Метод быстрого счета: Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Приёмы устного счета для быстрого вычисления в уме

Зачем считать в уме, если решить любую арифметическую задачу можно на калькуляторе. Современная медицина и психология доказывают, что устный счет — это тренаж для серых клеточек. Выполнять такую гимнастику необходимо для развития памяти и математических способностей.

Известно множество приёмов для упрощения вычислений в уме. Все, кто видел знаменитую картину Богданова-Бельского «Устный счёт», всегда удивляются — как крестьянские дети решают такую непростую задачу, как деление суммы из пяти чисел, которые предварительно ещё надо возвести в квадрат?

Оказывается, эти дети — ученики известного педагога-математика Сергея Александровича Рачицкого (он также изображен на картине). Это не вундеркинды — ученики начальных классов деревенской школы XIX века. Но все они уже знают приёмы упрощения арифметических расчетов и выучили таблицу умножения! Поэтому решить такую задачку этим детишкам вполне под силу!

Секреты устного счёта

Существуют приемы устного счета простые алгоритмы, которые желательно довести до автоматизма. После овладения простыми приёмами можно переходить к освоению более сложных.

Прибавляем числа 7,8,9

Для упрощения вычислений числа 7,8,9 сначала надо округлять до 10, а затем вычитать прибавку. К примеру, чтобы прибавить 9 к двузначному числу, надо сначала прибавить 10, а затем вычесть 1 и т.д.

Примеры:

56+7=56+10-3=63

47+8=47+10-2=55

73+9=73+10-1=82

Быстро складываем двузначные числа

Если последняя цифра двузначного числа больше пяти, округляем его в сторону увеличения. Выполняем сложение, из полученной суммы отнимаем «добавку».

Примеры:

54+39=54+40-1=93

26+38=26+40-2=64

Если последняя цифра двузначного числа меньше пяти, то складываем по разрядам: сначала прибавляем десятки, затем — единицы.

Пример:

57+32=57+30+2=89

Если слагаемые поменять местами, то сначала можно округлить число 57 до 60, а потом вычесть из общей суммы 3:

32+57=32+60-3=89

Складываем в уме трехзначные числа

Быстрый счет и сложение трехзначных чисел — это возможно? Да. Для этого надо разобрать трехзначные числа на сотни, десятки, единицы и поочередно их приплюсовать.

Пример:

249+533=(200+500)+(40+30)+(9+3)=782

Особенности вычитания: приведение к круглым числам

Вычитаемые округляем до 10, до 100. Если надо вычесть двузначное число, надо округлить его до 100, вычесть, а затем к остатку прибавить поправку. Это актуально если поправка невелика.

Примеры:

67-9=67-10+1=58

576-88=576-100+12=488

Вычитаем в уме трехзначные числа

Если в свое время был хорошо усвоен состав чисел от 1 до 10, то вычитание можно производить по частям и в указанном порядке: сотни, десятки, единицы.

Пример:

843-596=843-500-90-6=343-90-6=253-6=247 

Умножить и разделить

Моментально умножать и делить в уме? Это возможно, но без знания таблицы умножения не обойтись. Таблица умножения — это золотой ключик к быстрому счету в уме! Она применяется и при умножении, и при делении. Вспомним, что в начальных классах деревенской школы в дореволюционной Смоленской губернии (картина «Устный счет») дети знали продолжение таблицы умножения — с 11 до 19!

Хотя на мой взгляд достаточно знать таблицу от 1 до 10, чтобы мочь перемножать бо´льшие числа. Например:

15*16=15*10+(10*6+5*6)=150+60+30=240

Умножаем и делим на 4, 6, 8, 9

Овладев таблицей умножения на 2 и на 3 до автоматизма, сделать остальные расчеты будет проще простого.

Для умножения и деления двух- и трехзначных чисел применяем простые приёмы:

  • умножить на 4 — это дважды умножить на 2;

  • умножить на 6 — это значит умножить на 2, а потом на 3;

  • умножить на 8 — это трижды умножить на 2;

  • умножить на 9 — это дважды умножить на 3.

Например:

37*4=(37*2)*2=74*2=148;

412*6=(412*2)·3=824·3=2472

Аналогично:

  • разделить на 4 — это дважды разделить на 2;

  • разделить на 6 — это сначала разделить на 2, а потом на 3;

  • разделить на 8 — это трижды разделить на 2;

  • разделить на 9 — это дважды разделить на 3.

Например:

412:4=(412:2):2=206:2=103

312:6=(312:2):3=156:3=52

Как умножать и делить на 5

Число 5 — это половина от 10 (10:2). Поэтому сначала умножаем на 10, затем полученное делим пополам.

Пример:

326*5=(326*10):2=3260:2=1630

Еще проще правило деления на 5. Сначала умножаем на 2, а затем полученное делим на 10.

326:5=(326·2):10=652:10=65,2.

Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, необязательно его дважды умножать на 3. Достаточно его умножить на 10 и вычесть из полученного умножаемое число. Сравним, что быстрее:

37*9=(37*3)*3=111*3=333

или

37*9=37*10 — 37=370-37=333

Также давно замечены частные закономерности, которые значительно упрощают умножение двузначных чисел на 11 или на 101. Так, при умножении на 11, двузначное число как бы раздвигается. Составляющие его цифры остаются по краям, а в центре оказывается их сумма. Например: 24*11=264. При умножении на 101, достаточно приписать к двузначному числу такое же. 24*101= 2424. Простота и логичность таких примеров вызывает восхищение. Встречаются такие задачи очень редко — это примеры занимательные, так называемые маленькие хитрости.

