевающей интеллектуальный труд, не обойтись без изобретательности.

Преподаватель информатики Анастасия Александрова подчёркивает важность развития логики для учёбы. 

«Для успешного изучения информатики нужна логика. Если у вас трудности со школьным курсом, потренируйте сначала своё логическое мышление на простейших задачах».

<<Блок перелинковки>>

Способы развития логического мышления

Логическое мышление — это не врождённый талант, его необходимо развивать. Существует много способов, позволяющих делать это с удовольствием. Перечислим лишь некоторые из них:

  • Логические задачи. Многие задачки на логику придуманы тысячи лет назад, но актуальны до сих пор. Зачастую они сформулированы очень забавно, так что искать остроумные ответы на них весело и увлекательно. Множество таких задач легко найти в интернете.
  • Интеллектуальные игры. Игра для детей — способ познания мира. Играя с ребёнком в домино, шашки, шахматы, точки, эрудит и даже просто в слова, вы не только весело проводите время, но и развиваете мышление ребёнка. 
  • Головоломки. Специализированные магазины предлагают ассортимент «игр для ума» на любой вкус и возраст — всевозможные лабиринты, пазлы, кубики Рубика и целые научно-исследовательские наборы. Во многих городах работают кружки любителей головоломок, где дети учатся их разгадывать и соревнуются в искусстве решения. 
  • Развивающие сервисы. В Сети существуют специальные платформы, на которых собраны различные задачи на развитие логики у детей. Процесс их решения напоминает игру с разными уровнями сложности. 
  • Компьютерные игры. Вопреки распространённому убеждению, далеко не все они пустая трата времени. В интернете найдётся огромное количество игр на развитие логики — от простейших «Тетриса» и «Лайнс» до «Майнкрафта» с его неисчислимыми возможностями.

<<Форма демодоступа>>

Развитие логического мышления в 1 классе

Мышление младшего школьника переживает переломный этап. Ещё недавно оно основывалось только на собственном опыте и ощущениях от окружающего мира. Но осваивая азы школьной программы, ребёнок учится не просто читать и писать, а соотносить символы со значениями и оперировать абстрактными единицами. Чтобы помочь ему освоится в мире букв и чисел, важно уделить внимание развитию логического мышления уже с 1 класса.

Прежде всего важно научить ребёнка наблюдательности: какими свойствами обладают те или иные предметы? Что в них общего? В чём различия? В процессе размышления над этим он получит представление о закономерностях, научится анализировать, сравнивать и обобщать.

Из классических настольных игр подойдёт домино. Эта игра учит быстро считать и принимать решения, предугадывая последствия. А также позволяет наглядно увидеть принцип логической цепочки.

Задачи на логическое мышление для 1 класса 

Ответ: лиса, она обращена налево.

Ответ: чтобы узнать, какая цифра скрыта за грибком, решим пример «10-3». Ответ — 7. Решив пример «7+1», получим число, спрятанное за звёздочкой; это 8.

Развитие логического мышления во 2 классе

С 8-9 лет у ребёнка формируется критическое мышление: он больше не принимает на веру всё, что ему говорят. В этот период очень важно научиться отличать правду от неправды и сопоставлять данные из разных источников. В этом ребёнку помогут логические задачи на истинность и ложность суждений.

Игры в ассоциации, в слова и забавные «данетки» также очень хорошо развивают логику и воображение. А главная их прелесть в том, что играть можно где угодно, например, в транспорте или в очереди к врачу. 

Кроме того, стоит познакомить ребёнка с задачками «с подвохом». Может показаться, что они носят исключительно шутливый характер, но это не так. С их помощью ребёнок научится понимать, что не все проблемы решаются стандартными методами. 

Задачи на логическое мышление для 2 класса

Ответ: велосипед, он не жёлтый и без мотора.

Ответ: шесть, у пяти братьев одна общая сестра.

Развитие логического мышления в 3 классе

Знания ребёнка об окружающем мире становятся всё более глубокими и разносторонними. Он уже умеет соотносить разные пласты информации и строить гипотезы на основе имеющихся данных. Задания на поиск закономерностей по-прежнему актуальны, но теперь они должны быть гораздо сложнее. 

Можно покупать более сложные головоломки, осваивать новые настольные игры. В этом возрасте многие дети увлекаются конструкторами. «Лего» и его аналоги помогают развивать логику, мелкую моторику и пространственное мышление, а главное, дают ребёнку огромное пространство для самовыражения. 

Также в этом возрасте будут очень полезны математические и текстовые ребусы и занимательные игры со спичками.

Задачи на логическое мышление для 3 класса

Ответ:

Ответ: 4.

Развитие логического мышления в 4 классе

В 10-11 лет подростку хочется уже не просто играть, а сделать что-то по-настоящему. Это лучшее время для всевозможных экспериментов: опыты с переливанием жидкостей, электроконструкторы, развлечения с магнитами и кинетической энергией, химические реакции — всё это тоже отлично развивает логическое мышление. И конечно, пробуждает интерес к естественным наукам, которые скоро начнутся в школе. Не менее важно уделить внимание задачам на пространственное мышление, чтобы подготовиться к урокам черчения и геометрии.

А ещё в этом возрасте самое время познакомить подростка с основами программирования. Можно начать с изучения графического языка Scratch. Создавая с его помощью мультфильмы и простые игры, дети знакомятся с принципами работы системных алгоритмов. 

Задачи на логическое мышление для 4 класса 

Ответ: 30-9 = 21 — столько дополнительных выстрелов Вася заработал за попадания.

За каждое попадание давалось 3 выстрела: 21÷3 = 7 раз Вася попал по монстру.

Ответ: 2.

Резюме

Возможно, вас удивит, что ребёнок легко справляется с логическими задачами, которые казались вам трудными, и предлагает решения, о которых вы не подозревали. Дело в том, что детское мышление ещё не подвержено шаблонам и стереотипам. Важно помочь ребёнку сохранить эту пластичность ума. Чем раньше он начнёт развивать логику, тем легче ему будет учиться в дальнейшем. 

В начальной школе «Фоксфорда» мы уделяем внимание логике с первого класса. Программа 1-4 классов включает курс алгоритмики, на котором дети учатся решать логические задачи, ребусы и головоломки, а в более старшем возрасте осваивают азы информатики и программирования. Такие занятия отлично развивают логическое мышление и позволяют овладеть навыками одной из самых востребованных профессий. 

Пара советов напоследок:

  1. Не ограничивайтесь только точными науками. Играйте с ребёнком в творческие игры: предложите нарисовать предмет по описанию его свойств, или составить рассказ, используя заданные словосочетания. Такие занятия не только тренируют логическое мышление, но и развивают фантазию и помогают ребёнку раскрыть творческий потенциал.
  2. Не стоит заниматься развитием логики ребёнка слишком серьёзно. Лучше превратите занятия в игру. В будущем вашему сыну или дочери придётся решить немало по-настоящему серьёзных задач и находить выходы из непростых ситуаций. А пока пусть учится справляться с трудностями в игре.

Задач по математике и логике в изобилии

Нонограммы для логических головоломок, здесь каждый найдет что-то для себя.

Ежедневные математические и логические задачи для всех

CryptoPics — интерактивные криптографические картинки для печати или японские логические головоломки — это увлекательное развлечение.

Magic Squares — Изучите историю этой головоломки и создавайте головоломки с магическими квадратами.

Праздничные пазлы — Веселые головоломки с символами праздников.

Логические головоломки — Используйте логику для решения этих словесных задач.

Головоломки с числами и словами — Бесплатные онлайн-головоломки с числами и словами.

Как решить проблемы со словами — Пошаговые инструкции по решению проблем со словами.

С Рождеством Христовым математические задачи — Решите эти словесные задачи для веселого веселья.

CRPuzzles — Интернет-журнал с множеством типов головоломок.

Моделирование математических задач — Узнайте, как решать текстовые задачи поэтапно.

Рисунок Это — математические задачи со словами бросят вызов всем членам семьи.

Brain Food — Сотни логических задач, головоломок и словесных игр для всех.

Brain Games — ссылки на забавные игры для мозга для студентов и семей.

Brain Games — Веселые интеллектуальные игры, включающие головоломки, логические и словесные игры.

Brain Teasers — Эти интерактивные головоломки разогреют ваш мозг до предела.

Puzzlers Paradise — Решайте логические задачи онлайн.

Nick’s Mathematical Puzzles — Сотни математических головоломок для проверки ваших логических и дедуктивных навыков.

Головоломки оригами на рассечение — Соберите многогранник оригами, чтобы решить головоломку.

Papyrus Puzzle Game — Сможете ли вы снова собрать папирус?

Задача недели — головоломки и словесные задачи для решения.

Задачи по математике и логике для детей

Interactive Fun Puzzles — Веселые головоломки для младших школьников.

Cool Math and Logic for Kids — Анимированные логические задачи, словесные задачи и головоломки для учеников начальной школы.

Logic Puzzles for Kids — Рабочие листы для печати для головоломок на логику и дивергентное мышление для детей младшего возраста.

Задачи с печатным текстом — Ресурсы по задачам с печатным текстом для классов с K по 12.

Задачи по слову для детей — Задачи со словом для 5–12 классов.

Математика и логика — Математические игры, задачи со словами и логические головоломки будут развлекать вас часами.

Головоломки — простые головоломки, которые помогут детям развить математические и логические навыки.

Math Gym — Интерактивная аркада с математическими и логическими играми.

Button Beach Challenge — Ментальная математика для начальных уровней.

Концептуальные задачи со словами — Интерактивные задачи со словами и учебные пособия по их решению для K-12.

Задачи по математике со словами — Помогите пчелам с проблемами со словами с медом.

Math Puzzles — эти математические головоломки укрепляют словарный запас.

House of Math Word Problems — Тысячи словесных задач по математике для классов с 1 по 6; требуется членство.

K-12 Math Puzzles — Ссылки на математические задачи и головоломки.

Math Maven Mysteries — Используйте логику, чтобы разгадать эти загадки; проблемы варьируются от простых до сложных.

Задачи по математике и логике для подростков

Задачи геометрического слова — Решения и обучающие видео для задач геометрического слова.

Танграммы и другие логические головоломки — решайте математические головоломки, танграммы, логические головоломки и многое другое.

Квадратные уравнения — Задачи средней алгебры для старшеклассников.

Задачи по математике и логике для одаренных учеников — ссылки на головоломки, головоломки и логические игры.

Наибольшие проблемы со словом общего делителя — Бесплатные рабочие листы по алгебре.

Math Puzzles — множество математических головоломок для оттачивания логических навыков.

Танграммы — Используйте логические навыки, чтобы решить эти древние китайские головоломки.

Задачи со словами и физика — Узнайте, как задачи со словами могут помочь вам понять физику.

Судоку — Играйте в судоку онлайн и оттачивайте свои логические навыки.

Logics and Brain Teasers — Ссылки на логические задачи и головоломки.

Rebus Brainteasers — Веселые интерактивные ребусы.

Math and Logic Challengers — Открытые математические задачи.

Math and Logic Puzzles — Обострите смекалку с помощью забавных интерактивных головоломок.

головоломок — математические, логические и другие головоломки.

Открытые математические задачи — задачи со словами и логические задачи помогают подготовить студентов к стандартному тестированию.

Математические и логические задачи для математиков и логиков

Пазлы Nonogram — попробуйте свои силы в решении этих головоломок.

Логические задачи со словами — Разгадайте загадку возраста трех дочерей и другие головоломки.

Нерешенные проблемы — Сможете ли вы решить одну из этих известных неразрешимых проблем?

Логический калькулятор

— Вычислите истинность логического утверждения с помощью этого онлайн-калькулятора логики.

Daily Translation Problem — Решите ежедневную задачу перевода, используя элементарную логику.

Задача занятого бобра. Если вы знаете, что такое машина Тьюринга, вы можете решить эту логическую задачу.


Популярные товары

Решение пропозициональной логической задачи со словом

В этом разделе мы будем использовать знакомые обозначения, используемые в логике высказываний. Возможно, вы сначала захотите познакомиться с логикой высказываний.

Как и при решении любых других вопросов, мы всегда должны спрашивать себя, что мы можем, а что не можем делать, записывая свои рассуждения. Первый шаг к тому, чтобы научиться решать проблемы логики высказываний, состоит в том, чтобы перечислить то, что нельзя сделать или что невозможно, чтобы мы могли сузить круг возможных сценариев.Помните, что очень легко сделать ошибочный вывод, основанный на ошибочных рассуждениях. Возьмите в качестве примера приведенные ниже утверждения. Если первое утверждение истинно, верно ли второе утверждение?

«Если идет дождь, то я не могу играть в футбол». «Если я не могу играть в футбол, значит идет дождь». \ Begin {array} {c} & \ text {«Если идет дождь, то я могу» t играть в футбол «.} & \ text {» Если я не умею играть в футбол, значит идет дождь. «} \ end {array}» Если идет дождь, то я не могу играть в футбол «.» Если я могу Не играю в футбол, значит идет дождь.«

Совершенно очевидно, что проблема здесь: могут быть другие причины, по которым я не могу играть в футбол, которые не обязательно зависят от погоды. Если мы допускаем такие простые ошибки в рассуждениях, когда контекст очень ясен, просто представьте, что произойдет, когда вы будете менее уверены в более расплывчатых утверждениях. В следующем абзаце мы познакомимся с этими ошибками.

Обратные и обратные ошибки

Как новичок, наиболее распространенная ошибка, которую вы можете сделать, — это предположить, что обратное и / или обратное исходное утверждение также верно.Взгляните на два раздела ниже:

Введение в Converse Error с ошибочными рассуждениями:

Предпосылка : Если идет дождь, я не могу играть в футбол.

Заключение : Если я не умею играть в футбол, значит, идет дождь.

Объяснение : Из первого оператора мы получаем условие и результат: «дождь» как условие и «я не могу играть в футбол» как результат. Вся посылка сформулирована таким образом, что если условие выполнено, то результат наступит.Однако вывод показывает, что если результат будет выполнен, то условие будет выполнено. Это не имеет смысла, потому что условие не обязательно должно иметь место, если результат наступает первым. Это известно как обратная ошибка.

В общем виде аргумент для обратной ошибки выглядит следующим образом:

  • Если встречается P, значит, Q.
  • Q встречается.
  • Следовательно, P также встречается.

Введение в обратную ошибку с ошибочными рассуждениями:

Предпосылка : Если идет дождь, я не могу играть в футбол.

Вывод : Если не идет дождь, то могу поиграть в футбол.

Объяснение : Из первого оператора мы получаем условие и результат: «дождь» как условие и «я не могу играть в футбол» как результат. Вся посылка сформулирована таким образом, что если условие выполнено, то результат наступит. Однако вывод показывает, что если условие не наступает, то не наступает и результат. Это не имеет смысла, потому что могут быть другие причины / факторы, которые могут привести к результату.Это известно как обратная ошибка.

В общем виде аргумент для обратной ошибки выглядит следующим образом:

  • Если встречается P, значит, Q.
  • P не встречается.
  • Следовательно, Q также не встречается.

Теперь может быть совершенно ясно, что легко определить, что мы сделали ошибочные рассуждения. Однако что, если приведенные утверждения кажутся более расплывчатыми? Это причина, по которой мы вводим две ошибки выше (обратная ошибка и обратная ошибка), чтобы показать, что не все неправильные утверждения легко идентифицировать.Проще говоря, взаимосвязь между двумя событиями не обязательно означает, что одно вызывает другое. Короче говоря, мы указываем на общий факт, что «корреляция не подразумевает причинно-следственной связи».

Теперь, когда мы увидели эти ошибки на собственном опыте, давайте рассмотрим другой пример, чтобы напомнить себе, что это ошибки, и мы надеемся избежать их в будущем. Имейте в виду, что некоторые обратные / обратные утверждения могут показаться нелепыми, а некоторые — нет.

Нам дается следующее утверждение: Если сегодня воскресенье, значит, погода солнечная.

(i) \ qquad \ text {(i)} (i) Запишите обратную и обратную форму этого утверждения.
(ii) \ qquad \ text {(ii)} (ii) Определите, какое из этих утверждений, которое вы сделали, не логично, и объясните, почему.


(i) \ text {(i)} (i) Обратный и обратный

  • Перевернутая карта: Если сегодня не воскресенье, то погода не солнечная.
  • Converse: Если погода солнечная, то сегодня воскресенье.

(ii) \ text {(ii)} (ii) Логическое или нелогичное

Хотя они противоположны исходному утверждению, мы должны помнить, что они не обязательно могут быть ошибкой.Однако нет ничего плохого в том, чтобы проверить, верны они или нет.

  • Обратное утверждение подразумевает, что день имеет прямое отношение к солнечной погоде или нет, что абсурдно , потому что также могут быть несолнечные дни, которые не выпадают на воскресенье.

  • Обратное утверждение подразумевает, что только если погода солнечная, тогда днем ​​будет воскресенье, что также смехотворно , потому что у них также может быть солнечная погода в дни, не выпадающие на воскресенье.□ _ \ квадрат □

Определите точную ошибку

Теперь, когда мы можем определить, как возникают ошибки, давайте сделаем еще один шаг и применим эти методы, чтобы мы могли точно определить, где возникает ошибка. Обратите внимание, что самый простой способ определить, где возникла ошибка, — это преобразовать логические утверждения в символические формы (например, P подразумевает Q). Давайте попробуем следующий пример.

Рассматривая свое образование в долгосрочной перспективе, вы идете в Prestige Corporation и спрашиваете, чем вам следует заниматься в колледже, чтобы вас приняли на работу после его окончания.\ text {+} В + средний или лучше, и бухгалтерия возьму. Вы действительно становитесь математиком, получаете средний балл B \ text {B} B и начинаете бухгалтерию. Вы возвращаетесь в Prestige Corporation, подаете официальное заявление и получаете отказ. Персонал вам солгал?


Перечислим требования для приема на работу:

(i) Специальность по математике или информатике (ii) Получите средний балл B + или выше (iii) Начните бухгалтерский учет \ begin {array} {r r l} & \ text {(i)} & \ text {Специалист по математике или информатике} \\ & \ text {(ii)} & \ text {Получить} \ text {B} ^ \ text {+} \ text {средний или лучший} \\ & \ text {(iii)} & \ text {Взять бухгалтерию} \\ \ end {array} (i) (ii) (iii) Специальность — математика или информатика. Получите средний балл B + или выше. Возьмите бухгалтерский учет

.

Поскольку вы стали изучать математику, критерий (i) \ text {(i)} (i) удовлетворяется.\ text {+} B + среднее, критерий (ii) \ text {(ii)} (ii) не выполняется.
Поскольку вы начали бухгалтерский учет, критерии (iii) \ text {(iii)} (iii) выполнены.

Поскольку вы не соответствовали всем критериям и получили отказ, персонал вам не лгал. □ _ \ квадрат □

Теперь, когда вы знакомы с записью этих операторов и выявлением возможных ошибок, давайте попробуем другой пример, в котором используется такое свойство!

Недостаточная информация Sharky Сатвик Кришна

В магазин совершили облаву мародер / ы, которые уехали на машине.Трое известных преступников Сатвик, Кришна и Шарки доставлены в полицейский участок для допроса. Инспектор полиции Адитья извлекает следующие факты:

(1) (1) (1) Никто, кроме Сатвика, Кришны и Шарки, не участвовал в грабеже.
(2) (2) (2) Шарки никогда не выполняет работу без использования Сатвика (и, возможно, других) в качестве сообщников.
(3) (3) (3) Кришна не умеет водить машину.

Найдите человека, который в любом случае виноват.

Эта задача входит в мой набор «Это то, что вы называете логикой?»

Формальная терминология

В предыдущих разделах мы узнали две наиболее распространенные ошибки, которые допускают учащиеся при решении задачи логического рассуждения.Однако мы формально не касались терминологии для этих терминов: обратная ошибка и обратная ошибка. Давай начнем!

Контрапозитив : Утверждение логически эквивалентно своему контрапозитиву. Контрапозитив отрицает оба термина в импликации и меняет их позиции. Например, противоположность «P подразумевает Q» — отрицание Q подразумевает отрицание P.

  • Converse : Обратное меняет положение терминов.Обратное к «P влечет Q» означает «Q влечет P».

  • «Если и только если», иногда записываемое как тогда и только тогда, и известное как эквивалентность, является импликацией, которая работает в обоих направлениях. «P тогда и только тогда, когда Q» означает, что и «P подразумевает Q», и «Q подразумевает P».

Давайте попробуем несколько примеров из этой области!

(i) \ text {(i)} (i) Запишите контрпозитивное заявление для

«Если вы человек, значит, у вас есть ДНК.»\ text {» Если вы человек, то у вас есть ДНК. «}» Если вы человек, то у вас есть ДНК «.

(ii) \ text {(ii)} (ii) Запишите два оператора «если-то» для

«Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда многоугольник имеет 4 стороны.» \ Text {«Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда многоугольник имеет 4 стороны.»} «Многоугольник является четырехугольником тогда и только тогда, когда многоугольник имеет 4 стороны «.


(i) \ text {(i)} (i) Contrapositive
\ qquad Если у вас нет ДНК, значит, вы не человек.

(ii) \ text {(ii)} (ii) если-то утверждения
\ qquad Если многоугольник является четырехугольником, то у него 4 стороны.
\ qquad Если у многоугольника 4 стороны, то это четырехугольник. □ _ \ квадрат □

Просто, не правда ли? Давайте попробуем решить некоторые задачи, в которых применяются методы, которые мы узнали выше.

Если Джефф хорошо справится со своим следующим тестом по математике, то он закончил домашнее задание по математике.Если Джефф проведет 5 часов, играя в видеоигры, то следующий тест по математике он провалит. Если Джефф не провалит следующий тест по математике, значит, он не провел 5 часов, играя в видеоигры. Если Джефф не выполнит домашнее задание по математике, он потратит 5 часов на видеоигры. Если Джефф не играет в видеоигры, он успешно сдаст следующий тест по математике.Если Джефф не выполнит домашнее задание по математике, значит, он не сможет успешно сдать следующий тест по математике. Если Джефф потратит 2 часа на видеоигры, то он сможет закончить домашнее задание по математике. Если Джефф завершит домашнее задание по математике, значит, он не потратил 5 часов на видеоигры.

Если Джефф потратит 5 часов на видеоигры, он не сможет закончить домашнее задание по математике.

Если Джефф завершит домашнее задание по математике, то его следующий тест по математике будет успешным.

На основании этой информации, что из следующего является логически правильным?

Синий Не могу сказать Зеленый Желтый

Селена, Дженнифер и Майли носят синее платье, желтое платье и зеленое платье в неизвестном порядке.Известно, что:

1) Если Селена носит синее, то Дженнифер носит зеленое.
2) Если Селена носит желтое, то Майли носит зеленое.
3) Если Дженнифер не носит желтого цвета, то Майли носит синее.

Какого цвета платье на Селене?

Теперь, когда мы освоили эти методы, давайте перейдем к следующему разделу, чтобы узнать о других классных методах доказательства!

Логика как решение головоломок

1.Введение

В последние годы многие авторы обсуждают так называемый «антиисключительный подход к логике». Согласно анти-исключительности, логика не обязательно отличается от естествознания. Логические принципы могут быть пересмотрены и подвергнуты сомнению так же, как и научные гипотезы. Вот как Хьортланд описывает идею (2017, с. 2):

В

Logic нет ничего особенного. Его теории неразрывно связаны с наукой; его метод продолжается с научным методом. Логика не является априорной, и ее истины не являются аналитическими истинами.Логические теории можно пересматривать, и если они пересматриваются, они пересматриваются на тех же основаниях, что и научные теории.

Другими словами, антиисключительность утверждает, что логика: (i) характеризуется научным методом; (ii) не априори; (iii) не аналитический; (iv) возможность пересмотра; и (v) пересмотрены на тех же основаниях, что и научные теории (это можно интерпретировать как «эмпирические»). Неясно, все ли свойства должны применяться к позиции или только их релевантное подмножество.

Антиисключительность предположительно противопоставляется более фундаменталистским взглядам на логику.Согласно этим взглядам, логика предоставляет некоторые правила, которые нельзя изменить. Логические правила, как может сказать фундаменталист, исходят из значения логических связок, поэтому их нельзя пересмотреть, используя эмпирические данные или апеллируя к семантическим парадоксам. В качестве альтернативы она может сказать, что принципы основаны на жесткой структуре мира или разума в той точке, в которой нелогичные утверждения не могут быть представлены или поняты. Исходя из этого исключительного подхода, такой принцип, как исключенное среднее, имеет тот же статус, что и арифметическая банальность, такая как «2 + 2 = 4».Эмпирические утверждения имеют динамический характер, но эти основные логические принципы просто не подлежат обсуждению.

Одна из риторических проблем антиисключительности, однако, состоит в том, что нелегко найти логиков-исключителей. Большая часть современной дискуссии о парадоксах и истине предполагает, что принятие неклассической логики, по крайней мере, является открытым вариантом. Строгую версию логической исключительности, безусловно, можно найти у ранних философов-аналитиков, таких как Витгенштейн («В логике никогда не может быть сюрпризов», TLP 6.12.41), но сегодня это не мейнстрим.

Некоторые недавние статьи посвящены методологическим вопросам. Они воспринимают антиисключительность как принятие так называемого «абдуктивного» метода логической ревизии (Priest, 2014; Williamson, 2017; Hjortland, 2017). Согласно абдуктивизму, «мы выбираем теорию, которая лучше всего соответствует тем критериям, которые определяют хорошую теорию» (Priest, 2014, p. 217). Набор критериев включает соответствие данных, но может также включать другие эпистемологические достоинства, такие как простота, произвольность, объединяющая сила, плодотворность и т. Д.Абдуктивизм предполагает сравнение между различными теориями: «Мы оправдываем свою веру в некую логическую теорию L, потому что она лучше соответствует релевантным данным и обладает соответствующими теоретическими достоинствами в большей степени, чем конкурирующие теории» (Martin & Hjortland, 2020 , стр.2). Эта абдуктивная версия антиисключительности противопоставляется двум другим эпистемологиям логики: рационализму (Bealer, 1998) 1 , который утверждает, что мы изучаем логику посредством рационального понимания, и семантизму (Boghossian, 2000), согласно которому мы изучаем логику. понимая значение логических выражений. 2

В недавней статье Мартин и Хьортланд (2020) отождествляют антиисключительность с более общей идеей о том, что логика имеет научную методологию: Методологический антиисключительность означает, что «Теоретический выбор в рамках логики во многих важных отношениях аналогичен выбору в признанных науках. »(Стр. 2). Логический абдуктивизм — одна из версий этой идеи (стр. 2, ссылка 1). Однако методологический антиисключительность не следует отождествлять с абдуктивизмом, поскольку логика может работать с научной методологией, которая не является абдуктивной.Мартин и Хьортланд, например, утверждают, что методология логики основана на предсказании и объяснении. Согласно этой точке зрения, логика должна «предсказывать и объяснять» предложения действительности. 3 Общая идея состоит в том, что мы конструируем теорию (используя определения, правила и законы) для объяснения действительности некоторых интуитивно достоверных неформальных аргументов, а затем прогнозируем обоснованность других аргументов. Нам нужно проверить, верны ли новые прогнозы; в противном случае теория (или некоторые вспомогательные гипотезы) должны быть пересмотрены.С другой стороны, Payette and Wyatt (2018) утверждают, что логика работает с методологией функционального объяснения. 4 В рамках этого подхода логики хотят объяснить действительность или недействительность некоторых выводов, которые включают определенную структуру и словарный запас; цель не состоит в том, чтобы найти общую логику для всего естественного языка. Следовательно, любая логическая теория будет иметь некоторую степень неточности, поскольку она имеет ограниченную область применения, но это не обязательно проблематично.

В этой статье я буду поддерживать методологический антиисключительность в целом, и, как эти авторы, я также отвергаю общую картину логического абдуктивизма.Я утверждаю, что абдуктивная методология игнорирует некоторые центральные аспекты логической практики. Я утверждаю, что в целом логическое исследование можно охарактеризовать методом решения головоломок.

В разделе 2 я обсуждаю некоторые недавние предложения, которые относятся к абдуктивистской версии антиисключительности: Уильямсон (2017) и Хьортланд (2017). Уильямсон утверждает, что абдуктивный метод логической проверки решит в пользу классической логики, которая является более сильной и фундаментальной для науки, чем любая другая логическая теория.Согласно Хьортленду и вопреки Уильямсону, абдуктивная антиисключительность не обязательно приводит к классической логике. Я утверждаю, что у обоих подходов есть недостатки, которые, надеюсь, будут решены моим подходом.

В разделе 3 я разрабатываю версию логической антиисключительности, решающую головоломки. 5 Я утверждаю, что многие современные разработки неклассической логики имеют ограниченную область применения: они нацелены на решение определенных головоломок с использованием определенных правил и методов. Следовательно, абдуктивная модель логического пересмотра неадекватна по той причине, что классическая логика сильнее во многих оценках и имеет привилегированный эпистемический статус, заключается в том, что общий язык нашей методологии решения головоломок является классическим.Классическая логика — это не просто теория среди прочего, но набор принципов и методов, от которых нельзя отказаться, используя конкретные доказательства, такие как семантические парадоксы.

Однако я также буду утверждать, что неклассическая логика играет важную и законную роль в логической практике. Эти подходы предоставляют новые методы, инструменты и перспективы для решения некоторых интересных теоретических головоломок. Они, безусловно, способствуют научному прогрессу в логике. Тем не менее, они, как правило, не представляют подлинного вызова классической логике в ее фундаментальной роли.

2. Классический и неклассический абдуктивизм

В этом разделе я проанализирую два центральных вклада в литературу об антиисключительности: Williamson (2017) и Hjortland (2017). Я объясню их позиции и рассмотрю некоторые возражения, которые приведут нас к более полному взгляду. Я также объясню, в каком смысле мой собственный взгляд (разработанный в разделе 3) будет отличаться от обоих.

Одним из главных сторонников антиисключительности сегодня является Тимоти Уильямсон (2017).Он утверждает, что логика не является чем-то особенным, поскольку она просто включает неограниченные обобщения истинных предложений. Например, тавтология φ ∨ φ выражает обобщение ∀p (p ∨ p). 6 То, что утверждение не имеет исключений, не является ни очевидным, ни аналитическим. это просто правда (см. стр. 328). Если не считать общности, большой разницы между проверочными логическими утверждениями и геологическими утверждениями нет. И причины для пересмотра логики, говорит Уильямсон, можно найти в исключениях из этих общих утверждений.

Это не означает, что при любом очевидном исключении будет отказано от логических принципов. Напротив, Уильямсон говорит, что мы должны следовать абдуктивному методу; это означает, что мы можем пересматривать классическую логику только тогда, когда есть другая логика, которая может улучшить ее в различных эпистемических достоинствах. Если такой альтернативной логики нет, предварительные контрпримеры логическим принципам можно объяснить с помощью выразительных ограничений и других ресурсов.

Уильямсон утверждает, что классическая логика будет выбрана абдуктивной методологией.У классической логики есть два основных преимущества: сила и (что я называю) повсеместность:

● Сила (стр. 336-337). Классическая логика обычно сильнее, чем наиболее используемые неклассические логики, такие как интуиционистская логика, релевантная логика, LP или K3. В классической логике есть теорема дедукции, Modus Ponens, закон исключенного среднего, структурные свойства, правила ДеМоргана и т. Д. В самом деле, широко известно, что нельзя добавлять принципы к классической логике (т.е. переходить к надклассической) и поддерживать свойство единообразной замены.

● Вездесущность. Немного более спорным, но также широко признанным является утверждение о повсеместном распространении классической логики. Как описывает это Уильямсон:

[классическая логика] была проверена гораздо строже, чем любая другая логика в истории науки, особенно в истории математики, и выдержала испытания на удивление хорошо (стр. 338)

Учитывая эти два главных достоинства классической логики, классичность будет преобладать в абдуктивном сравнении с другими логическими теориями.Тем не менее Уильямсон не считает такое отношение консервативным. Классическая логика будет преобладать не потому, что мы к ней привыкли, а из-за присущих ей свойств (стр. 338).

Уильямсон признает, что классическая логика имеет недостаток: она не полностью «соответствует» доказательствам из-за семантических парадоксов. Классическая логика не может поддерживать неограниченную Т-схему, которая выражает значение народной концепции истины. Многие неклассические логики считают парадокс лжеца главной причиной отказа от классической логики.Это один из ярких примеров обобщений Вильямсона, которые не могут удовлетворять классическим законам. На это Уильямсон отвечает, что логика не обязательно связана с анализом истины, поэтому это понятие имеет второстепенное значение (стр. 339). 7 По его словам, лучше отказаться от неограниченной T-схемы и придерживаться классических правил и принципов. Следовательно, классическая логика остается лучшей логической теорией. Несмотря на то, что классическая логика несовершенна (поскольку она не может содержать неограниченную Т-схему), она по-прежнему остается лучшей логической теорией, поскольку она сильна и повсеместна.

На данный момент трудно понять, насколько Уильямсон настроен против исключительности. Если рассматриваемые добродетели — сила и повсеместность, то классическая логика в принципе не будет пересмотрена перед лицом новых свидетельств. Например, семантические парадоксы не смогут дать повод для пересмотра классической логики. И неклассические предложения вряд ли будут рассматриваться в этом споре, поскольку они обычно слабее и явно не так распространены, как классическая логика. Уильямсон (стр.340) цитирует Куайна, который утверждал, что решение парадоксов неклассической логики подразумевает «опустошить больше полей». Таким образом, его методология лишь кажущаяся абдуктивной; выбранные эпистемические добродетели позволят классической логике победить любую другую возможную логику, поэтому между логическими теориями с самого начала не возникает подлинного соревнования.

В следующем разделе я представлю теорию методологии логики, в которой отражены классические интуиции Уильямсона: классическая логика действительно является привилегированной теорией, находящей широкое применение в научных исследованиях, которую нельзя игнорировать.Однако это не означает, что неклассические разработки обречены на провал. Чтобы достичь этого, нам нужно отказаться от абдуктивной картины, в которой неклассические логики являются просто «соперниками» классической логики. Многие неклассические логики не добьются успеха, если идея заменяет классическую логику; но я буду утверждать, что это не цель этих теорий в целом.

Hjortland (2017) развивает другую версию абдуктивизма, но в довольно неклассическом духе. Он отвечает Уильямсону, что, хотя антиисключительность верна и методология логики абдуктивна, она не обязательно выбирает классическую логику.Хьортланд защищает не конкретную логику, а просто идею неклассического или даже субструктурного (стр. 2):

(…) абдуктивизм в отношении логики не ведет к классической логике. Однако из этого не следует, что абдуктивизм поддерживает определенную неклассическую логику.

Хьортланд утверждает, что тот факт, что большинство ученых используют классическую логику, не является убедительным аргументом в ее пользу. Он утверждает, что математические доказательства основаны не на классической логике, а на классических рассуждениях.Математике не нужны неограниченные логические принципы, и она будет одинаково хорошо работать с классической логикой, ограниченной математическими рассуждениями:

Математические доказательства действительно содержат множество примеров классических принципов: применения классического reductio ad absurdum, условного доказательства, дизъюнктивного силлогизма, закона поглощения и т. Д. Однако следует подчеркнуть тот факт, что это примеры классических принципов. . Математические доказательства не основываются на том, что какой-либо из этих принципов является неограниченным обобщением той формы, которую защищает Уильямсон (стр.22-23)

Если это верно, то повсеместное распространение классической логики в различных науках не обязательно является причиной для того, чтобы считать ее правильной. Теоремы повторного захвата могут объяснить, почему в некоторых конкретных областях, таких как математика, классическая логика может работать, в то время как общая логика для всей области объектов является подклассической. 8 Классическая логика необходима многим наукам; но аргументы Recapture можно использовать, чтобы показать, что даже в этом случае классическая логика не обязательно является правильной, но наиболее полезной в определенных областях.

Стоит отметить, однако, что статья Хьортланда не защищает конкретную неклассическую логику. Вместо этого Хьортланд утверждает, что абдуктивизм оставляет место для своего рода логического плюрализма, относящегося к языку, где (например) логика является классической для языка без предиката истины, но не является классической для языка с предикатом истины (стр. 23). Однако это не решает центрального вопроса: какая неклассическая логика характеризует предикат истинности? Недостаточно считать само собой разумеющимся, что есть один, без аргументов в пользу одного.Как я буду утверждать ниже, есть важная причина, по которой мы можем договориться о логике непроблематичной части языка, но мы не можем договориться о логике проблемной части. Это важно для современных логических исследований.

В этой статье я последую за Хьортландом, освобождая место для неклассической логики. Однако я не буду утверждать, что неклассическая логика находится в «абдуктивной» конкуренции с классической логикой. Более того, я не буду предполагать, что существует одна «лучшая» неклассическая логика, которая может работать как логика для всего языка или даже для предиката истинности.Идея о том, что должна существовать общая «теория достоверности», которая работает в каждом случае и должна выбираться по абдуктивным критериям, не представлена ​​реальной практикой.

Я буду возражать против абдуктивизма в целом: логическая практика — это не спор между логиками, который можно назвать «правильной логикой». Возможно, нет никакого факта, который мог бы определить, какая из них является лучшей теорией истины или лучшей логикой в ​​целом. Однако это не означает, что разработка альтернативных теорий — пустая трата времени.Логики борются не за корону; во многих случаях они исследуют новую территорию, что также является ценной задачей. Как только мы откажемся от абдуктивной картины, в которой неклассическая логика «конкурирует» с классической логикой, мы сможем лучше понять логическую практику, ее динамику и ее ценность.

3. Логическая методология решения головоломок

3.1. Две мотивации для неклассической логики

Подход в этой статье будет основан на практике (см. Мартин, 2020): основная цель моей модели — объяснить и осветить практику реальных логиков.По общему признанию, каждая модель имеет нормативный аспект, поэтому я не претендую на чисто описательный подход. Но я попытаюсь понять конкретные способы, которыми философы обычно участвуют в стратегиях так называемого логического пересмотра, и моя позиция будет основана на этих «социологических» доказательствах.

Как я буду утверждать, есть два разных вида деятельности философской и логической практики, которые обычно мотивируют неклассические точки зрения: изменение общих основ логики и решение конкретных головоломок.Иногда это различие зависит от степени, но я надеюсь, что это станет ясно на некоторых примерах.

Сторонники логического пересмотра использовали более фундаментальный — и революционный — путь. Например, интуиционизм включает в себя конструктивистскую точку зрения на математику и реальность, и предполагается, что он не решает конкретную проблему, а ставит логику и математику на более прочную основу. Согласно Брауэру (1908, стр. 107): «логические выводы, которые делаются независимо от восприятия, будучи математическими преобразованиями в математической системе, могут привести из научно принятых посылок к недопустимому выводу».Даммит (1978, с. 215) объясняет этот революционный подход, отделяя его от плюралистической («эклектической») точки зрения:

Таким образом, меня не интересуют оправдания интуиционистской математики с эклектической точки зрения, то есть с точки зрения, которая допускала бы интуиционистскую математику как законную и интересную форму математики наряду с классической математикой: меня интересует только точка зрения сами интуиционисты, а именно, что классическая математика использует формы рассуждений, которые не действительны ни при каких законных способах построения математических утверждений.

То же самое можно сказать и о соответствующей логике в начале. Соответствующие логики (в частности, Anderson & Belnap, 1962) подвергли критике классическое понятие логического следствия и разработали альтернативную концепцию, которая могла бы ответить на их опасения. Согласно Андерсону и Белнапу, классическая логика не смогла уловить обычное использование терминов «следствие» и «импликация» в естественном языке и математике. Они утверждают, что для следствия нужно нечто большее, чем просто сохранение истины, поскольку вывод должен быть соответствующим образом выведен из посылок (стр.31):

Конечно, мы можем сказать: «Предположим, что снег ярко-красный. Семь — простое число ». Но если мы скажем: «Предположим, что снег красноватый. Отсюда следует, что (или, следовательно, или поэтому, или может быть справедливо выведено, что) семь является простым числом », то мы просто сказали ложно.

В любом случае релевантная логика появилась не как логика решения головоломок, а как революционная точка зрения относительно умозаключений. 9 Норман и Сильван (1989, стр. 10) ясно говорят об этом предприятии:

Релевантизм отвергает классическую логику как неправильную и вместо нее принимает релевантную логику как основу теории правильного аргумента.Во многом релевантность подобна интуиционизму; он также антиклассичен, но основывает свою программу на релевантной, а не на интуиционистской логике. Подобно интуиционизму, релевантизм устанавливает существенную теоретическую программу: программу переработки логики и того, что от нее зависит, например, основ математики и естественных наук.

Однако эта революционная цель изменения основ логики не разделяется большинством исследователей. Как мы увидим, современные разработки, отстаивающие неклассическую логику, обычно можно отождествить с деятельностью по решению головоломок.Обычно они используют неклассическую логику для решения семантических парадоксов (Лжец, Карри, В-Карри и т. Д.) Или метафизических головоломок (Соритес и т. Д.). Однако эта неклассичность имеет некоторые пределы; как это неоднократно наблюдалось, в этих неклассических теориях часто используется классическая метатеория, и они не должны преобразовывать структуру обычных математических рассуждений. 10

Стандартное исследование в этой области может предложить неклассические решения (паранепротиворечивые, параполные, нечеткие, субструктурные и т. Д.)) к определенной головоломке, а затем показать с помощью классической логики, что эта неклассическая логика не приводит к новым парадоксам и является приблизительно консервативной по отношению к классическим принципам. Эти решения иногда связаны с новыми загадками, такими как парадоксы мести; и последующие исследования могут конкретно решить эти проблемы мести.