Счет на пальцах

Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы — это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.

Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:

  • Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
  • Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
  • Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа — единицам. В нашем примере — 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.

Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это — из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9.  А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения?  Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.

Также существует еще множество подобных приемов с применением пальцев для каких-то единичных математических операций, но это актуально пока вы этим пользуетесь и тут же забывается при прекращении применения. Поэтому лучше выучить стандартные алгоритмы, которые останутся на всю жизнь. 

Устный счёт на автомате

  • Во-первых, необходимо хорошо знать состав числа и таблицу умножения.

  • Во-вторых, надо запомнить приемы упрощения расчётов. Как выяснилось, таких математических алгоритмов не так уж много.

  • В-третьих, чтобы приём превратился в удобный навык, надо постоянно проводить краткие «мозговые штурмы» — упражняться в устных вычислениях, используя тот или иной алгоритм.

Тренировки должны быть короткими: решить в уме по 3-4 примера, используя один и тот же приём, затем переходить к следующему. Надо стремиться использовать любую свободную минутку — и полезно, и нескучно. Благодаря простым тренировкам все вычисления со временем будут совершаться молниеносно и без ошибок. Это очень пригодится в жизни и выручит в непростых ситуациях.

Приемы быстрого счета без калькулятора

18 мая, 2013

Автор: Maksim

Хоть и считается, что математика наводит ужас на значительную часть населения, но деньги считать умеют все. И вот как раз влет это умеют делать люди, далекие от математики.

Помнится, бабушка моего мужа показывала ему на пальцах таблицу умножения на 9. Никакого образования, только огромная практика торговли редиской и клубникой на рынке!

Приемы счета

Так вот сегодня я предлагаю вам несколько интересненьких приемов устного счета. Ведь сколько бы замечательных гаджетов (телефоны, смартфоны, айподы и айпады, ай, да чего там…) своя голова она всегда лучше.

Устный счет — приемы

Итак, читаем, тут же проверяем и запоминаем приемы вычисления в уме.

1. Умножение на 11

Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:

53 х 11 = 583
Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583

59 х 11 = 649
Шаг 1 — 5 + 9 = 14
Шаг 2 — Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)
Шаг 3 — На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649

2. Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85 х 85 = 7225
Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

45 x 45 = 2025
Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20
Шаг 2 — 2025

3. Умножение на 5

Большинство людей очень просто запоминает таблицу умножения на 5, но, когда приходится иметь дело с большими числами, сделать это становится сложнее. Или нет? Этот прием невероятно прост.

Возьмите любое число, разделите на 2 (другими словами, поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, не обращайте внимание на запятую и в конце добавьте 5.

Это срабатывает всегда:
2682×5 = (2682 / 2) & 5 или 0
2682 / 2 = 1341 (целое число, поэтому добавьте 0)
13410
Давайте попробуем другой пример:
5887×5
2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)
29435

4. Умножение на 9

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9×3 – загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×3 – это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 7). Ответ – 27.

Умножение на 92u3u

5. Умножение на 4

Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:
58×4 = (58×2) + (58×2) = (116) + (116) = 232

6. Подсчет чаевых

Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это.

Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:
15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2)
$2.50 + $1.25 = $3.75

И, как следствие):  чтобы умножить число на 1,5 нужно к исходному числу прибавить его половину. Например,

34*1,5 = 34+17=51

125*1,5= 125+62,5=187,5

7. Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:
32×125 все равно, что:
16×250 все равно, что:
8×500 все равно, что:
4×1000 = 4,000

8. Деление на 5

На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно,— просто умножить на 2 и перенести запятую: 195 / 5
Шаг1: 195×2 = 390
Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.
2978 / 5
Шаг1: 2978×2 = 5956
Шаг2: 595,6

9. Вычитание из 1000

Чтобы выполнить вычитание из 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10:

1000-648

Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352

И, напоследок, несколько математических трюков:

Интересные результаты:

1 х 1 = 1
11 х 11 = 121
111 х 111 = 12321
1111 х 1111 = 1234321
11111 х 11111 = 123454321
111111 х 111111 = 12345654321
1111111 х 1111111 = 1234567654321
11111111 х 11111111 = 123456787654321
111111111 х 111111111 = 12345678987654321

1 х 9 + 2 = 11
12 х 9 + 3 = 111
123 х 9 + 4 = 1111
1234 х 9 + 5 = 11111
12345 х 9 + 6 = 111111
123456 х 9 + 7 = 1111111
1234567 х 9 + 8 = 11111111
12345678 х 9 + 9 = 111111111
123456789 х 9 + 10 = 1111111111

9 х 9 + 7 = 88
98 х 9 + 6 = 888
987 х 9 + 5 = 8888
9876 х 9 + 4 = 88888
98765 х 9 + 3 = 888888
987654 х 9 + 2 = 8888888
9876543 х 9 + 1 = 88888888
98765432 х 9 + 0 = 888888888

1 х 8 + 1 = 9
12 х 8 + 2 = 98
123 х 8 + 3 = 987
1234 х 8 + 4 = 9876
12