3.2. Существование методологии решения головоломок

Если приведенный выше анализ верен, то сравнение классической и неклассической логики не похоже на сравнение конкурирующих теорий в науке, по крайней мере, в этих сценариях решения головоломок.Абдуктивный метод просто не подходит для этой задачи. Во многих случаях мы не стремимся по-настоящему принять неклассическую логику в качестве общей теории рассуждений. Напротив, здесь работает методология решения головоломок. 11 Внутри этой методологии неклассические решения парадоксов поощряются и принимаются как теоретический вклад, но классическую логику нельзя заменить общей теорией рассуждений 12 и общим языком.

Решения головоломок обычно похожи друг на друга, поскольку обычно основываются на предыдущих результатах.Я заимствую понятие «образец» у Куна (1970): образцы — это конкретные решения проблем, которые исследователи берут в качестве модели для своей деятельности. Некоторые примеры логики — это обычные доказательства, которые вы можете найти в учебнике по промежуточной логике, такие как доказательство полноты Хенкина или результат исключения сечения; в конкретной области неклассических теорий истины очевидным примером является теорема Крипке о неподвижной точке. В большинстве логических исследований, будь то классическая или неклассическая логика, используются некоторые приемы примеров.И эти образцы всегда формулируются в классической логике. Это одна из причин, почему классическая логика в большинстве случаев не является обязательной.

Методология решения головоломок повторяется во многих частях неклассической логики. Методология позволяет использовать неклассические системы для решения парадоксов или логических головоломок, но метаязык должен оставаться классическим. Диапазон принятых решений — это классические или неклассические теории семантических и метафизических понятий, которые могут быть доказаны как непротиворечивые, полные или нетривиальные.И эти доказательства основаны на образцах. Методика не всегда может определить победителя, но она предусматривает некоторые правила допустимости различных решений.

Теперь мы можем изучить несколько примеров. Такие философы, как Крипке (1975), Билл (2009), Филд (2008) или Рипли (2012), могут проиллюстрировать умение решать головоломки многие современные логики. Они разработали теории, которые могли выражать прозрачное понятие истины, и доказали основные метатеоретические результаты классической логики.Вдобавок некоторые из них предоставили результаты Recapture, которые могут восстановить классические рассуждения математики внутри неклассической теории истины.

«Очерк теории истины» Крипке (1975), возможно, самая важная статья о неклассических решениях парадоксов, содержит теорию истины, основанную на Клини, и философское объяснение неопределенности, основанное на необоснованности. В теории Крипке предложения φ и T («φ») взаимозаменяемы. Это условие (позже известное как «Прозрачность» или «Взаимосвязанность») оставалось общим желанием для теорий истины.Эта статья также включает теорему о неподвижной точке, которая устанавливает нетривиальность теории истинности; после работы Крипке теоремы о неподвижной точке стали важным источником неклассических теорий истины.

Крипке также скептически относился к «логическому пересмотру» в целом. Его теория включала трехзначный подход к патологическим предложениям, но он не считал, что это в каком-либо смысле подразумевает «изменение логики». Крипке даже не был склонен принимать третье значение, кроме «истины» и «ложности», и не считал использование классической логики в метаязыке проблемой (стр.700-701):

Я был изумлен, услышав, что мое использование оценки Клини время от времени сравнивается с предложениями тех, кто выступает за отказ от стандартной логики «для квантовой механики» или постулирование дополнительных значений истинности за пределами истины и ложности и т. Д. (…) обращение с предложениями, которые не выражают суждений, не являются ни в каком философски значимом смысле «изменениями в логике». Термин «трехзначная логика», который здесь иногда используется, не должен вводить в заблуждение. Все наши соображения можно формализовать на классическом метаязыке.

Этот подход с прозрачностью, теоремами о фиксированной точке и классической метатеорией проложил путь для апостериорных исследований. Сам Крипке очень ясно понимает цели своего предложения; он предлагает не «правильную» теорию истины, а скорее набор концептуальных и технических инструментов для работы над этим вопросом (стр. 700):

Я не считаю какое-либо предложение, включая предложение, которое будет выдвинуто здесь, окончательным в том смысле, что оно дает интерпретацию обычного использования слова «истина» или решение семантических парадоксов.Напротив, в настоящий момент я не продумал тщательного философского обоснования этого предложения и не уверен в точных областях и ограничениях его применимости. Я действительно надеюсь, что данная модель имеет два достоинства: во-первых, она предоставляет область, богатую формальной структурой и математическими свойствами; во-вторых, что в разумной степени эти свойства улавливают важные интуиции. Таким образом, модель должна быть проверена на предмет ее технической пригодности.

История логики показала, что эта новая область действительно была «богата формальной структурой и математическими свойствами», и что «техническая плодотворность» подхода Крипке была замечательной.Большинство исследований неклассических теорий истины так или иначе основывались на работах Крипке. Приведу несколько примеров.

Филд (2008) представил теорию истины, основанную на параполной логике, но включающую также подходящие условные выражения, удовлетворяющие закону тождества (то есть φ → φ). Эти условные выражения представляют собой большую разницу с подходом Крипке. Его теория также удовлетворяет полной взаимозаменяемости, т.е. φ и T (⌜φ⌝) взаимозаменяемы. Центральный результат Филда (2008, гл.16) также является теоремой о неподвижной точке, развитой в классической логике. Как и Крипке, Филд (стр. 15) открыто заявляет о сохранении классической математики:

(…) мы должны серьезно подумать об ограничении классической логики, чтобы иметь дело со всеми этими парадоксами. В частности, мы должны серьезно подумать об ограничении закона исключенного третьего (хотя и не так, как предлагают интуиционисты). Я говорю «ограничение», а не «отказ», потому что существует широкий спектр обстоятельств, в которых классическая логика работает нормально.В самом деле, я считаю, что исключенное среднее является явно подозрительным только для определенных предложений, которые имеют своего рода «внутреннюю цикличность», потому что они содержат такие предикаты, как «истина»; и можно утверждать, что большинство предложений с этими предикатами удовлетворяют также и исключенному среднему.

В том же ключе Билл (2009) утверждает, что парадоксы — это «спандрели», то есть непреднамеренные последствия, вызванные прозрачной теорией истины. По его словам, фрагменты языка, не содержащие смысловых понятий, можно понять с помощью классической логики.Он разрабатывает паранепротиворечивую и прозрачную теорию истины с подходящей условностью. 13 Для фрагмента без условных выражений теория Билла аналогична теории Крипке, но делает обозначенным третье значение Клини (так что теория становится диалетеистской). Как и в подходе Филда, центральный результат Билла (2009, гл. 2) также является доказательством неподвижной точки, разработанным в классической логике. Билл также явно консервативен в отношении классической математики (стр. 112):

(…) нам не нужно — и я не хочу — рассматривать арифметику как нечто большее, чем классическое.Что важно помнить, так это то, что, по моему мнению, как и в других стандартных описаниях истины [прозрачной истины], мы можем наслаждаться совершенно классическим правильным фрагментом языка. (…) Ничто в моем изложении не исключает поддержки классических теорий, когда такие теории написаны на каком-то подходящем фрагменте языка.

Более того, в более поздних статьях Beall (2013a) исследовал различные методы восстановления классической валидности в параконсистентных условиях, такие как использование множественных выводов.

Наконец, Рипли (2012) представил теорию истины, в которой структурное правило Cut не работает. Семантика трехзначна: она имеет матрицу Стронга-Клини, а патологические предложения, такие как Лжец, имеют ценность. Модели теории основаны на подходе Крипке. Но Рипли модифицирует определение достоверности: в его теории ST аргумент действителен всякий раз, когда, если посылки имеют значение 1, заключение имеет значение 1 или (стр. 356). В отличие от других неклассических подходов, ST консервативен по отношению к классической логике (стр.359, следствие 3.7). Однако теория Рипли не сохраняет структурное правило Кат. В частности, где λ — предложение лжеца, λ ⊨ p и ⊨ λ, но ⊭ p.

Существует множество других современных подходов к парадоксам: трехзначные логики с матрицами Слабого Клини (Gupta & Martin, 1984), четырехзначные логики (Beall, 2019; Da Re, Pailos & Szmuc, 2018), нечеткие логики (Hjek , Paris & Shepherdson, 2000), пятизначные логики, включая «патологически истинные» и «патологически ложные» (Beall, 2014), несжимающие логики (Zardini, 2011), нерефлексивные логики (French, 2016) и т. Д.

Однако среди этого впечатляющего разнообразия есть общий узор. Эти философские логики решают конкретные проблемы, такие как парадокс лжеца, объясняют свои неклассические решения, используя классическую логику на метаязыке (обычно с помощью теоремы о фиксированной точке), показывают, почему классическая логика может поддерживаться в несемантических рассуждениях и предоставить дополнительные ответы на проблемы мести. Следовательно, современное логическое развитие не похоже на битву между конкурирующими гипотезами, а больше похоже на исследование неизвестной земли, где открытие новых точек зрения имеет внутреннюю ценность, при условии, что агенты следуют некоторым общим правилам.

3.3. Допустимость и прогресс

Теория логической практики, которую я представил, безусловно, очень открыта для неклассических вкладов. Однако я не хочу сказать, что любое неклассическое решение логических головоломок, которое удовлетворяет обычным требованиям приемлемости (нетривиальность и т. Д.), Одинаково хорошо. Если моя точка зрения верна, это может и будет решаться с учетом различных эпистемических ценностей. Некоторые решения могут быть внутренне непоследовательными или не предлагать ничего интересного или нового (с теоретической или технической точки зрения).

Тем не менее, неклассические логики часто очень плюрализируют в различных решениях парадоксов. Некоторые статьи не предполагают, что конкурирующие теории ошибочны; принято утверждать, что новая теория не хуже других. Например, Дж. К. Билл (2009, с. 94) так говорит о параполном положении Филда по сравнению с его собственной параконсистентной теорией:

В конце концов, вопрос состоит в том, как выбрать между двумя данными аккаунтами — моим аккаунтом и аккаунтом Филда.Краткий ответ, конечно же, заключается в том, что мы должны выбрать правильный аккаунт. Проблема, однако, в том, что, хотя я отвергаю предложение Филда и поддерживаю простой отчет, изложенный в этой книге, я оказываюсь в сомнительном положении, когда получаю удовольствие от очень небольшого количества резких возражений против позиции Филда. Поэтому я в конечном итоге — хотя и с искренним сожалением — оставляю этот вопрос открытым для будущих дебатов.

То же самое делают некоторые специалисты по субструктурной логике. Френч (2016, с. 127), например, отвергает структурное правило рефлексивности и объясняет ситуацию в следующих терминах:

Мы слишком долго считали структурную рефлексивность невинной.Более того, подобно тому, как другие авторы начали спорить о структурном сжатии и транзитивности, у нас всегда было достаточно причин с подозрением относиться к этому безобидному кажущемуся принципу, и поэтому неудивительно, что когда мы копаемся вокруг, можно предположить, что такой сомнительный персонаж в парадоксах самоотнесения.

Это еще раз показывает, что многие части неклассической логики должны предлагать не «лучшую теорию достоверности», а скорее оригинальное решение головоломки, которое можно принять как часть исследования, даже если нет убедительных причин для этого. думаю, что он строго лучше других предложений (достаточно показать, что он не хуже).

Принимая во внимание терпимый характер логического исследования, также важно понимать, что означает логический прогресс в данном контексте. На мой взгляд, прогресс не заключается в принятии конкретного решения головоломки; Если бы это было так, то прогресса почти не было бы. Скорее, он заключается в разработке более оригинальных или сложных инструментов и методов и в достижении договоренностей о том, как с ними работать. Например, после работы Крипке (1975) мы знаем, как доказать нетривиальность неклассической теории истины, используя метод неподвижной точки; Сам Крипке считал, что это главный вклад его теории, как мы обсуждали выше.Эта техника стала стандартной и также использовалась многими другими авторами, даже логиками, не разделяющими неполную точку зрения Крипке, такими как Beall (2009). Другими словами, Крипке не заставил сообщество согласиться с параполным решением, но он предложил новую технику, которую могли использовать разные неклассические логики. Это тот прогресс, которого мы обычно достигаем при разрешении семантических парадоксов.

Следовательно, даже если мы часто действуем так, как будто неклассическая логика пересматривает классическую логику, мы должны быть осторожны с этим.В большинстве случаев неклассическая логика может предоставить оригинальные или проясняющие решения некоторых важных головоломок. Более того, они заставляют нас больше и лучше думать о самых разных предметах (включая метафизику, семантику и лингвистику). Они вводят технические и концептуальные усовершенствования, а также новые методы доказательства, которые могут изменить (до определенной степени) нормальную деятельность ученых. Но неклассическая логика в применении к задачам по решению головоломок не должна заменять классическую логику как общий язык и как общую теорию рассуждений.

3.4. Гибридные перспективы

Большая часть работ по философской логике разрабатывается на классическом метаязыке, следуя соглашениям методологии решения головоломок. Однако некоторые авторы предложили неклассические альтернативы. Я попытаюсь проанализировать эти разработки с точки зрения моей теории логической практики.

Теории, такие как диалетеизм Приста (2006), находятся в более гибридном положении между революционными предложениями и предложениями по решению головоломок. Священник предлагает более общий взгляд на реальность, где «истинные противоречия» могут описывать не только смысловые, но и метафизические явления.Однако его общая теория не является исключением для методологии, которую я описал: Прист использует свою теорию для решения философских задач, он обращается к классической метатеории и особенно озабочен повторением математических рассуждений (2006, гл. 8). 14

Есть также некоторые неклассические теории логической достоверности. Например, Meadows (2014) предлагает паранепротиворечивую теорию, согласно которой предложения не могут быть ни действительными, ни недействительными. Однако я не думаю, что эти предложения выходят за рамки методологии, которую я описал здесь.Ведь даже несмотря на то, что концепция Действительности неклассическая, мета-метаязык остается классическим. Например, в теории Медоуза валидность можно охарактеризовать с помощью конструкции с фиксированной точкой, подобной Крипке. Это требует классической теории множеств. Эти конструкции на самом деле очень похожи на неклассические решения парадокса лжеца, которые теперь заменяют истину действительностью.

В аналогичном направлении Бэкон (2013) разработал «неклассическую метатеорию для неклассической логики». В этой статье Бэкон предлагает алгебраическую теорию валидности, в которой такие понятия, как валидность или доказуемость, могут иметь промежуточные значения.Ясно, что мета-логические понятия могут иметь интересные неклассические описания. Однако мы должны обсудить, как далеко они зашли. Как и в теории Медоуза, метамета-логика подхода Бэкона является классической (подробнее об этом см. Woods, 2019, стр. 7-8). Например, алгебраическая структура для характеристики действительности описывается с использованием классической логики. На мой взгляд, это может указывать на то, что этот конкретный подход также относится к классически обоснованной методологии решения головоломок.

Разработки Зака ​​Вебера и его коллег носят более революционный характер, поскольку в некоторых из них используется неклассическая мета-логика.Просто возьмем пример: Weber et al. (2016) развивают оригинальную теорию неклассических таблиц истинности, основанную на паранепротиворечивой теории множеств. Теория верна и ненадежна (стр. 10). Они также предоставляют (стр. 12) циклическое доказательство нетривиальности теории множеств, которое не похоже ни на одно другое каноническое доказательство нетривиальности:

Либо наивная теория множеств тривиальна, либо нет. Если нет, то все готово. Если это тривиально, то, поскольку само это доказательство находится в наивной теории множеств, отсюда следует, что система нетривиальна, поскольку, в конце концов, все следует из КЭД.

Некоторые из этих результатов и предложений могут быть революционными. В любом случае, всегда возможно развитие исключительных исследований, которые не следуют общепринятым правилам. Часто трудно предвидеть, как произведение может стать новым и революционным направлением в логических исследованиях. Я бы заметил, что эти чисто неклассические взгляды к настоящему времени являются миноритарными.

3.5. Другие отрасли неклассических исследований

В этой статье я сосредоточился на различных неклассических подходах, которые были предложены как решения некоторых конкретных проблем, таких как семантические парадоксы.Но, как мы знаем, развитие неклассической логики включает в себя гораздо больше. Например, неклассическая логика может использоваться для представления некоторых семантических или прагматических особенностей естественного языка. Они также полезны, если не необходимы, для стандартных философских рассуждений. Например, дискуссии о контрфактах или условных предложениях обычно включают (в широком смысле) неклассические подходы, такие как модальные или условные логики. Неклассическая логика также может быть полезна для понимания философских концепций, таких как «основание» или «предметность».

Невозможно перечислить все приложения неклассической логики к информатике, семантике, лингвистике и философским исследованиям в целом. Более того, некоторые логические исследования более оторваны от философских проблем: логики могут разработать полную и непротиворечивую аксиоматическую систему для неклассической логики, не имеющей четкого философского применения. Некоторые логические системы могут быть интересны по сути.

В этой статье я сосредоточился на логике решения парадоксов по понятной причине: эти подходы обычно формулируются как «соперники» классической логики.Попытка понять структуру сложной логической системы без четкого применения — это законная логическая деятельность; и использование неклассической логики в конкретных философских дебатах (например, для реконструкции «обосновывающих» утверждений) также полезно и целесообразно. Но эти направления исследования не должны бросать вызов классической логике как правильной теории логической достоверности. Они просто не отвечают на вопрос «какая логика правильная?». Я хотел здесь проанализировать, представляют ли логики, которые обычно предлагаются в качестве «соперников» классической логики, настоящий вызов для нее.Я утверждал, что иногда они есть (например, в случае интуиционизма), но в большинстве случаев и, что более очевидно, при обсуждении семантических парадоксов они предлагают решения некоторых логических головоломок в соответствии с четко установленными правилами. Это упражнение по решению головоломок, которое далеко не бросает вызов классической логике в ее центральной роли, обычно предполагает, что ее можно использовать как общий язык и как общую теорию рассуждений.

4. Заключение

В этой статье я приводил доводы в пользу версии логического антиисключительности, решающей головоломки.Это не должно описывать все аспекты логической деятельности, но это применимо к некоторым важным дискуссиям, таким как решения семантических парадоксов. На мой взгляд, в этих случаях философские логики работают с методологией решения головоломок. Эта методология позволяет и мотивирует развитие неклассической логики, но метаязык должен оставаться классическим. В большинстве случаев неклассическая логика дает решение конкретных головоломок; но было бы наивно рассматривать неклассические предложения как возможные замены классической логики как общего языка и общей теории рассуждений.С помощью инструментов, которые мы обычно используем, классическую логику невозможно заменить.

Авторы, которых я упомянул во втором разделе, были частично правы. Уильямсон был прав в отношении достоинств классической логики. Но люди выбирают эту теорию не из-за ее достоинств. Классическая логика — фундамент нашей методологии; мы выбираем классическую логику, как предпочитают петь оперные персонажи. Рассматривать классическую и неклассическую логику как просто конкурирующие гипотезы нереально. И Хьортланд был прав в отношении решения загадок: неклассические теории могут быть многообещающими в качестве теоретического вклада, как ясно показывает история логики.Но, учитывая правила общей методологии, большинство из них просто не в состоянии заменить классическую логику в ее центральной роли.

Чтобы внести ясность, я не хочу защищать статус-кво или утверждать, что классическая логика никогда не будет пересмотрена как основная часть логической практики в будущем. Это всегда возможно, но мы не можем точно увидеть, на что будет похожа эта редакция. Этот революционный вид пересмотра не возникнет из-за типичных головоломок, которые решают неклассические логики, таких как семантические парадоксы.

Наконец, мы можем вернуться к тому, с чего начали. Логика не исключительна: ее можно охарактеризовать с помощью научной методологии. Однако, по крайней мере, в некоторых важных философских дискуссиях, эта методология — не классическая теория проверки гипотез, а деятельность по решению головоломок. Следовательно, его ядро ​​можно пересмотреть, но без использования инструментов его нормальной деятельности. Пересмотр классической логики в ее фундаментальной роли возможен, но только как революция, а не как часть нашей обычной практики решения головоломок.

Список литературы

Андерсон А. и Белнап Н. Н. (1962). Чистое исчисление следствия. Журнал символической логики, 27 (1), 19-52.

Бэкон, А. (2013). Неклассическая метатеория неклассических логик. Журнал философской логики, 42 (2), 335-355.

Билл, Дж. К. (2009). Spandrels истины. Издательство Оксфордского университета.

Билл, Дж. К. (2013a). Простой подход к воссозданию непротиворечивых теорий в паранепротиворечивой обстановке. Обзор символической логики, 6 (4), 755-764.

Билл, Дж. К. (2013b). LP +, K3 +, FDE + и их «классический коллапс». Обзор символической логики, 6 (4), 742-754.

Билл, Дж. К. (2014). Правда, ложь и паранормальные явления. Анализ, 66 (2), 102-114.

Билл, Дж. К. (2019). FDE как единственная истинная логика. В Х. Омори и Х. Вансинг (ред.), Новые эссе по логике Белнапа-Данна. Synthese Library (Исследования в области эпистемологии, логики, методологии и философии науки) 418. Springer.

Билер, Г. (1998), Интуиция и автономия философии.В М. Депол и У. Рэмси (ред.), Переосмысление интуиции: психология интуиции и ее роль в философском исследовании (стр. 201–240). Роуман и Литтлфилд.

Богосян, П. А. (2000). Знание логики. В P. A. Boghossian & C. Peacocke (Eds.) New essays on a priori (стр. 229-254). Кларендон Пресс.

Брауэр, Л. Э. Дж. (1908). De onbetrouwbaarheid der logische Principes. Tijdschrift voor wijsbegeerte, 2: 152-158. Английский перевод в Brouwer, L.E.J. (1975), Собрание сочинений, Vol.1. (под ред. А. Гейтинга, стр. 107–111). Северная Голландия.

Да Ре, Б., Пайлос, Ф., & Шмуц, Д. (2018). Теории истины, основанные на четырехзначной инфекционной логике. Логический журнал IGPL, готовится к печати.

Даммет, М. (1978). Правда и другие загадки. Издательство Оксфордского университета.

Филд, Х. (2008). Спасение истины от парадокса. Издательство Оксфордского университета.

Французский Р. (2016). Структурная рефлексивность и парадоксы самоотнесения. Эрго, 3 (5), 113-131.

Гупта, А.И Мартин Р. (1984). Теорема о неподвижной точке для слабой схемы оценки Клини. Журнал философской логики, 13 (2), 131-135.

Хек, П., Пэрис, Дж. И Шепердсон, Дж. (2000). Парадокс лжеца и нечеткая логика. Журнал символической логики, 65 (1), 339-346.

Хьортланд О. (2017). Антиисключительность в отношении логики. Философские исследования, 174 (3), 631-658.

Крипке, С. (1975). Очерк теории истины. Журнал философии, 72 (19), 690-716.

Кун, Т.(1970). Структура научных революций (2-е изд., Доп.). Издательство Чикагского университета.

Мартин, Б. (2020). Выявление логических доказательств. Synthese, готовится к печати.

Мартин Б. и Хьортланд О. (2020). Логический предиктивизм. Журнал философской логики, готовится к печати.

Медоуз Т. (2014). Неподвижные точки для отношений следствия. Logique et Analyze, 57 (227), 333-357.

Норман Дж. И Сильван Р. (ред.) (1989). Направления в соответствующей логике.Kluwer Academic Publishers.

Пайетт, Г. и Вятт, Н. (2018). Как объяснить логику. Австралазийский журнал философии, 96 (1), 157-167.

Священник, Г. (2006). В противоречии (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета.

Священник, Г. (2014). Пересмотр логики. В P. Rush (Ed.), The Metaphysics of logic (pp. 211-223). Издательство Кембриджского университета.

Рипли Д. (2012). Консервативное расширение классической логики прозрачной истиной. Обзор символической логики, 5 (2), 354-378.

Вебер З., Бадиа Г. и Жирар П. (2016). Что такое несовместимая таблица истинности? Австралазийский журнал философии, 94 (3), 533-548.

Уильямсон, Т. (2003). Понимание и умозаключение. Дополнительный том Аристотелевского общества, 77 (1), 249-293.

Уильямсон, Т. (2017). Семантические парадоксы и абдуктивная методология. В Б. Армор-Гарб (Ред.), Размышления лжеца (стр. 325-346). Издательство Оксфордского университета.

Витгенштейн, Л. (1922). Логико-философский трактат (трад.К. К. Огден). Рутледж и Кеган Пол.

Вудс, Дж. (2019). Логическая партийность. Философские исследования, 176, 1203-1224. https://doi.org/10.1007/s11098-018-1054-2

Вуди, А. И. (2015). Переориентация дискуссий о научном объяснении: функциональная перспектива. Исследования по истории и философии науки Часть A, 52, 79-87.

Зардини, Э. (2011). Истина без противоречий. Обзор символической логики, 4 (4), 498-535.

Банкноты

1 Эта версия рационализма — не только эпистемология логики, но и общая метафилософия.Идея состоит в том, что мы узнаем философские концепции с помощью рациональной интуиции.

2 Семантический подход Богоссяна не рассматривается как метод поиска правильной логики, а скорее как способ оправдать наши самые основные логические убеждения. Уильямсон (2003) отмечает несовместимость этого подхода с общей дискуссией о справедливости некоторых логических выводов. 3 По этому поводу следует сделать два важных пояснения (Martin & Hjortland, 2020, стр. 4). Во-первых, они не верят, что предиктивизм является единственной методологией логики (хотя они и не развивают это подробнее).Во-вторых, такой взгляд на предсказание явно невременен. Предсказанные случаи — это просто случаи, которые явно не рассматривались при построении теории. 4 Методология функционального объяснения, которую используют Пайетт и Вятт, была описана Андреа Вуди (2015). Однако подробный анализ ее взглядов выходит за рамки данной статьи.

5 Как станет ясно позже, я не утверждаю, что логика всегда работает с этой динамикой решения головоломок. В логике есть определенная степень методологического плюрализма, как и в науке.

6 Точнее, Уильямсон (стр. 329) вводит универсальную функцию обобщения UG, которая может применяться к любому предложению первого порядка для получения обобщения (в первом или втором порядке). Например, UG (a = a) = ∀x (x = x). Для предложений с предикатами UG дает обобщение второго порядка: UG (Fa ∨ Fa) = ∀F∀x (Fx ∨ Fx) 7 Еще одна причина, по которой Уильямсон упоминает (стр. 340), заключается в том, что принципы истинности не имеют особого значения в науке, в отличие от логических принципов, которые повсеместно распространены и необходимы для научного мышления.8 Результат повторного захвата для неклассической логики NCL показывает, что если Γ влечет φ в классической логике, Γ ∪ ∆ влечет φ в NCL. Например, в случае пропозиционального K3, Δ может включать p ∨ p для каждой пропозициональной буквы p в посылке или заключении (Beall, 2013b). Существует определенное количество дискуссий относительно других концепций Recapture, которые могут применяться к паранепротиворечивой логике (в частности, к таким системам, как LP, где вы не можете выразить тот факт, что предложение обязательно непротиворечиво).

По общему признанию, некоторые соответствующие логики упоминали серию загадок (например, Позитивный парадокс), но основная цель соответствующей логики заключалась не в решении этих загадок, а в использовании их как симптомов более глубоких опасений относительно логического следствия.

10 Стоит отметить, что статья Уильямсона (2017) о абдуктивной методологии сосредоточена на этом логическом ревизионизме, решающем головоломки, как следует из названия: «Семантические парадоксы и абдуктивная методология». 11 Эта идея, очевидно, вдохновлена ​​известной теорией научных парадигм Куна (1970).Однако, как заметил анонимный рецензент, теория Куна очень сложна (включая, например, утверждения о несоизмеримости), и я бы не стал утверждать, что она полностью применима к логическим исследованиям. Поэтому я не могу сказать, что логика имеет куновскую методологию. В лучшем случае у него есть методология, во многих аспектах напоминающая теорию Куна.

12 Здесь «рассуждение» относится к определенной деятельности: формально показывает, как некоторые посылки подразумевают заключение. Я не говорю о психологии рассуждений, которая во многом отделена от логики.

13 Прозрачность истины — это главное техническое различие между подходами Приста (2006 г.) и Билл (2009 г.). Согласно Присту, истина непрозрачна, поскольку из φ не следует T (⌜φ⌝).

14 В недавней статье Мартин (2020) использует случай диалетеизма Приста, чтобы аргументировать свою позицию абдуктивизма в отношении логики в целом. Согласно анализу Мартина, Прист (2006) утверждает, что диалетеизм может разрешить парадокс Лжеца и Рассела; но он также имеет независимую мотивацию для принятия противоречий, он дает единое объяснение различных явлений (включая некоторые метафизические загадки) и может восстановить некоторые элементы интуитивного математического мышления, такие как теория нефных множеств.Я думаю, однако, что Прист представляет собой один из способов теоретизирования, сосредоточенный на предоставлении объединяющих объяснений различных явлений. Но, как я утверждал выше, защита всеобъемлющей и объединяющей философской точки зрения не является существенной чертой неклассических подходов.

ОСНОВНАЯ ПРОБЛЕМА ЛОГИКИ на JSTOR

Абстрактный

Построение систематической философской основы логики — общеизвестно трудная проблема. В Части первой я предполагаю, что проблема в значительной степени методологическая и связана с общефилософской концепцией «обеспечения основы».Я предлагаю альтернативу общей методологии, которая сочетает сильное фундаментальное требование (достоверное обоснование) с использованием нетрадиционных целостных инструментов для достижения этого результата. Во второй части я очерчиваю основу логики, используя новую методологию. План основан на исследовании того, почему логика требует достоверного обоснования, т. Е. Оправдания, которое затрагивает мир, а не только разум, и на каких особенностях или аспектах мировой логики основывается.Логика, как показывает исследование, основывается на формальном аспекте реальности, и план предлагает описание этого аспекта, то, как он ограничивает и делает возможными логику (порождает логические истины и следствия), роль логики в нашей общей системе. знания, отношения между логикой и математикой, нормативность логики, характерные черты логики, а также ошибки и пересмотр в логике.

Информация о журнале

Бюллетень символической логики был основан в 1995 г. Ассоциация символической логики (ASL), обеспечивающая журнал высоких стандартов это было бы доступно и интересно как можно более широкой аудитории.Его заявленная цель — быстро информировать логическое сообщество о важных разработки по всем направлениям дисциплины. Бюллетень символической логики в основном публикует два типа статей: статьи и сообщения. В статьях представлены темы широкого интерес, который должен быть доступен большой аудитории. Они могут быть чисто разъяснительные, обзорные или исторические статьи, или они могут дополнительно содержать новые идеи или результаты или новые подходы к старым. Сообщения — это объявления важных новых результатов и идей.Ожидается, что они будут включать описание новой работы, а также достаточно истории, предыстории и объяснений для сделать значимость произведения очевидной для широкой аудитории. Статьи в Бюллетене могут касаться любого аспекта логики, включая математическую или философскую логику, логику в информатике или лингвистика, история или философия логики, или приложения логики в другие поля.

Информация об издателе

Ассоциация символической логики — международная организация, поддерживающая исследования и критические исследования в логике.Его основная функция — обеспечить эффективный форум для презентации, публикации и критического обсуждения научная работа в этой области исследования. Среди множества направлений своей деятельности Ассоциация организует и спонсирует встречи и летние школы по всему миру, а также издает книги и журналы. Логика — древняя дисциплина, которая претерпела поразительное современное развитие. путем введения строгих формальных методов, стимулируемых в основном фундаментальными задачи по математике.«Символическая логика» — это термин, охватывающий вся область логических исследований, предпринятая в этом современном духе. Ассоциация была основана в 1936 году, в то время, когда большие успехи в логике начали производиться. Его первыми членами были в основном математики и философы, которые понимали общую почву и стремились ее укрепить. Недавний исследования в других областях, таких как информатика, лингвистика и когнитивные наука также была вдохновлена ​​логикой, и текущее членство и деятельность Ассоциации отражает такие расширяющиеся интересы.

логических парадоксов | Интернет-энциклопедия философии

Парадокс — это обычно загадочный вывод, к которому мы, кажется, привели наши рассуждения, но, тем не менее, он в высшей степени противоречит здравому смыслу. Среди них есть множество парадоксов логического характера, которые дразнили даже профессиональных логиков, в некоторых случаях на протяжении нескольких тысячелетий. Но то, что сейчас иногда называют «логическими парадоксами», представляет собой гораздо менее разнородную совокупность: они представляют собой группу антиномий, сосредоточенных на понятии самоотнесения , некоторые из которых были известны в классические времена, но большинство из них стали особенно заметно в первые десятилетия прошлого века.Куайн выделял среди парадоксов такие антиномии. Он сделал это, сначала выделив «правдоподобные» и «фальсифицированные» парадоксы, которые, хотя и были загадочными загадками, после некоторой проверки оказались либо либо истинными, либо ложными. Вдобавок, однако, были парадоксы, которые «создают внутреннее противоречие общепринятыми способами рассуждения» и которые, как думал Куайн, установили, «что некий неявный и надежный образец рассуждения должен быть явным, и, следовательно, его следует избегать или пересматривать. ” Сначала мы рассмотрим, более широко и с исторической точки зрения, несколько основных загадок логического характера, которые оказались трудными, некоторые со времен античности, а затем сконцентрируемся на более недавних проблемах с парадоксами самоотнесения.Все они будут называться «логическими парадоксами».

Содержание

  1. Классические логические парадоксы
  2. Переход к современности
  3. Некоторые недавние логические парадоксы
  4. Парадоксы саморекламы
  5. Современный поворот
  6. Ссылки и дополнительная литература

1. Классические логические парадоксы

Четыре главных парадокса, приписываемых Евбулиду, жившему в четвертом веке до нашей эры, — это «Лжец», «Человек в капюшоне», «Куча» и «Рогатый человек» (сравните Kneale and Kneale 1962, p114).

«Рогатый мужчина» — это версия «Когда ты перестал бить свою жену?» головоломка. Это непростой вопрос, и на него требуется тщательно сформулированный ответ, чтобы избежать неизбежного возвращения к «Я не слышал». Как можно понять это отрицание, когда говорят, что вы продолжаете бить свою жену, или что когда-то вы это делали, но больше не делаете, или что вы никогда не били и никогда не будете? Вопрос в том, что в данном случае означает «не» или отрицание. Если «прекратил бить» означает «бить раньше, но больше не бить», то «бить не прекратил» охватывает как «бить ранее не били», так и «бить продолжает».И в таком случае «нет» — вполне правильный ответ на вопрос, действительно ли ты не бил свою жену. Тем не менее, вашей аудитории, возможно, все равно придется медленно проходить через альтернативы, прежде чем они это ясно увидят. То же самое и с Рогатым мужчиной, который возникает, если кто-то хочет сказать, например, «то, что вы не потеряли, у вас все еще есть». В этом случае им, возможно, придется принять нежелательный вывод «У меня все еще есть рога», если они признают «Я не потерял ни одного рога». Здесь, если «потерянный» означает «имел, но еще не имел», тогда «не потерян» будет охватывать альтернативу «изначально не было», а также «все еще есть» — и в этом случае то, что у вас нет. потерянный вам не обязательно еще есть.

Куча в настоящее время обычно называется парадоксом Сорита и касается возможности того, что граница между предикатом и его отрицанием не нуждается в точной прорисовке. Мы все сказали бы, что человек без волос на голове был лысым, а человек с, скажем, 10 000 волос на голове был волосатым, то есть не лысым, но как насчет человека с только 1 000 волос на голове? которые, скажем, распределены равномерно? Не совсем понятно, что мы должны сказать, хотя, возможно, некоторые все же захотят сказать положительно «лысый», а другие — «не лысый».Научный подход к этой проблеме в последние годы был очень обширным, причем «ленивое решение» ни в коем случае не было единственным предпочтительным вариантом. Ленивое решение гласит, что любая неуверенность в том, что сказать, является просто вопросом того, что мы еще не решили или даже не приняли решение о «уточнении» концепции облысения. Есть возражения против этого «эпистемического» подхода к делу, некоторые из которых предпочли бы думать, например (см., Например, Sainsbury 1995), что в облысении было что-то по существу «нечеткое», так что это «расплывчатый предикат». »По природе вещей, а не просто из-за недостатка усилий или необходимости.(О последних работах в этой области см., Например, Williamson 1994 и Keefe 2001).

«Человек в капюшоне» связан с концепцией знания, и в других версиях он снова стал предметом многочисленных исследований в последние годы, как мы увидим далее. В исходной версии проблема такова: может быть, вы готовы сказать, что знаете своего брата, но наверняка может войти кто-то, который на самом деле был вашим братом, но с покрытой головой, так что вы не знали, кто это был . Один из аспектов этого парадокса состоит в том, что глагол «знать» неоднозначен и фактически переводится двумя отдельными терминами на несколько других языков, кроме английского — например, во французском есть «connâitre» и «savoir».Другими словами, это чувство «быть знакомым» и чувство «знать факт о чем-то». Возможно, эти два чувства взаимосвязаны, но различение их дает один выход из Человека в капюшоне. Ибо мы можем отличить знакомство с вашим братом от знания того, что кто-то является вашим братом. Хотя вы этого не знаете, вы наверняка знакомы с этим человеком в капюшоне, поскольку он ваш брат, и вы знакомы со своим братом. Но это не означает, что вы знаете, что человек в капюшоне — ваш брат, на самом деле, очевидно, что вы этого не знаете.В этом случае мы могли бы также сказать, что вы не узнали своего брата, поскольку понятие узнавания близко к понятию знания. И это указывает на другой аспект проблемы и еще один способ разрешения парадокса — вдобавок показывая, что не обязательно должно быть одно решение или выход. Таким образом, вы вполне можете узнать своего брата, но для этого не обязательно, чтобы вы всегда это делали, это просто означает, что вы можете добиться большего успеха, чем те люди, которые не могут этого сделать. Если мы перефразируем этот случай: «вы можете узнать своего брата, но вы не узнали его, когда он был покрыт головой», то в действительности парадокса нет.

Последним из упомянутых выше парадоксов Евбулида был «Лжец», который, возможно, является самым известным парадоксом в семье «самоотнесения». Основная идея имела несколько вариаций еще в древности. Был, например, «Крит», где критянин Эпименид говорит, что все критяне лжецы, и «Крокодил», где крокодил украл чей-то ребенок, и говорит ему: «Я верну ее тебе, если ты правильно угадаешь, верно ли. Сделаю или нет », на что отец говорит:« Ты не вернешь моего ребенка »! На самом деле, как мы увидим, в «Лжеце» было создано множество усложнений, особенно в прошлом веке.В «Критском» нет настоящей антиномии — может быть просто неверно, что все критяне лжецы; но если кто-то просто говорит: «Я лгу», ситуация иная. Ибо, если это правда, что он лжет, то, по-видимому, то, что он говорит, ложно; но если то, что он лжет, ложно, то то, что он говорит, может показаться правдой. Педант может сказать, что «ложь» — это строго не неправда, а просто то, что человек считает неправдой. В этом случае нет такой же трудности с тем, чтобы замечание человека было правдой: возможно, он действительно лжет, хотя и не верит в это.Педант, однако, упускает из виду то, что его словесную тонкость можно обойти, а парадокс реконструировать в другой, даже во многих других формах. Позже мы рассмотрим парадокс более подробно в некоторых его более сложных версиях.

Однако, прежде чем оставить древних, мы можем взглянуть на парадоксы Зенона, которые не только имеют логический интерес сами по себе, но также имеют очень близкое отношение к некоторым парадоксам, появившимся позже, связанным с бесконечностью и бесконечно малыми величинами.Парадоксы Зенона в первую очередь касаются возможности движения, но в более общем плане они касаются возможности определения единиц или атомных частей, из которых можно считать либо пространство, либо время, либо вообще любой континуум.

Ведь, как утверждал Зенон (см., Например, Owen 1957 и Salmon 1970), если бы такие единицы были, то они либо имели бы размер, либо не имели бы размера. Но если бы у них был размер, у нас был бы парадокс Стадиона, а если бы у них не было размера, у нас был бы парадокс Стрелы.Таким образом, если бегуны A и B приближаются друг к другу с единичной скоростью, то, предположив, что единицы имеют конечный размер, через одну единицу времени каждый из них переместится на одну единицу пространства относительно стадиона. Но они переместят две пространственные единицы относительно друг друга, что означает, что между ними была единица времени, когда они были всего на одну пространственную единицу друг от друга. Значит, единица времени в конце концов должна делиться. С другой стороны, если единицы деления не имеют размера, тогда в любой момент времени стрела в полете должна занимать пространство, равное самой себе, потому что за это время она не может двигаться.Но если это так, то он неподвижен, и стрелка никогда не движется.

Это, казалось бы, означает, что пространство и время разделены без ограничений. Но Зенон утверждал, что если бы пространство и время были безгранично разделены сами по себе, то мы получили бы парадокс Ахилла и Черепахи. Бегун, прежде чем он дойдет до конца забега, должен будет добраться до промежуточной точки, но затем и до промежуточной точки за ней, то есть до трех четвертей пути и так далее. Не было бы предела последовательности точек, до которых ему нужно было добраться, и поэтому всегда было бы еще немного, и он никогда не смог бы добраться до конца.Точно так же и в соревновательной гонке, даже, скажем, между суперскоростным Ахиллесом и черепахой: Ахиллес не сможет догнать черепаху, пока черепаха будет стартовать. Ведь Ахилл должен сначала добраться до исходного положения черепахи, но к тому времени черепаха будет, пусть и частично, дальше. Теперь Ахилл должен всегда достигать прежнего положения черепахи, прежде чем догнать ее. Следовательно, он никогда не догоняет это.

У Аристотеля был способ разрешить парадоксы Зенона, который до недавнего времени убеждал большинство людей.Разрешение парадоксов Зенона Аристотелем включало различение между пространством и временем, которые сами по себе разделены на части без ограничений, и просто делятся (например, нами самими) без ограничений. Аристотель считал, что никакая непрерывная величина на самом деле не состоит из частей, поскольку, хотя она может делиться на части без ограничений, континуум дается до любого такого результирующего деления на части. В частности, Аристотель отрицал, что могут быть какие-либо нескончаемые части, и поэтому его часто называют «финитистом»: нескончаемые «части» не могут быть частями пространства или времени, думал он, поскольку никакая величина не может быть составлена ​​из того, что не имеет расширения.Позже эта точка зрения подверглась сомнению, поскольку она означает, что стрела может находиться «в покое» только в том случае, если она находится в одном и том же месте в два разных момента времени — для Аристотеля и покой, и движение могут быть определены только в течение конечного приращения времени. Но позже было принято понятие мгновенной скорости, в том числе и в случае, когда скорость равна нулю.

Загадка о не конечных частях может напоминать один из вопросов, которыми занимались многие схоластические богословы в средние века: сколько ангелов может сидеть на булавке? И, возможно, не случайно, что теоретик, давший полученный в настоящее время ответ на общий вопрос о том, сколько вещей без какого-либо расширения составляют единое целое, имеющее такое расширение, был горячо верующим в Бога.Конечно, финитизм Аристотеля оставался в целом убедительным только в конце девятнадцатого века, когда рассматриваемый теоретик Кантор определил количество нескончаемых точек в континууме к удовлетворению большинства ученых людей.

2. Переход к современности

Между классическими временами Аристотеля и концом девятнадцатого века, когда работал Кантор, был период в средние века, когда парадоксы логического типа интенсивно рассматривались. Это было в четырнадцатом веке.Известными людьми были Павел Венецианский, живший в конце того века, и Иоанн Буридан, родившийся незадолго до него. Каждый из этих авторов, несомненно, будет служить образцом осторожности и ясности, которые необходимы для того, чтобы избавиться от вышеупомянутых трудностей, связанных с проблемными предложениями. В качестве иллюстрации Буридан обсуждает «Никакие изменения не происходят мгновенно» следующим образом (Скотт 1966, стр. 178):

Я доказываю это, потому что каждое изменение происходит либо в неделимый момент, либо в делимое время.Но ничто не существует в неделимом мгновении, поскольку неделимое мгновение не может быть дано во времени, как всегда предполагается. Следовательно, каждое изменение происходит в делимом времени, и каждое такое изменение следует называть временным, а не мгновенным.

Утверждается обратное, потому что, по крайней мере, создание нашей интеллектуальной души происходит мгновенно. Поскольку он неделим, он должен быть сделан сразу целиком, а не одну часть за другой. И такое творение мы называем мгновенным. Следовательно.

Буридан также обсуждает «Вы знаете приближающегося», что напоминает «Человека в капюшоне» Евбулида (Скотт, 1966, стр. 178):

Я утверждаю, что вы видите своего отца, идущего издалека, таким образом, что вы не различаете, ваш ли это отец или кто-то другой.Тогда это доказано, потому что вы действительно знаете своего отца, и он приближается; следовательно, вы знаете приближающегося. Точно так же вы знаете того, кто известен вам, но приближающийся известен вам; следовательно, вы знаете приближающегося. Я доказываю, что несовершеннолетний, потому что твой отец известен тебе, и твой отец приближается; следовательно, приближающийся известен вам.

Утверждается обратное, потому что вы не знаете его, и если вас спросят, кто он такой, вы ответите правдиво: «Я не знаю.Но о приближающемся скажи следующее; отсюда и т. д.

Эти два случая являются «софизмами» в книге Буридана о таковых, Sophismata, и среди них, в главе 8, находятся «неразрешимые», которые предполагают некоторую форму самоотнесения. Вообще говоря, Буридан проводил различие, подобное упомянутому ранее, между общими парадоксами логической природы и «логическими парадоксами». Так, в своей главе 8 Буридан обсуждает парадокс лжецов Евбулида в нескольких формах, например, как он возникает со словами «Каждое предложение ложно» в следующих обстоятельствах (Scott 1966, p191): «Я утверждаю, что все истинные утверждения должны быть уничтожены. и остаются ложные.И тогда Сократ произносит только это предложение: «Каждое предложение ложно».

Расширенное обсуждение таких случаев может показаться несколько академическим, но между периодом Буридана и более поздним временем одна заметная фигура начала выявлять нечто более важное, чем эти вопросы. Действительно, в общем, софизмы о природе изменения и непрерывности, о знании и его объектах, а также о понятии самоотнесения, среди многих других, привлекли большое профессиональное внимание, как только их значимость была осознана. , при этом методы анализа, основанные на разработках формальной логики и лингвистических исследований, добавляются к тщательному и ясному выражению, а способы аргументации используются у лучших писателей прежде.Темпы изменений начали ускоряться в конце девятнадцатого века, но один из более ранних мыслителей, который также будет упомянут здесь, — это епископ Беркли, действовавший в начале восемнадцатого века. Историю этого периода в связи с вопросами, которые касались Беркли, см., Например, в Grattan-Guinness 1980. Беркли спорил с Ньютоном об основах исчисления; он, среди прочего, скептически относился к возможности мгновенных скоростей.

Напомним, что при вычислении производной учитывается следующая дробь:

f (x + δx) — f (x) / δx,

, где δx — очень малая величина.В простейшем случае, когда f (x) = x 2 , например, мы получаем

(x + δx) 2 — x 2 / δx,

, и сначала вычисляется

2xδx + δx 2 / δx,

, а затем равным 2x + δx, причем δx впоследствии устанавливается равным нулю, чтобы получить точную производную 2x. Беркли возражал, что только если δx было , а не , ноль можно было сначала разделить на него, и поэтому один не был в положении, с результат этой операции, чтобы затем взять δx равным нулю.Если принять δx равным нулю, то расчет Ньютона, казалось, потребовал невозможного представления о мгновенной скорости, которое, конечно, Аристотель отрицал в связи с его анализом парадоксов Зенона. Связь между производной и движением, инициированная использованием Ньютоном термина «флюксия», была в значительной степени ограничена Англией, а на континенте одновременное развитие Лейбница математического анализа имело большее значение. И это включало идею, что приращение δx было никогда не равнялся нулю, а просто оставался все еще конечным «бесконечно малым».”

Один из способов выразить финитизм Аристотеля состоит в том, чтобы сказать, что он верил, что бесконечности, такие как возможные последовательные деления линии, были только «потенциальными», а не «фактическими» — фактическое бесконечное деление закончилось бы неэкстенсиональным, и так что не конечные точки. У Лейбница, однако, не было проблем с понятием фактического бесконечного деления линии — или с идеей, что результатом может быть конечная величина. Однако, хотя Лейбниц ввел конечные бесконечно малые величины вместо флюксий, эта идея также была подвергнута сомнению как недостаточно строгая, и обе идеи потеряли почву для определения производных в терминах пределов Коши и Вейерштрасса в девятнадцатом веке.Понятие Лейбница конечных бесконечно малых чисел фактически получило более строгое определение с того времени Абрахамом Робинсоном и другими сторонниками «нестандартного анализа», но Кантор работал с теорией действительных чисел прошлого века. , прежде чем он пришел к формулированию своей теории бесконечных чисел . Лейбниц не счел бы слишком разумным спрашивать, сколько из его бесконечно малых величин составляют линию, но Кантор дал гораздо более точный ответ: «бесконечно много».”

Необходимо получить некоторое представление о теории действительных чисел, прежде чем мы сможем понять следующие логические парадоксы, возникшие в этой традиции: парадокс Рассела, парадокс Бурали-Форти, парадокс Кантора и парадокс Сколема. Мы рассмотрим их в следующем разделе, который затем познакомит нас с разработками двадцатого века в области самоотнесения. Но прежде всего следует упомянуть, как недавние обсуждения знания и его объектов, например, стали очень профессиональными, поскольку развернутое обсуждение вопросов, связанных с «Человеком в капюшоне» Евбулида, было столь же доминирующим в этот период.

Напомним, что эти вопросы были сосредоточены на проблеме непризнания, и с конца девятнадцатого века, по-разному, двум центральным случаям этого уделялось пристальное внимание. Также было продолжено множество других соответствующих дискуссий, но эти два случая, возможно, являются наиболее важными с исторической точки зрения (см., Например, Linsky 1967). Прежде всего следует упомянуть об интересе Фреге к трудностям сделать вывод, что кто-то верит во что-то о Вечерней звезде, если они верят в то, что касается Утренней звезды.На самом деле, как мы теперь понимаем, Утренняя звезда — это то же самое, что и Вечерняя звезда, но это не всегда распознавалось, и, действительно, теперь стало понятно, что даже термин «звезда» является неправильным, поскольку оба объекта являются планетой Венера. Тем не менее, можно подумать, что кто-то, не знающий астрономической идентичности, мог бы согласиться с тем, что «Вечерняя звезда находится в небе», но отвергнуть «Утренняя звезда в небе». Куайн привел еще один очень обсуждаемый случай подобного рода, касающийся Бернарда Дж. Орткатта, респектабельного человека с седыми волосами, которого однажды видели на пляже.В одном месте его считали не шпионом, а в другом -, можно сказать, шпионом; но разве так следует описывать ситуацию? Может быть, тот, кто не узнает его, может иметь представления о человеке на пляже, не имея при этом этих представлений о респектабельном человеке с седыми волосами или даже о Бернарде Дж. Орткатте. Конечно, так считал Куайн, что не только само по себе вызвало крупномасштабные споры; это также привело или было частью более широких дискуссий об идентичности в подобных, но неличностных интенсиональных понятиях, таких как модальность.Таким образом, как указал Куайн, казалось бы, необязательно, чтобы число планет было больше 4, хотя необходимо, чтобы 9 было больше 4, а 9 — это число планет. Раздел формальной логики, Интенсиональная логика, был разработан для более точного анализа подобных проблем.

3. Некоторые недавние логические парадоксы

Это были разработки в других областях математики, которые были неотъемлемой частью открытия следующих логических парадоксов, которые необходимо было рассмотреть.Это были разработки в теории действительных чисел, как упоминалось ранее, а также в теории множеств и арифметике. В настоящее время считается, что арифметика имеет дело с «счетным» числом объектов — натуральными числами — в то время как действительные числа «несчетные». Теперь можно подумать, что множества бесконечных размеров могут быть сформированы, что является основой, на которой Кантор должен был дать свой точный ответ «два алефу ноль» на вопрос о том, сколько точек находится на прямой.

Традиция до середины девятнадцатого века не рассматривала эти вопросы таким образом.Ведь натуральные числа возникают в связи со счетом, например, счетом коров в поле. Если в поле несколько коров, значит, их будет набор: наборы — это совокупности таких особей. Но с говядиной в поле мы обычно не говорим такими терминами: «говядина» — это неисчисляемое существительное, а не счетное существительное, и поэтому оно не выделяет вещи, а просто называет некоторые вещи, и, как следствие, число может быть ассоциированным с говядиной в поле только с некоторой произвольной единицей, такой как фунт или килограмм.Когда есть только некоторая F, тогда нет числа F, хотя может быть некоторое количество, скажем, частей F. То же самое и с континуумами, такими как пространство и время, которые мы можем разделить на ярды или секунды. , или даже любая конечная величина, и это, возможно, главный факт, который поддерживает точку зрения Аристотеля о том, что любое деление такого континуума является просто потенциальным, а не действительным, и неизбежно конечным как в используемой единице, так и в количестве их в целом.

Но континуумы, начиная с Кантора и далее, рассматривались как состоящие из нескончаемых индивидов.И не только это изменение. Ибо также количество особей в некотором наборе индивидуумов — будь то коровы или нефинитные элементы в говядине — было сочтено, возможно, не конечным, и тогда целое, содержащее этих индивидуумов, все еще оставалось доступным: бесконечное множество из них . Теперь у нас обычно есть идея, что могут быть бесконечные множества сначала конечных сущностей, которые затем будут «счетными» или «счетными», но также будут существовать множества нескончаемых, бесконечно малых сущностей, которые будут «несчетными», или «неисчислимые.”

Важно понимать, какое влияние эти новые идеи оказали на поколение математиков и логиков конца девятнадцатого века, поскольку в результате такого рода изменений стало казаться, что все в математике можно объяснить в терминах. наборов: Теория множеств выглядела так, как будто она станет всей основой математики. Только оценив это ожидание, которое всегда было у авангарда теоретиков, можно осознать очень серьезный толчок для этого общества, который произошел с открытием Парадокса Рассела и нескольких других, примерно в то же время, на рубеже веков. .Ибо парадокс Рассела показал, что не все может быть набором.

Если мы напишем «x is F» как «Fx» — что стало обычным явлением в тот же период — тогда набор F будет записан как

{x | Fx},

и сказать, что a — это F, то есть Fa, тогда, казалось бы, означало бы сказать, что a принадлежит этому набору, то есть

a ∈ {x | Fx},

, где символ «∈» означает «является членом».

Поэтому кажется правдоподобным сформулировать это как общий принцип,

для всех y: y ∈ {x | Fx} тогда и только тогда, когда Fy,

, который символизируется в современной логике,

(y) (y ∈ {x | Fx} тогда и только тогда, когда Fy).

Но если результат верен для всех предикатов «F», то мы могли бы сказать, что для любого «F»

существует z такое, что: (y) (y ∈ z тогда и только тогда, когда Fy),

, который сейчас оформлен

(∃> z) (y) (y ∈ z тогда и только тогда, когда Fy).

В основах арифметики, которые Фреге описал в своих основных логических работах Begriffsschrift, и Grundgesetze , этот принцип является главной аксиомой (Kneale and Kneale 1962, Ch 8), но Рассел обнаружил, что это было логически невозможно, поскольку если бы кто-нибудь принимает за «Fy» конкретный предикат «y не принадлежит y», то есть «¬ y ∈ y», тогда требуется

(∃> z) (y) (y ∈ z, если ¬ y ∈ y),

, откуда, учитывая указанные выше значения «(∃> z)» и «(y)», мы получаем противоречие.

z ∈ z тогда и только тогда, когда ¬ z ∈ z,

, то есть z, является членом самого себя тогда и только тогда, когда он не является членом самого себя.В результате этого парадокса, который обнаружил Рассел, теория множеств была значительно изменена, и на аксиому Фреге были наложены ограничения, так что, например, она либо определяла просто подмножества известных множеств (теория Цермело), ​​либо позволяла различать множества из других сущностей — обычно называемые «собственными классами» (теория фон Неймана). В последнем случае те вещи, которые не являются членами сами по себе, образуют надлежащий класс, но не набор, и соответствующие классы не могут быть членами чего-либо.

Но были и другие причины, по которым после открытия парадоксов Бурали-Форти и Кантора стало понятно, что множества не всегда могут быть сформированы.Парадокс Бурали-Форти касается определенных множеств, называемых «ординалами», из-за их связи с ординалами обычного языка, то есть «первым», «вторым», «третьим» и т. Д. Множества, которые являются ординалами, упорядочены так, что каждый один является членом всех следующих, и поэтому, без ограничений для наборов, которые могут быть сформированы, казалось возможным доказать, что любая последовательность таких ординалов сама будет членами следующего ординала, который должен быть отличается от каждого из них.Проблема возникла при рассмотрении совокупности всех ординалов, поскольку это означало бы, что должен существовать другой отдельный ординал, не входящий в эту совокупность, и все же предполагалось, что это совокупность всех ординалов. Очень похожее противоречие возникает в парадоксе Кантора.

Действительно, для конечных множеств конечных объектов легко доказать теорему Кантора, а именно, что количество членов множества строго меньше количества его подмножеств. Если один формирует набор подмножеств данного набора, тогда он производит «набор мощности» исходного набора, поэтому другой способ сформулировать теорему Кантора — сказать, что количество членов набора строго меньше, чем количество члены его власти.Кантор распространил эту теорему и на свои бесконечные множества — хотя он понимал, что существует по крайней мере один такой набор, к которому оно, очевидно, неприменимо, а именно множество всего, иногда называемое универсальным множеством. Очевидно, что набор его подмножеств не может иметь большего числа, чем количество вещей в самом универсальном наборе, поскольку он содержит все. Это был парадокс Кантора, и его решение заключалось в том, чтобы сказать, что такая бесконечность «непоследовательна», поскольку не может быть последовательно пронумерована.Он считал, однако, что только размер бесконечных множеств должен быть ограничен, предполагая, что меньшие бесконечности могут быть последовательно пронумерованы, и назначая, для начала, «алеф ноль» как число, или, точнее говоря, «силу» натуральные числа (Hallett 1984, p.175). Фактически, более ранний парадокс, связанный с натуральными числами, предполагал, что даже их нельзя последовательно пронумеровать: с одной стороны, их можно поставить в соотношении 1 к 1 с четными числами, и тем не менее их определенно было больше, поскольку они включены и нечетные числа.Этого парадокса Кантор решил избежать с помощью своего определения мощности множества (NB, а не набора степеней множества): его определение просто требовало, чтобы два множества были помещены в корреляцию 1 к 1, чтобы они имели одинаковую мощность. . Таким образом, все бесконечные последовательности натуральных чисел имеют одинаковую степень, равную нулю.

Но количество точек в строке было не равным нулю алеф, а двум — нулю алеф, и Кантор представил несколько доказательств того, что это не одно и то же. Самым известным был его диагональный аргумент, который, кажется, показывает, что должны существовать порядки бесконечности, и в частности, что несчетное бесконечное отличается от счетного бесконечного.Ведь вера в действительные числа эквивалентна вере в определенные бесконечные множества: действительные числа обычно понимаются просто в терминах, возможно, неограниченных десятичных знаков, но это определение может быть получено из более теоретических (Suppes 1972, стр. 189). Но можно ли перечислить десятичные дроби, скажем, между 0 и 1? Перечисление их сделало бы их счетными в том особом смысле, который был принят, который, помимо прочего, не требует наличия последнего подсчитываемого элемента. Натуральные числа в этом смысле, как и раньше, счетны, и любой список, кажется, может быть проиндексирован порядковыми числами.Предположим, однако, что у нас есть список, в котором n-й член имеет следующую форму:

a n = 0.a n1 a n2 a n3 a n4 …,

, где ni — это цифра от 0 до 9 включительно. Тогда этот список не будет содержать «диагональный» десятичный разделитель a m , определенный как

a mn = 9 — a nn ,

, поскольку для n = m это уравнение неверно, если используются только целые цифры.Это, по-видимому, показывает, что совокупность десятичных знаков в любом непрерывном интервале не может быть перечислена, что означает, что существует по крайней мере два отдельных порядка бесконечности.

Конечно, если бы не было бесконечных множеств, не было бы бесконечных чисел, счетных или несчетных, и поэтому аристотелевцы не приняли бы результат этого доказательства как факт. Дискретные вещи могут быть для него в лучшем случае потенциально счетными. Но трудность с результатом распространяется даже на тех, кто принимает, что есть бесконечные множества, из-за другого парадокса, парадокса Сколема, который показывает, что все теории определенного вида должны иметь счетную модель, то есть должно быть истинным в некоторой счетной области. объектов.Но теория множеств — одна из таких теорий, и в ней, предположительно, должны быть несчетные множества. Фактически счетная модель для теории множеств была недавно определена Лавином (Lavine 1994), так как же можно приспособить диагональное доказательство Кантора? Обычно это согласуется с тем, что в рамках счетной модели теории множеств несчетность представлена ​​просто отсутствием функции, которая может выполнять индексацию множества, то есть производить корреляцию между множеством и порядковыми числами.Но если это так, то, возможно, сложность перечисления действительных чисел в интервале сопоставима. Конечно, при наличии списка действительных чисел с функциональным способом их индексации диагонализация позволяет нам построить другое действительное число. Но, возможно, все еще может существовать счетное число всех действительных чисел в интервале без какой-либо возможности найти функцию, которая перечисляет их, и в этом случае у нас не будет диагональных средств для получения другого. Похоже, нам нужно еще одно доказательство того, что быть счетным по размеру означает быть включенным в список с помощью функции.

4. Парадоксы самооценки

Возможность того, что диагональная процедура Кантора является парадоксом сама по себе, обычно не рассматривается, хотя ее прямое применение приводит к признанному парадоксу: парадоксу Ричарда. Рассмотрим для начала все конечные последовательности из двадцати шести букв английского алфавита, десяти цифр, запятой, точки, тире и пробела. Упорядочите эти выражения сначала по количеству символов, а затем лексикографически в каждом таком наборе.Затем у нас есть способ идентифицировать n-й член этой коллекции. Некоторые из этих выражений являются английскими фразами, а некоторые из этих фраз будут определять действительные числа. Пусть E будет подгруппой, которая делает это, и предположим, что мы снова можем идентифицировать n-е место в этом для каждого натурального числа n. Тогда следующая фраза, как указал Ричард, по-видимому, определяет действительное число, которое не определено в коллекции: «Действительное число, вся часть которого равна нулю, а n-й десятичный знак равен p плюс 1, если n- -й десятичный знак действительного числа, определяемого n-м членом E, равен p, а p не равен ни 8, ни 9, и равен единице, если этот n-й десятичный знак равен восьми или девяти.Но это выражение представляет собой конечную последовательность описанного выше вида.

Одним из важных фактов этого парадокса является то, что это семантический парадокс, поскольку он касается не только упорядоченного набора выражений (который является синтаксическим вопросом), но и их значения, то есть того, относятся ли они к действительным числам. Именно из-за этого, возможно, неясно, существует ли конкретный список выражений требуемого типа, поскольку, хотя общий список выражений, безусловно, можно упорядочить напрямую, то, определяет ли какое-либо выражение действительное число, возможно, не такой четкий вопрос.В самом деле, можно сделать вывод, только из того факта, что возникает парадокс, как указано выше, что вопрос о том, определяет ли какая-либо английская фраза действительное число, не всегда полностью разрешимо. С точки зрения Бореля, это невозможно решить эффективно (Martin-Löf 1970, p44). Другой очень похожий семантический парадокс с тем же аспектом — парадокс Берри, о «наименьшем целом числе, имя которого не может быть меньше девятнадцати слогов». Проблема здесь в том, что в этой самой фразе меньше девятнадцати слогов, и тем не менее, если она обозначает целое число, это целое число не должно иметь наименования менее девятнадцати слогов.Итак, существует ли определенный набор английских выражений, которые обозначают целые числа, имена которых не могут состоять менее чем из девятнадцати слогов?

Если имела место какая-то нечеткость, то была бы значительная разница между такими парадоксами и предыдущими парадоксами логической теории, например, Рассела, Бурали-Форти и Кантора. Действительно, после обсуждения этих вопросов Рамси в 1920-х годах стало обычным делом разделить основные логические парадоксы на два: семантический или лингвистический, с одной стороны, и синтаксический или математический, с другой.Маки был в некоторой степени не согласен с Рэмси, хотя был готов сказать (Mackie 1973, p262):

Таким образом, семантические парадоксы… могут быть разрешены в философском смысле путем демонстрации отсутствия содержания ключевых элементов, того факта, что различные вопросы и предложения, истолкованные заданным образом, не вызывают существенных проблем. Но это комментарии, относящиеся только к лингвистическим предметам; можно было бы ожидать, что этот метод будет применяться только к семантическим парадоксам, а не к «синтаксическим», таким как парадокс классов Рассела, которые, как считается, включают только (формальные) логические и математические элементы.

Сам Рассел выступил против этого различия, сформулировав свой знаменитый «Принцип порочного круга», который, как он считал, нарушает все парадоксы самоотнесения. В частности, он считал, что утверждения обо всех членах определенных коллекций были бессмыслицей (сравните Haack 1978, стр. 141):

Все, что включает в себя всю коллекцию, не должно быть частью коллекции, или, наоборот, если при условии, что определенная коллекция имеет сумму, в ней будут члены, определяемые только в терминах этой суммы, то указанная коллекция не имеет общей суммы.

Но это, по-видимому, исключало бы определение, например, человека как человека с наивысшим средним показателем в его команде, поскольку в этом случае он определяется в терминах общего числа, членом которого он является. Он фактически налагает запрет на все формы самоотнесения, и поэтому единообразное решение Рассела парадоксов обычно считается слишком радикальным. Кто-то может сказать: «Это может быть пушка против мухи, но, по крайней мере, она останавливает муху!»; но он также опустошает слишком много всего поблизости.

Более поздним теоретиком, выступающим против различия Рэмси, был Прист. Фактически, он пытался доказать, что все основные парадоксы самореференции имеют общую структуру, используя дальнейшее понимание Рассела, которое он называет «Схемой Рассела» (Priest 1994, p27). Это предшествует привязанности Рассела к принципу порочного круга, но Прист показал, что, будучи адаптированным и примененным ко всем основным парадоксам, он соответствует рассуждениям, которые приводят к противоречию в каждом из них.Этот подход, однако, предполагает, что семантические понятия, такие как определимость, обозначение, истина и знание, могут быть истолкованы в терминах математических множеств, что, по-видимому, является тем самым предположением, которое оспаривал Рамси.

Парадокс Греллинга также ставит под сомнение это предположение. Это самореферентный семантический парадокс, напоминающий до некоторой степени парадокс Рассела, и касается свойства, которым обладает прилагательное, если оно не применяется к самому себе. Таким образом,

«большой» — не большой,
«многосложный» — многосложный,
«английский» — английский,
«французский» — не французский.

Давайте использовать термин «гетерологический» для свойства неприменимости самого себя, поэтому мы можем сказать, что «большой» и «французский», например, гетерологичны, и мы можем написать как общее определение

«x» гетерологичен тогда и только тогда, когда «x» не является x.

Но очевидно, что замена «x» на «гетерологический» приводит к противоречию. Означает ли это противоречие, что нет такого понятия, как гетерологичность, как нет такого множества, как множество Рассела? Гольдштейн недавно утверждал, что это так (Goldstein 2000, p67), следуя традиции, которую Маки называет «подходом логического доказательства» (Mackie 1973, p254f), в который Райл внес заметный вклад (Ryle 1950-1).Эта мысль становится еще более правдоподобной, если учесть очень подробный логический анализ, который предоставил Копи (Copi 1973, p301).

Copi впервые вводит определение

Hs = df (∃> F) (sDesF & (P) (sDesP iff P = F) & ¬Fs),

, в котором «¬» означает «не», а «Des» относится к отношению между словесным выражением и свойством, которое оно обозначает. Таким образом, «sDesF» читается: s обозначает доказательство противоречия Ф. Копи следующим образом.Во-первых, H ”H” влечет за собой, в свою очередь,

(∃> F) («H» DesF & (P) («H» DesP, если P = F) & ¬F «H») — путем подстановки в определении,

«H» DesF & (P) («H» DesP тогда и только тогда, когда P = F) & ¬F «H» — принимая случай, как утверждается, существующий,

(«H» DesH, если H = F) & ¬F «H» — путем подстановки в «для всех P»,

H = F & ¬F ”H” — предполагая, что “H” обозначает H,

Тогда ¬H ”H” влечет за собой, в свою очередь,

(F) ¬ («H» DesF & (P) («H» DesP, если P = F) & ¬F «H») — поскольку «¬ (∃> F)» эквивалентно «(F) ¬» , ¬ (H »DesH & (P) (« H »DesP, если P = H) & ¬H« H ») — замена« H »на« F »,

¬ ((P) («H» DesP, если P = H) & ¬H «H») — если «H» обозначает H,

H ”H” — предполагая (P) (“H” DesP, если P = H).

Получить противоречие

H ”H” iff ¬H ”H”,

поэтому необходимо быть уверенным, что существует одно и только одно свойство, которое обозначает буква «H». И Копи не приводит доказательств этого.

Парадокс лжецов — это еще один семантический парадокс, основанный на самореференции, возможно, самый главный, пришедший из античности. И можно очень хорошо спросить, относительно

То, что я сейчас говорю, ложно,

, например, имеет ли это какой-то смысл или включает ли это существенную проблему, как сказал бы Маки (см. Также Parsons 1984).Но есть еще один хорошо известный парадокс, который, кажется, блокирует это увольнение. Ибо если мы допустим, что, кроме «истинного» и «ложного», также «бессмысленного», то вполне может показаться, что возникает «Усиленный лжец», который в данном случае может быть выражен

То, что я сейчас говорю, ложно или бессмысленно.

Если я не говорю здесь ничего значимого, то, по всей видимости, то, что я говорю, правда, что, в конце концов, подразумевает, что это имеет значение.

Давайте поэтому рассмотрим некоторые другие известные способы попытки спастись даже от Неусиленного лжеца.У Unstrengthened Liar есть множество вариаций, например:

Это самое предложение ложное,

или

Некоторые предложения в этой книге неверны,

, если это предложение — единственное предложение в книге, скажите в предисловии. Он также возникает из следующей пары предложений, взятых вместе:

Следующее предложение неверно, Предыдущее предложение верно;

и в случае Буридана

То, что говорит Платон, ложно, То, что говорит Сократ, истинно,

, если Сократ говорит первое, а Платон — второе.Есть много других вариантов, некоторые из которых мы рассмотрим позже.

Семантические концепции в этих парадоксах — истина и ложь, и первый крупный вклад в наше понимание этих парадоксов в двадцатом веке внес Тарский. Тарский считал истину и ложность предикатами предложений и подробно обсуждал следующий пример своей знаменитой «Т-схемы»:

«снег белый» истинно тогда и только тогда, когда снег белый.

Он считал, что

Ц ИФФ п,

Как правило,

имеет место, если «s» — это некоторая фраза, обозначающая или относящаяся к предложению «p» — например, как указано выше, то же самое предложение в кавычках или число в какой-либо системе нумерации, которая была способ, которым Гёдель решал такие вопросы.Анализ истины Тарским включал отрицание возможности «семантического замыкания», то есть наличия в языке семантических концепций, относящихся к выражениям на этом языке (Tarski 1956, p402):

Главный источник встречающихся трудностей, по-видимому, заключается в следующем: не всегда учитывалось, что семантические концепции имеют относительный характер, что они всегда должны быть связаны с определенным языком. Люди не знали, что язык, на котором мы говорим, ни в коем случае не должен совпадать с языком, на котором мы говорим.Они реализовали семантику языка в самом этом языке и, вообще говоря, действовали так, как будто в мире существует только один язык. Анализ упомянутых антиномий, напротив, показывает, что семантическим понятиям просто нет места в языке, к которому они относятся, что язык, который содержит свою собственную семантику и в котором действуют обычные законы логики, неизбежно должен быть непоследовательный.

Этот вывод, который требует, чтобы любой непротиворечивый язык был неполным, Тарский сделал непосредственно, рассматривая «Лжеца», поскольку «Это ложно», по-видимому, обеспечивает самореференциальные «s», для которых

с = «¬Ц»,

, следовательно, подставив в следующем примере Т-схемы

Т ”¬Ц” иф ¬Ц,

получаем

Ц иф ¬Ц.

Чтобы заблокировать этот вывод, Тарский заявил, что ссылка на себя, по-видимому, доступна в идентификаторе

с = «¬Ц»

просто не всегда был доступен, и в частности, если кто-то использовал предложение «это ложно», то референт «этого» не должен быть самим предложением — под угрозой очевидного противоречия. Использование «это ложно» логично означало говорить об объектном языке, но на другом, более высоком, языке — метаязыке.Конечно, семантические концепции, применимые в этом метаязыке, также не могли быть разумно определены в нем, поэтому в целом предполагалась целая иерархия языков.

Однако кажется трудным применить этот вид расслоения языков к тому, как мы обычно говорим. В самом деле, утверждение, что истина может присоединяться к индексным предложениям, например «То, что я сейчас говорю, является ложью», казалось бы, бросает вызов очень ясной истине (Kneale 1972, p234f). Рассмотрим, кроме того, этот вариант вышеупомянутого случая Платона-Сократа (сравните Haack 1978, p144), где Джонс говорит, что

Все высказывания Никсона об Уотергейте ложны,

и Никсон говорит

Все высказывания Джонса об Уотергейте верны.

Если, следуя Тарскому, мы попытаемся назначить уровни языка этой паре высказываний, то как мы могли бы это сделать? Казалось бы, высказывание Джонса должно быть на языке более высоком, в иерархии Тарского, чем любой язык Никсона; тем не менее, напротив, рейтинг Никсона должен быть выше, чем у любого из Джонсов.

Мартин разработал типологию решений «Лжеца», в которой выход Тарского определен как один из четырех возможных общих диагнозов (Мартин 1984, стр. 4). Два принципа, которые использует Мартин для классификации Лжеца, которого мы только что видели, а именно

(S) Есть предложение, которое говорит само за себя только о том, что оно не соответствует действительности,

и

(T) Любое предложение истинно тогда и только тогда, когда оно верно.

Тарский в этих условиях счел утверждение (S) неверным. Но можно также утверждать, что (T) неверно, возможно, потому, что есть предложения без значения истинности, бессмысленные или лишенные содержания каким-либо другим образом, как считают теоретики, упомянутые ранее. Третий общий диагноз утверждает, что и (S), и (T) верны и действительно несовместимы, но переходит к некоторой их «рациональной реконструкции», так что несовместимость устраняется. В-четвертых, можно утверждать, что (S) и (T) верны, но действительно совместимы.Мартин считает, что это происходит как результат некоторой возможной двусмысленности в терминах, используемых в двух принципах.

Мы можем выделить еще один, пятый вариант, хотя Мартин его не рассматривает. Этот вариант состоит в том, чтобы считать, что и (S), и (T) неверны, как это делается по традиции, согласно которой истинными или ложными являются не предложений . Нельзя, например, сказать, что предложение «это белое» истинно само по себе, поскольку то, о чем говорится, может варьироваться от одного высказывания предложения к другому.После Второй мировой войны, из-за такого рода вещей, стало более обычным думать, что семантические понятия связаны не с предложениями и словами, а с тем, что означают такие предложения и слова (Kneale and Kneale 1962, p601f). В этом понимании речь идет не конкретно о предложении «это белое», а о том, что выражено этим предложением, то есть сделанном им утверждении или предложении, которое может быть истинным. Но Томасон, следуя работе Монтегю, показал, что проблемы такого же рода могут возникать даже в этом случае.Мы можем создавать референциальные парадоксы, связанные с утверждениями и предложениями, от которых опять же явно невозможно избежать (Thomason 1977, 1980, 1986). И проблемы не только ограничиваются семантикой истины и ложности, но также возникают точно так же с более общими семантическими понятиями, такими как знание, убеждение и доказуемость. В последние годы таким образом становится все более очевидным гораздо больший объем проблем, связанных с самоотнесением.

Ашер и Камп подводят итоги (Ашер и Камп 1989, стр. 87):

Томасон утверждает, что результаты Монтегю (1963) применимы не только к теориям, в которых концепты отношения, такие как знания и убеждения, рассматриваются как предикаты предложений, но также и к «репрезентативным» теориям отношений, которые анализируют эти концепции. как отношения или операции над (ментальными) представлениями.Такие репрезентативные трактовки отношений нашли многих сторонников; и, вероятно, правда, что некоторые из их сторонников не были достаточно внимательны к ловушкам самоотнесения даже после того, как они были так ясно разоблачены в Монтегю (1963) … Для таких беспечных репрезентационистов Томасон (1980) является строгое предупреждение о препятствиях, с которыми столкнется точная разработка их предложений.

Томасон конкретно упоминает «Язык мысли» Фодора в своей работе; Сами Ашер и Камп показывают, что способы аргументации, подобные методам Томасона, могут использоваться даже для того, чтобы показать, что Интенсиональная семантика Монтегю имеет те же проблемы.Ашер и Камп продолжают объяснять общий метод, с помощью которого достигаются эти результаты (Asher and Kamp 1989, p87):

Аргумент Томасона, по крайней мере на первый взгляд, прост. Он рассуждает следующим образом: предположим, что определенное отношение, скажем, убеждение, рассматривается как свойство «пропозициональных» объектов — назовем их «репрезентациями» — которые построены из атомарных составляющих во многом так же, как и предложения. Затем, располагая достаточным количеством арифметических действий, мы можем связать число Гёделя с каждым таким объектом, и мы можем имитировать соответствующие структурные свойства и отношения между такими объектами с помощью явно определенных арифметических предикатов их чисел Гёделя.Эту геделизацию представлений можно затем использовать для получения противоречия способами, знакомыми по работам Гёделя, Тарского и Монтегю.

Единственный луч надежды, который могут предложить Ашер и Камп, это (Asher and Kamp 1989, p94): «Только знакомые системы эпистемической и доксастической логики, в которых знания и убеждения рассматриваются как сентенциальные операторы и которые не рассматривают предложения как объекты референции и количественной оценки, по-видимому, надежно защищены от этой трудности ». Но посмотрите на них, например, Mackie 1973, p276f, хотя также Slater 1986.

Знаменитые теоремы Гёделя в этой области, конечно, связаны с понятием доказуемости, и они показывают, что если это понятие взять в качестве предиката некоторых формул, то в любой стандартной формальной системе, которая имеет достаточно арифметики для обработки чисел Гёделя используются для идентификации формул в системе, могут быть построены определенные утверждения, которые являются истинными, но не могут быть доказаны в системе, если они непротиворечивы. Что также верно и даже доказуемо в такой системе, так это то, что, если она непротиворечива, то (а) некоторая конкретная формула самореференции не может быть доказана в системе, и (б) непротиворечивость системы не может быть доказана в система.Это означает, что непротиворечивость системы не может быть доказана в системе, если она не противоречит, и обычно считается, что соответствующие системы непротиворечивы. Но если они непротиворечивы, то этот результат показывает, что они неполны, то есть есть истины, которые они не могут доказать.

Парадоксальность теорем Гёделя состоит в том, что они, кажется, показывают, что есть вещи, которые мы можем доказать на естественном языке, который мы используем, чтобы говорить о формальных системах, но которые формальная система доказательства доказать не может.И этот факт вылился в очень широкую дискуссию о наших отличиях от механизмов и даже о превосходстве над ними (см., Например, Penrose 1989). Но если принять во внимание то, как многие спорили бы, например, о

этот приговор недоказуем,

, то наши человеческие способности могут показаться не слишком большими. Многие возразят:

Если это предложение доказуемо, то оно истинно, поскольку доказуемость влечет за собой истину; но это делает его недоказуемым, а это противоречие.Следовательно, это должно быть недоказуемым. Но этим процессом мы, кажется, доказали, что это недоказуемо — еще одно противоречие!

Итак, если мы не сможем выбраться из этого тупика, а также многих других, на которые мы смотрели, мы не выглядели бы слишком умными. Или аргументы такого рода показывают, что выхода нет? Некоторые люди, конечно, могут захотеть последовать примеру Тарского и отказаться от «естественного языка» вопреки этим выводам. Ибо у Гёделя не было причин делать вывод на основании своих теорем, что формальные системы, которые он имел в виду, были несовместимы.Однако его формальные аргументы кардинально отличаются от только что приведенных, поскольку в его системах нет доказательства того, что «доказуемость» влечет за собой «истину». Несомненно, то, с чем мы имеем дело, — это настоящие парадоксы!

Невозможность выхода из тупика и неспособность многих великих умов выйти из него заставили некоторых теоретиков поверить в то, что выхода нет. Среди них выделяется Прист (сравните Прист, 1979), который считает, что теперь мы должны научиться признавать, что некоторые противоречия могут быть правдой, и соответствующим образом корректировать нашу логику.Это во многом соответствует ожиданиям, которые, как мы первоначально отметили, имел Куайн, что, возможно, «какой-то неявный и надежный образец рассуждения должен быть явным, и с этого момента его следует избегать или пересматривать». (Куайн, 1966, стр. 7). Конкретный закон, в котором «паранепротиворечивые» логики в основном сомневаются, — это «ex невозможно quodlibet» , то есть «из невозможности что-либо следует», или

(p & ¬p) ⊢ q.

Считается, что если бы это традиционное правило было исключено из логики, то, по крайней мере, мы обнаружим любые истинные противоречия, например.грамм. все, что имеет форму «p & ¬p», которую мы выводим из некоторого парадокса самоотнесения, не будет иметь массовых последствий, которые в противном случае имели бы в традиционной логике. Противники парасогласованности могут сказать, что предпосылка этого правила не может возникнуть, поэтому его «взрывные» последствия никогда не возникнут. Но есть и более широкий философский вопрос: не приводит ли переход к другой логике только к изменению темы, оставляя без внимания исходные проблемы.Это зависит от того, как вы относитесь к «девиантной логике». Есть основания полагать, что девиантные логики не являются соперниками традиционной логики, а просто дополняют ее или расширяют ее (Haack, 1974, Pt 1, Ch2). Ведь если отбросить вышеупомянутое правило, то разве он не произвел просто новый вид отрицания? «P» и «¬p» все еще противоречат друг другу, если они каким-то образом могут быть правдой? И если «p» и «¬p» не противоречат друг другу, то что противоречит «p», и не могли бы мы сформулировать предыдущие парадоксы в терминах этого? Похоже, мы просто отвернулись от настоящих трудностей.

5. Современный поворот

За последние несколько лет произошли события, которые показали, что прежний акцент на парадоксах, связанных с самореферентностью, в некоторой степени вводил в заблуждение. Было обнаружено семейство парадоксов с аналогичными уровнями неразрешимости, которые не являются рефлексивными в этом смысле.

Ранее упоминалось, что форму парадокса лжеца можно вывести в связи с парой утверждений

То, что говорит Платон, ложно,

То, что говорит Сократ, правда,

, когда Сократ говорит первое, а Платон — второе.Ибо, если то, что говорит Сократ, верно, то, согласно первому, то, что говорит Платон, ложно, но тогда, согласно второму, то, что говорит Сократ, ложно. С другой стороны, если то, что говорит Сократ, ложно, то, согласно первому, то, что говорит Платон, истинно, а затем, согласно второму, то, что говорит Сократ, истинно. Такой парадокс называется «цепочкой лжецов»; они могут быть любой длины; и с ними мы уже выходим из действительно строгой семьи «самореферентности», хотя, пройдя по цепочке то, что говорит Сократ, она в конечном итоге вернется, чтобы задуматься о себе.

Однако кажется, что если кто-то создает то, что можно было бы назвать «бесконечными цепями», тогда не существует даже этой ослабленной формы самореференции (хотя см. Beall, 2001). Ябло попросил нас рассмотреть бесконечную последовательность предложений, представительными из которых являются следующие (Ябло, 1993):

(S i ) Для всех k> i, S k неверно.

«Парадокс очереди» Соренсена похож на него, и его можно получить, заменив здесь «все» на «некоторые» и рассмотрев серию мыслей некоторых студентов в бесконечной очереди (Соренсен, 1998).Предположим, что в случае Ябло S n верно для некоторого n. Тогда S n + 1 ложно, и все последующие утверждения; но последний факт делает S n + 1 истинным; приводя к противоречию. Следовательно, для no n истинно S n . Но это означает, что S 1 истинно, S 2 истинно и т. Д .; на самом деле это означает, что каждое утверждение истинно, а это еще одно противоречие. В случае Соренсен, если какой-то ученик думает, что «некоторые из учеников позади меня сейчас думают неправду», тогда это не может быть ложью, поскольку тогда все ученики, стоящие за ней, думают правду — хотя это означает, что какой-то ученик позади нее говорит неправду. неправда, противоречие.Так что ни один ученик не думает неправду. Но если какой-то ученик, следовательно, думает правду, то какой-то ученик, стоящий за ним, думает неправду, что, как мы знаем, невозможно. На самом деле все предположения кажутся невозможными, и мы находимся в характерном тупике.

Гайфман разработал способ решения таких более сложных парадоксов типа лжецов, которые могут закончиться отрицанием того, что предложения в таких циклах, цепочках и бесконечных последовательностях имеют какое-либо значение истинности. Используя «GAP» для «признанной неспособности присвоить стандартное значение истинности», Гайфман формулирует то, что он называет «правилом замкнутого цикла» (Gaifman 1992, pp225, 230):

Если в ходе применения процедуры оценки образуется замкнутый неоцененный цикл и ни одному из его членов не может быть присвоено стандартное значение ни одним из правил, то всем его элементам назначается GAP на одном шаге оценки.

Гольдштейн сформулировал сопоставимый процесс, который, по его мнению, в некоторых деталях улучшает Гайфмана и заканчивается тем, что определенные предложения маркируются как «FA», что означает, что в предложении была предпринята «неудачная попытка» сделать утверждение (Goldstein 2000, p57). . Но главный вопрос таких подходов, как и прежде, заключается в том, как они справляются с «Усиленным лжецом». Конечно, с

остаются серьезные проблемы.

Это предложение неверно или имеет пробел,

и

Это предложение содержит ложное утверждение или является FA.

6. Ссылки и дополнительная литература

  • Ашер Н. и Камп Х. 1986, «Парадокс познающего и репрезентативные теории отношений», в Дж. Халперн (ред.) Теоретические аспекты рассуждений о знаниях , Сан-Матео, Калифорния, Морган Кауфманн.
  • Ашер, Н. и Камп, Х. 1989, «Самостоятельная ссылка, установки и парадокс» в G. Chierchia, B.H. Парти и Р. Тернер (ред.) Свойства, типы и значение 1 .
  • Билл, Дж. К., 2001, «Парадокс Ябло — некруглый?», Анализ 61.3.
  • Копи И.М., 1973, Символическая логика 4-е изд. Макмиллан, Нью-Йорк.
  • Гайфман, Х. 1992, «Указатели на истину», The Journal of Philosophy , 89, 223-61.
  • Гольдштейн, Л. 2000, «Единое решение некоторых парадоксов», Proceedings of the Aristotelian Society , 100, pp53-74.
  • Grattan-Guinness, I. (ed.) 1980, From the Calculus to Set Theory , 1630-1910, Duckworth, London.
  • Haack, S. 1974, Deviant Logic , C.U.P., Кембридж.
  • Хаак С. 1978, Философия логики , C.U.P., Кембридж.
  • Халлетт, М. 1984, Теория канторианских множеств и ограничение размера , Clarendon Press, Oxford.
  • Киф, Р. 2001, Теории неопределенности , C.U.P. Кембридж.
  • Kneale, W. 1972, «Утверждения и истина в естественных языках», Mind , 81, pp225-243.
  • Нил У. и Нил М. 1962, Развитие логики , Кларендон Пресс, Оксфорд.
  • Lavine, S. 1994, Understanding the Infinite, Harvard University Press , Cambridge MA.
  • Linsky, L. 1967, Ссылаясь на , Routledge and Kegan Paul, London.
  • Mackie, J.L. 1973, Truth, Probability and Paradox , Clarendon Press, Oxford.
  • Мартин Р.Л. (ред.) 1984, Недавние очерки правды и парадокса лжецов , Clarendon Press, Oxford.
  • Мартин-Лёф, П. 1970, Заметки по конструктивной математике , Альмквист и Викселл, Стокгольм.
  • Монтегю Р. 1963, «Синтаксические трактовки модальности со следствиями о принципах отражения и конечной аксиоматизируемости», Acta Philosophica Fennica , 16, стр. 153-167.
  • Оуэн, G.E.L. 1957-8, «Зенон и математики», Труды Аристотелевского общества, , 58, 199-222.
  • Парсонс, К. 1984, «Парадокс лжецов» в Р.Л. Мартине (ред.) Недавние эссе об истине и парадоксе лжецов , Clarendon Press, Oxford.
  • Пенроуз, Р.1989, Новый разум императора , O.U.P., Оксфорд.
  • Священник, Г. 1979, «Логика парадокса», Journal of Philosophical Logic , 8, pp219-241.
  • Священник, Г. 1994, «Структура парадоксов саморефлексии», Mind , 103, стр 25-34.
  • Quine, W.V.O. 1966, Пути парадокса , Рэндом Хаус, Нью-Йорк.
  • Райл, Г. 1950-1, «Гетерологичность», Анализ , 11, стр. 61-69.
  • Сейнсбери, М.1995, Paradoxes , 2-е изд., C.U.P. Кембридж.
  • Лосось, W.C. (ред.) 1970, Парадоксы Зенона , Боббс-Меррилл, Индианаполис.
  • Скотт, Т. 1966, Джон Буридан: Софизмы о значении и истине , Appleton-Century-Crofts, Нью-Йорк.
  • Slater, B.H. 1986, «Prior’s Analytic», Analysis, , 46, стр. 76-81.
  • Соренсен Р. 1998, «Парадокс Ябло и родственные бесконечные лжецы», Mind , 107, 137-55.
  • Суппес, П.1972, Axiomatic Set Theory , Dover, New York.
  • Тарский А. 1956, Логика, семантика, метаматематика: документы с 1923 по 1938 год , пер. J.H. Woodger, O.U.P. Оксфорд.
  • Томасон Р. 1977, «Косвенный дискурс не цитируется», The Monist , 60, pp340-354.
  • Томасон Р. 1980, «Заметка о синтаксических трактовках модальности», Synthese , 44, стр. 391-395
  • Томасон Р. 1986, «Парадоксы и семантическое представление», в J.Халперн (ред.) Теоретические аспекты рассуждений о знаниях , Сан-Матео, Калифорния, Морган Кауфманн.
  • Уильямсон, Т. 1994, Неясность , Лондон, Рутледж.
  • Ябло С. 1993, «Парадокс без саморекламы», Анализ , 53, 251-52.

Дополнительное обсуждение логических парадоксов см. В следующих статьях этой энциклопедии:

Информация об авторе

Барри Хартли Слейтер
Электронная почта: slaterbh @ cyllene.uwa.edu.au
Университет Западной Австралии
Австралия

Комментарии к теме «Теория вероятностей не расширяет логику»

Спасибо за этот пост. Я не так сильно увлекался математикой с тех пор, как был первокурсником, когда я проверял логические головоломки Раймонда Смолляна из библиотеки колледжа. Я бы с удовольствием изучал логику и компьютерное программирование, но, очевидно, не так сильно, как мне нравилась моя нечеткая учебная программа по гуманитарным наукам.

Надеюсь, вы не отправите меня в остроконечной шляпе в угол за то, что я задаю вопросы «Логика 101» на форуме выпускников.Я потратил несколько часов на чтение «Теория вероятностей не расширяет логику», и я хотел бы пробежаться по выводам моего непрофессионала, основанным на вашей статье. Тогда ты скажешь мне, как сильно я заблудился.

Во-первых, я понимаю, что ваш практический интерес к логике связан с проектированием компьютерных систем искусственного интеллекта. (Надеюсь, по крайней мере, это предположение верно.)

Вы начинаете свой пост со ссылки на пять традиционных основ познания: эмпиризм, рационализм, традиции, священные писания и интуиция.С точки зрения искусственного интеллекта, «эмпиризм» будет соответствовать «наблюдению» или «первичному вводу данных» (например, через камеру). «Рационализм» будет соответствовать «логике» или «математическим операциям» (независимо от того, является ли используемая система исчислением высказываний, исчислением предикатов или некоторой сверхсистемой обобщенного рационализма FTL, которая еще не вышла). «Традиция» соответствовала бы предложениям, которые были изучены или помещены в память в качестве инструкций по программированию. Я собираюсь игнорировать «Священное Писание», потому что это подмножество «традиции».«Я также собираюсь игнорировать« интуицию »отчасти потому, что когнитивные люди, кажется, думают, что« интуиция »- это сокращение, которое мы используем для логики, основанное на распознавании образов и, возможно, статистике, потому что у людей нет бесконечного времени обработки принимать действительно логичные решения. Как в той старой шутке («мы опоздали, потому что папа выбрал короткий путь») для меня не имеет смысла беспокоиться об интуиции, пока мы не узнаем, где мы находимся на «логической» карте.

Когда вы сравнивали вероятностную нотацию с исчислением предикатов, вы обратили внимание на то, что исчисление предикатов более мощное, поскольку оно допускает логическую количественную оценку, а не полагается на неявные обобщения.Это напоминает мне некоторые примеры из изучения человеческого языка.

Первый пример. В старших классах английского ваш учитель, возможно, составил вам диаграммы предложений и набросился на вас за использование местоимений, которые явно не указывают на референтный объект. «Линдберг разговаривал с Эйнштейном, а затем улетел». Вы можете сделать вывод, что Линдберг был тем «он», который улетел, потому что Линдберг был летчиком, но это плохая грамматика, потому что вы не подсчитали логически «x».) Людям удается все время общаться, используя плохую грамматику, но иногда возникают недопонимания; и когда они это делают, мы прибегаем к логике или грамматике более высокого уровня, чтобы разобраться во всем.

Другой пример из изучения человеческого языка: детский лепет считается естественным или органичным прецедентом для формального языка; то есть человеческие младенцы развивают упрощенную форму общения («детский лепет») до того, как овладеют формальной грамматикой. Детский лепет не имеет особой логической количественной оценки, но можно понять, что ваш младенец пытается передать, с помощью «злоупотребления нотацией и интеллектуального применения». Например, футболка-шутка, которую вы можете купить в Интернете: «Давай съедим Грамму.. . запятые спасают жизни ». Исчисление высказываний (даже расширенное теорией вероятностей) можно рассматривать как форму детской болтовни, которая позволяет людям обмениваться полезной информацией, прежде чем они поймут исчисление предикатов. Точно так же, возможно, исчисление предикатов можно было бы рассматривать как «детский лепет» перед более высокоразвитой системой — «вероятностной» (или, может быть, «вероятностно-баллистической») логикой, — которая позволила бы нам более точно рассуждать о вероятностях. вероятностей. (Используя вашу аналогию со сверхсветовой скоростью, мы могли бы не достичь скорости варпа с неполной теорией рациональности, но, по крайней мере, мы бы достигли околоземной орбиты.)

(Кстати, я был благодарен за то, что вы позаимствовали все «снарки» и «буджумы», чтобы довести это до моего уровня.)

Хорошо, давайте вернемся к треноге «эмпиризма», «рациональности» и «традиции». Если придерживаться нашей метафоры человеческого ребенка, изучающего язык, на первом месте стоит физическое растение или эмбрион. В каком-то смысле биология создается кодом точно так же, как и любой компьютерный мозг, потому что все закодировано на «языке» ДНК C-T-A-G, а план ДНК встроен в физическую структуру.Физическая структура мозга позволяет ему выполнять определенные «логические» операции. Помимо мозга у эмбриона также развиваются глаза, уши и сенсорные нервные окончания — это его «входы», которые позволяют ему получать новые данные. С точки зрения искусственного интеллекта, на самом деле не имеет значения, говорите ли вы о синтетической биологии или о чем-то из кремния — вы все равно получаете «мозг» и «входы», какими бы разными они ни выглядели в зависимости от технологии.

Теперь, когда у нас есть физический объект — мозг для выполнения логических операций и сенсорные входы для получения информации — мы можем добавить к нашему штативу еще две ноги — «эмпиризм» и «традицию».”

Используйте переменную «Pr» для обозначения «программиста» или «родителя» (не «P», чтобы не путать с «вероятностью»). Используйте переменную «C» для обозначения «компьютера» или «ребенка» (я надеюсь, что «C» не связана произвольно с чем-то еще, что могло бы бросить вызов гаечному ключу в моих примерах). Используйте переменную «E» для обозначения «окружающей среды» или «входа» — другими словами, «E» — это сокращение для любого эмпирического опыта, который используется в данной конкретной ситуации. Возможно, нам также следует иметь переменную «L», которая будет относиться к «языку» или «логике» как синонимы.

Первые входные данные, полученные «C», — это базовые стимулы (свет, темнота, тепло или односложные высказывания). «C» обладает логическими возможностями, но не имеет реального программирования, и требуется время, чтобы эти стимулы были закодированы в логические предложения («мама = еда»). Предположительно, это кодирование включает в себя то, что вы назвали «статистическим выводом», который позволяет рассуждать от конкретного к общему.

Однако разработка «L» — это нечто большее, чем просто статистические выводы на основе «E.В частности, «C» получает входные данные как от «Pr», так и от «E», и оба типа входных данных будут влиять на развитие «L.» Если вы пытаетесь найти исключение, к которому «Pr» неприменимо, вам может подойти стереотип «дикий человек в лесу» или «мальчик, воспитанный волками». В этом сценарии — когда у ребенка нет родителей — «L» развивается только за счет входных данных от «E», поскольку в уравнении нет «Pr». (Хорошо, этот пример на самом деле не работает. Волки — хорошие родители: они учат ценным охотничьим навыкам и даже обладают некоторыми языковыми способностями, что выражается в виде вой.Я просто поднял его, чтобы показать важность «Pr» в реальных жизненных ситуациях.)

В развитии интеллекта функция «Пр» состоит в том, чтобы знакомить с «С» традициями или «логическими предложениями». В случае с человеческим ребенком эти «традиции» призваны социализировать ребенка и предохранить его от травм. («Если ты ударишь свою сестру, ты ляжешь спать без ужина». «Если ты вымоешь посуду, ты можешь смотреть телевизор до сна».) Эти «традиции» включают как форму, так и содержание.Логическая форма «если, то» передается «С» на примере, в то время как содержание (оценочные суждения, правила и последствия) передаются явно.

Очень часто «Пр» желает, чтобы эти «традиции» были приняты как «писание», то есть как нечто, что не может быть подвергнуто сомнению. Однако буква «C» часто встречается в ситуациях, когда «E» противоречит «Pr». Оценивая эти ситуации, «C» должен научиться определять вероятности различных утверждений, которые мог бы сделать «Pr». Возьмите эти утверждения в качестве примеров:

Предложение 1: «Если бы вы смотрели в окно, вы бы увидели, как Санта приземляется на крышу с мешком подарков.”

Утверждение 2: «Если прикоснешься к плите, получишь ожог».

Давайте возьмем случай, когда «C» проверяет предложение 1, тайно не спая всю ночь в канун Рождества. Санта не появляется. Под вопросом надежность «Пр». «C» не имеет достаточных эмпирических данных для оценки истинности предложения 2. «C» также не имеет глубокого понимания вероятностной логики и все еще использует своего рода «детскую болтовню» (исчисление высказываний), где «вещи либо» «есть» или «нет».Неправильно применяя логику (ложный силлогизм), «C» может заключить, что истинностное значение предложения 2 «ложно»; или «C» может правильно сделать вывод о том, что необходимы дополнительные эмпирические данные для оценки вероятности того, что «Pr» является надежным в любом данном случае.

Результат? «C» касается плиты и обжигается, что является примером эмпирического обучения, а также предоставляет некоторые статистические данные для оценки истинности утверждений, выдвинутых «Pr».

(Хорошо, справа: GIGO.Мусор на входе, мусор на выходе. Если «Pr» статистически недостоверно, то «C» будет трудно научиться применять логические предложения к эмпирическим данным таким образом, чтобы давать положительные результаты. Другими словами, «C» будет плохо социализирован. Другими словами: «Как отец, как сын» или «Яблоко недалеко от дерева падает». Компьютер HAL в «2001: Космическая одиссея» сошел с ума, потому что программисты научили его лгать.)

Я знаю, что эти идеи не помогут вам усовершенствовать математическую формулировку рациональности.Надеюсь, я не потратил впустую слишком много вашего времени! Но я действительно хотел сказать, что нашел ваши идеи чрезвычайно полезными для прояснения моих собственных мыслей о языке, логике и искусственном интеллекте. Еще раз спасибо за то, что поделились в Интернете небольшими фрагментами, которые даже неспециалист может найти время, чтобы их переварить.

2. «Если… то…». и «Дело не в том, что…» — Краткое введение в логику

2.1 Условный

Как мы отметили в главе 1, есть предложения естественного языка, такого как английский, которые не являются атомарными предложениями.Наши примеры включают

Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн станет президентом.

Земля не является центром Вселенной.

Мы можем рассматривать их как атомарные предложения, но тогда мы потеряем много важной информации. Например, первое предложение говорит нам кое-что о взаимосвязи между элементарными предложениями «Линкольн побеждает на выборах» и «Линкольн будет президентом». И второе предложение выше, как можно предположить, будет иметь интересную связь с предложением «Земля — ​​центр Вселенной».Чтобы сделать эти отношения явными, нам нужно будет понять, что означают «если… то…» и «не». Таким образом, было бы полезно, если бы наш логический язык мог выражать такие предложения таким образом, чтобы эти элементы были явными. Начнем с первого.

Предложение «Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн будет президентом» содержит два элементарных предложения: «Линкольн победит на выборах» и «Линкольн будет президентом». Таким образом, мы могли бы представить это предложение, позволив

Линкольн побеждает на выборах

будет представлено на нашем логическом языке как

А давая

Линкольн станет президентом

будет представлено

квартал

Тогда все выражение можно представить в виде

Если P, то Q

Однако было бы полезно заменить английскую фразу «if… then…» одним символом на нашем языке.Наиболее часто используемый такой символ — «→». Таким образом, мы бы написали

P → Q

Однако следует отметить еще одну вещь. Возможно, мы захотим объединить это сложное предложение с другими предложениями. В этом случае нам нужен способ определить, что это одно предложение, когда оно сочетается с другими предложениями. Есть несколько способов сделать это, но наиболее знакомый (хотя и не самый элегантный) — использовать круглые скобки. Таким образом, запишем наше выражение

(P → Q)

Этот вид приговора называется «условным».Его также иногда называют «материальным условием». Первое составное предложение (предложение перед стрелкой, которое в этом примере — «P») называется «антецедентом». Второе предложение (то, что после стрелки, которое в этом примере — «Q») называется «консеквент».

Мы умеем писать условные выражения, но что они означают? Как и раньше, мы примем значение, которое придают условия истинности, то есть описание того, когда предложение является истинным или ложным. Мы делаем это с помощью таблицы истинности.Но теперь наше предложение состоит из двух частей, которые являются атомарными предложениями, P и Q. Обратите внимание, что любое атомарное предложение может быть истинным или ложным. Это означает, что мы должны рассмотреть четыре возможных типа ситуаций. Мы должны учитывать, когда P истинно, а когда ложно, но тогда нам нужно рассмотреть эти два типа ситуаций дважды: один раз, когда Q истинно, и один раз, когда Q ложно. Таким образом, левая часть нашей таблицы истинности будет выглядеть так:

П К
т т
т Факс
ф. т
ф. Факс

Мы должны рассмотреть четыре возможных варианта развития мира.

Обратите внимание, что, поскольку существует два возможных значения истинности (истина и ложь), всякий раз, когда мы рассматриваем другое атомарное предложение, существует вдвое больше возможностей, которыми может быть мир, которые мы должны рассмотреть. Таким образом, для n атомарных предложений наша таблица истинности должна иметь 2n строк. В случае условного выражения, сформированного из двух элементарных предложений, как в нашем примере (P → Q), наша таблица истинности будет иметь 22 строки, что составляет 4 строки. Мы видим, что это именно так.

Теперь мы должны решить, что означает условие.В некоторой степени это зависит от нас. Важно то, что как только мы определим семантику условного оператора, мы будем придерживаться нашего определения. Но мы хотим уловить как можно больше смысла английского «if… then…», оставаясь при этом абсолютно точными в нашем языке.

Давайте рассмотрим все, чем может быть мир. Для первой строки таблицы истинности у нас есть, что P истинно, а Q истинно. Предположим, мир таков, что Линкольн побеждает на выборах, а также Линкольн будет президентом.Тогда, сказал бы я правду, если бы сказал: «Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн станет президентом»? Большинство людей согласны с этим. Точно так же предположим, что Линкольн победит на выборах, но Линкольн не будет президентом. Будет ли верным фраза «Если Линкольн победит на выборах, то Линкольн станет президентом»? Большинство согласны с тем, что сейчас это было бы ложью. Итак, первые строки нашей таблицы истинности бесспорны.

п. Q (P → Q)
т т Т
т F F
ф. т
ф. F

Однако некоторым ученикам трудно определить, какие значения истинности должны быть в следующих двух строках.Обратите внимание, что наш принцип двухвалентности требует, чтобы мы заполняли эти строки. Мы не можем оставить их пустыми. Если бы мы это сделали, мы бы сказали, что иногда условное выражение не может иметь истинного значения; то есть мы могли бы сказать, что иногда некоторые предложения не имеют значения истинности. Но наш принцип двухвалентности требует, чтобы во всех ситуациях каждое предложение было либо истинным, либо ложным, но никогда и тем и другим, никогда ни тем и другим. Итак, если мы собираемся соблюдать принцип двухвалентности, тогда мы должны указать либо T, либо F для каждой из последних двух строк.

На этом этапе полезно изменить наш пример. Давайте рассмотрим два разных примера, чтобы проиллюстрировать, как лучше всего заполнить оставшуюся часть таблицы истинности для условного выражения.

Сначала предположим, что я говорю вам следующее: «Если вы дадите мне 50 долларов, я куплю вам билет на концерт сегодня вечером». Пусть

Ты даешь мне 50 долларов

будет представлено в нашей логике

R

и пусть

Я куплю тебе билет на концерт сегодня вечером.

будет представлено

S

Тогда наше предложение —

(R → S)

И его таблица истинности — насколько мы сейчас понимаем — это:

R S (R → S)
т т Т
т F F
ф. т
ф. F

То есть, если вы дадите мне деньги, и я куплю вам билет, мое утверждение, что «Если вы дадите мне 50 долларов, я куплю вам билет на концерт сегодня вечером», верно.И, если вы дадите мне деньги, а я не куплю вам билет, я солгал, и мое заявление не соответствует действительности. А теперь предположим, что вы не дадите мне 50 долларов, а я куплю вам билет на концерт в подарок. Было ли мое заявление ложным? Нет. Я просто купил тебе билет в подарок, но, по-видимому, купил бы его, если бы ты дал мне деньги. Точно так же, если вы не дадите мне денег, и я не куплю вам билет, это полностью согласуется с моим утверждением.

Итак, лучший способ заполнить таблицу истинности следующий.

R S (R → S)
т т Т
т F F
ф. т Т
ф. F Т

Во-вторых, рассмотрим еще одно предложение, которое имеет то преимущество, что оно очень четкое по сравнению с этими двумя последними строками.Предположим, что a — конкретное натуральное число, только мы с вами не знаем, какое это число (натуральные числа — это целые положительные числа: 1, 2, 3, 4…). Рассмотрим теперь следующее предложение.

Если a делится без остатка на 4, то a без остатка делится на 2.

(Под «делимым без остатка» я имею в виду делимый без остатка). Первое, что нужно спросить себя: верно ли это предложение? Я надеюсь, что мы все согласимся с тем, что это так, даже если мы не знаем, что такое a. Пусть

a делится на 4 без остатка

будет представлено в нашей логике

U

и пусть

a делится на 2 без остатка

будет представлено

В

Тогда наше предложение —

(U → V)

И его таблица истинности — насколько мы сейчас понимаем — это:

U В (U → V)
т т Т
т F F
ф. т
ф. F

Теперь рассмотрим случай, когда а равно 6.Это похоже на третью строку таблицы истинности. Это не тот случай, когда 6 без остатка делится на 4, но это случай, когда 6 без остатка делится на 2. И рассмотрим случай, когда a равно 7. Это похоже на четвертую строку таблицы истинности; 7 не делится без остатка ни на 4, ни на 2. Но мы согласились, что условие истинно — независимо от значения a! Итак, таблица истинности должна быть: [3]

U В (U → V)
т т Т
т F F
ф. т Т
ф. F Т

Следуя этой схеме, мы также должны заполнить нашу таблицу о выборах:

п
Q (P → Q)
т т Т
т F F
ф. т Т
ф. F Т

Если вас это не устраивает, может быть полезно подумать об этих последних двух строках как о пустых случаях.Условное выражение говорит нам о том, что произойдет, если антецедент верен. Но когда антецедент ложен, мы просто по умолчанию принимаем значение true.

Теперь мы готовы предложить более формальным образом синтаксис и семантику условного оператора.

Синтаксис условного оператора: если Φ и Ψ — предложения, то

(Φ → Ψ)

— это приговор.

Семантика условного оператора задается таблицей истинности. Для любых предложений Φ и Ψ:

Φ Ψ (Φ → Ψ)
т т Т
т F F
ф. т Т
ф. F Т

Помните, что эта таблица истинности теперь является определением.Он определяет значение «→». Мы соглашаемся использовать символ «→» для обозначения этого и впредь.

Элементы логики высказываний, такие как «→», которые мы добавляем в наш язык, чтобы сформировать более сложные предложения, называются «функциональными связками истинности». Надеюсь, понятно почему: значение этого символа дано в функции истинности. (Если вы не знакомы или не уверены в идее функции, представьте функцию как машину, которая принимает один или несколько входных данных, а затем всегда выдает ровно один результат.Для условного выражения входными данными являются два значения истинности; и на выходе получается одно значение истинности. Например, поместите T F в функцию истинности под названием «→», и вы получите F.)

2.2 Альтернативные фразы на английском языке для условного. Только если.

English включает множество альтернативных фраз, которые кажутся эквивалентными условному. Кроме того, в английском и других естественных языках порядок условных обозначений иногда меняется на обратный. Мы можем уловить общий смысл этих случаев, осознав, что каждая из следующих фраз будет переведена как (P → Q).(В этих примерах мы смешиваем английский язык и нашу логику высказываний, чтобы лаконично проиллюстрировать вариации.)

Если P, то Q.

Q, если P.

При условии, что P, Q.

Q, при условии, что P.

Учитывая, что P, Q.

Q, учитывая, что P.

При условии, что P, Q.

Q, при условии, что P.

Когда P, то Q.

Q, когда P.

P означает

Q.

Q подразумевается P.

P достаточно для Q.

Q необходим для P.

Странность английского языка состоит в том, что слово «only» меняет значение «if». Вы можете убедиться в этом, если рассмотрите следующие два предложения.

Фифи — кошка, если Фифи — млекопитающее.

Фифи — кошка, только если Фифи — млекопитающее.

Предположим, мы знаем, что Фифи — это организм, но не знаем, что это за организм. Фифи могла быть собакой, кошкой, серым китом, божьей коровкой, губкой. Кажется очевидным, что первое предложение не обязательно верно.Если, например, Фифи — серый кит, то верно, что Фифи — млекопитающее, но неверно, что Фифи — кошка; Итак, первое предложение было бы ложным. Но второе предложение выглядит так, как будто оно должно быть правдой (учитывая то, что мы с вами знаем о кошках и млекопитающих).

Таким образом, мы должны осознавать, что «только если» не означает то же самое, что и «если». (Если бы это было так, эти два предложения имели бы одинаковое значение истинности во всех ситуациях.) Фактически, кажется, что «только если» лучше всего можно выразить условным выражением, где «только если» появляется перед следствием (помните, консеквент — это вторая часть условного выражения, на которую указывают стрелки).Таким образом, предложений такой формы:

P, только если Q.

Только если Q, P.

лучше всего выражается формулой

(P → Q)

2.3 Проверьте свое понимание условного

Иногда условные выражения сбивают с толку. Отчасти это происходит потому, что некоторые люди путают их с другим типом связки, определяющей функцию истины, о которой мы узнаем позже, которая называется «бикондиционной». Кроме того, иногда «if… then…» используется в английском языке по-другому (см. Раздел 17.7, если вам интересно узнать об альтернативных возможных значениях). Но с этого момента мы будем понимать условность, как описано выше. Чтобы проверить, правильно ли вы усвоили условное выражение, рассмотрите следующую загадку. [4]

У нас есть набор из четырех карт на рисунке 2.1. Каждая карта обладает следующим свойством: с одной стороны у нее есть форма, а с другой — буква. Мы перемешиваем и перемешиваем карты, переворачивая некоторые во время перемешивания. Затем выкладываем четыре карты:

Фигура 2.1

Учитывая наше ограничение, заключающееся в том, что каждая карта имеет букву на одной стороне и форму на другой, мы знаем, что карта 1 имеет форму на невидимой стороне; карта 2 имеет букву на невидимой стороне; и так далее.

Рассмотрим теперь следующую претензию:

Для каждой из этих четырех карт, если карта имеет Q на лицевой стороне карты, то у нее есть квадрат на стороне формы карты.

Вот наша загадка: какое минимальное количество карт мы должны перевернуть, чтобы проверить, верно ли это утверждение для всех четырех карт; и какие это карты, которые мы должны перевернуть? Конечно, мы могли бы перевернуть их все, но головоломка просит вас идентифицировать все и только карты, которые будут проверять претензию.

Прекратите читать сейчас и посмотрите, сможете ли вы определиться с ответом. Имейте в виду, что люди обычно плохо справляются с этой головоломкой. Подумайте об этом немного. Ответ дан ниже в задаче 1.

2.4 Альтернативные символы условного

Некоторые книги по логике и некоторые логики используют альтернативные символы для различных функциональных связок истинности. Значения (то есть таблицы истинности) всегда одинаковы, но используемые символы могут быть разными. По этой причине мы найдем время в этом тексте, чтобы кратко рассмотреть альтернативные символы.

Условное условие иногда обозначается следующим символом: «⊃». Таким образом, в таком случае (P → Q) будет записано

(P⊃Q)

2,5 Отрицание

В главе 1 мы рассматривали в качестве примера предложение

Земля не является центром Вселенной.

На первый взгляд такое предложение может показаться принципиально непохожим на условное. В нем не два предложения, а только одно. В предложении есть «не», но оно не связывает два предложения.Однако мы все еще можем думать об этом предложении как о построении функциональной связки истины, если мы готовы признать, что это предложение эквивалентно следующему предложению.

Это не тот случай, когда Земля является центром Вселенной.

Если это предложение эквивалентно предыдущему, то мы можем трактовать «Это не так» как функциональную связку истинности. Традиционно заменять эту громоздкую английскую фразу одним символом «¬». Тогда, смешав нашу логику высказываний с английской, мы получим

¬Земля — ​​центр Вселенной.

И если мы позволим W быть предложением на нашем языке, имеющим значение Земля является центром вселенной , мы напишем

¬W

Эта связка называется «отрицание». Его синтаксис: если Φ — предложение, то

¬Φ

— это приговор. Мы называем такое предложение «приговором отрицания».

Семантика отрицательного предложения также очевидна и дается следующей таблицей истинности.

Отрицать истинный приговор — значит говорить неправду.Отрицать ложное предложение — значит сказать правду.

Наш синтаксис всегда рекурсивен. Это означает, что синтаксические правила можно многократно применять к продукту правила. Другими словами, наш синтаксис говорит нам, что если P — предложение, то ¬P — это предложение. Но теперь обратите внимание, что снова применяется то же правило: если ¬P — это предложение, то ¬¬P — это предложение. И так далее. Точно так же, если P и Q — предложения, синтаксис условного выражения говорит нам, что (P → Q) — это предложение. Но тогда так же ¬ (P → Q), как и (¬ (P → Q) → (P → Q)).И так далее. Если у нас есть только одно атомарное предложение, наш рекурсивный синтаксис позволит нам формировать бесконечно много разных предложений с отрицанием и условным выражением.

2.6 Альтернативные символы для отрицания

В некоторых текстах может использоваться символ «~» для отрицания. Таким образом, ¬P будет выражено с помощью

.

~

п.

2.7 Проблемы

  1. Ответ на нашу карточную игру был таков: вам нужно перевернуть только карты 3 и 4. Поначалу это может показаться многим запутанным.Но помните значение условия: оно может быть ложным, только если первая часть истинна, а вторая ложна. Предложение, которое мы хотим проверить, звучит так: «Для каждой из этих четырех карт, если карта имеет Q на стороне буквы карты, то у нее есть квадрат на стороне формы карты». Пусть Q означает «у карты есть Q на лицевой стороне карты». Пусть S означает «карта имеет квадрат на стороне формы карты». Затем мы могли бы составить таблицу истинности, чтобы выразить смысл проверяемого утверждения:
Q S (Q → S)
т т Т
т F F
ф. т Т
ф. F Т

Посмотрите на карты.Первая карта имеет букву R. Итак, предложение Q ложно. Но тогда мы оказываемся в ситуации, подобной двум последним строкам таблицы истинности, и условное выражение не может быть ложным. Нам не нужно проверять эту карту. На второй карте есть квадрат. Это означает, что S верно для этой карты. Но тогда мы оказываемся в ситуации, представленной либо первой, либо третьей строкой таблицы истинности. Опять же, утверждение, что (Q → S) не может быть ложным ни в одном случае по отношению к этой карте, поэтому нет смысла проверять эту карту.Третья карта показывает Q. Это соответствует ситуации, которая похожа на первую или вторую строку таблицы истинности. Тогда мы не можем сказать, истинно ли (Q → S) для этой карты, не перевернув карту. Точно так же последняя карта показывает ситуацию, когда S ложно, поэтому мы находимся в ситуации, представленной либо второй, либо последней строкой таблицы истинности. Мы должны перевернуть карту, чтобы определить, является ли (Q → S) истинным или ложным для этой карты.

Попробуйте решить эту головоломку еще раз. Рассмотрим следующее утверждение о тех же четырех картах: если на лицевой стороне карты есть звезда, значит, на буквенной стороне карты есть буква R.Какое минимальное количество карт вы должны перевернуть, чтобы проверить это заявление? Какие это карты?

  1. Рассмотрим следующие четыре карты на рисунке 2.2. Каждая карта имеет букву на одной стороне и фигуру на другой стороне.
Рисунок 2.2

Для каждого из следующих утверждений, чтобы определить, верно ли утверждение для всех четырех карт, опишите (1) минимальное количество карт, которое вы должны перевернуть, чтобы проверить претензию, и (2) какие эти карты находятся.

  1. На лицевой стороне карты нет буквы Q.
  2. На лицевой стороне карты нет восьмиугольника.
  3. Если на стороне формы карты есть треугольник, то на стороне буквы карты есть буква P.
  4. Буква R отображается на лицевой стороне карты только в том случае, если на лицевой стороне карты есть ромб.
  5. На лицевой стороне карты изображен шестиугольник при условии, что на лицевой стороне карты есть буква P.
  6. Ромб появляется на лицевой стороне карты только в том случае, если на лицевой стороне карты есть буква P.

3. Что из следующего имеет правильный синтаксис? Какие из них имеют неправильный синтаксис?

  1. П → К
  2. ¬ (P → Q)
  3. (¬P → Q)
  4. (P¬ → Q)
  5. (П → ¬Q)
  6. ¬¬P
  7. ¬P¬
  8. (¬P¬Q)
  9. (¬P → ¬Q)
  10. (¬P → ¬Q) ¬

4. Используйте следующий ключ перевода, чтобы перевести следующие предложения в логику высказываний.

Ключ перевода
Логика Английский
п. Абэ умеет.
К Абэ честный.
  1. Если Эйб честен, Эйб может.
  2. Абэ честен, только если Абэ может.
  3. Абэ может, если Абэ честен.
  4. Эйб честен, только если способен на это.
  5. Абэ не умеет.
  6. Дело не в том, что Эйб не может.
  7. Абэ не может, только если Абэ нечестен.
  8. Абэ может, при условии, что Абэ нечестен.
  9. Если Эйб не может, значит, Абэ нечестен.
  10. Дело не в том, что если Эйб может, то Абэ честен.

5. Составьте свой собственный ключ перевода, чтобы перевести следующие предложения в логику высказываний. Затем используйте свой ключ, чтобы перевести предложения в логику высказываний. Ваш ключ перевода должен содержать только атомарные предложения. Это должны быть все и только элементарные предложения, необходимые для перевода следующих английских предложений. Пусть вас не беспокоит, что некоторые предложения неверны.

  1. Джози кошка.
  2. Джози — млекопитающее.
  3. Джози не млекопитающее.
  4. Если Джози не кошка, значит, Джози не млекопитающее.
  5. Джози — рыба.
  6. Если Джози — млекопитающее, Джози не рыба.
  7. Джози — кошка, только если Джози — млекопитающее.
  8. Джози — рыба, только если Джози не млекопитающее.
  9. Дело не в том, что Джози не млекопитающее.
  10. Джози не кошка, если Джози рыба.

6. В этой задаче будет использоваться принцип рекурсивности нашего синтаксиса. Перевод этих предложений сложнее. Составьте свой собственный ключ перевода, чтобы перевести следующие предложения в логику высказываний. Ваш ключ перевода должен содержать только атомарные предложения; это должны быть все и только элементарные предложения, необходимые для перевода следующих английских предложений.

  1. Это не тот случай, когда Том не сдаст экзамен.
  2. Если Том учится, Том сдаст экзамен.
  3. Это не тот случай, если Том учится, то Том сдает экзамен.
  4. Если Том не учится, то Том не сдаст экзамен.
  5. Если Том учится, Том сдаст экзамен — при условии, что он вовремя проснется.
  6. Если Том сдает экзамен, то если Стив учится, Стив сдает экзамен.
  7. Дело не в том, что если Том сдает экзамен, то если Стив учится, то Стив сдает экзамен.
  8. Если Том не сдает экзамен, то если Стив учится, Стив сдает экзамен.
  9. Если Том не сдает экзамен, это не тот случай, если Стив будет учиться, то Стив не сдаст экзамен.
  10. Если Том не сдает экзамен, то если Стив не учится, Стив не сдает экзамен.

7. Составьте свой собственный ключ перевода, чтобы переводить следующие предложения на английский язык. Выпишите английские эквиваленты в английских предложениях, которые кажутся (насколько это возможно) естественными.

  1. (П → С)
  2. ¬¬R
  3. (S → R)
  4. ¬ (S → R)
  5. (¬S → ¬¬R)
  6. ¬¬ (К → С)
  7. (¬R → S)
  8. (R → ¬S)
  9. (¬R → ¬S)
  10. ¬ (¬R → ¬S)

[3] Во втором примере с неизвестным номером a одна вещь немного забавная.Мы не сможем найти число, которое делится без остатка на 4 и не делится без остатка на 2, поэтому мир никогда не будет похож на описанный во второй строке этой таблицы истинности. Об этом нужно сказать две вещи. Во-первых, эта странность возникает из-за математических фактов, а не фактов нашей логики высказываний, то есть нам нужно знать, что означает «делимый», что означают «4» и «2» и так далее, чтобы понять предложение. . Итак, когда мы видим, что вторая строка невозможна, мы основываем это на нашем знании математики, а не на знании логики высказываний.Во-вторых, некоторые условные выражения могут быть ложными. При определении условного выражения нам необходимо учитывать все возможные условные выражения; Итак, мы должны определить условное выражение для любого случая, когда антецедент истинен, а следствие ложно, даже если этого не может произойти в данном конкретном примере.

[4] См. Wason (1966).

.
Разное

Leave a Comment

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *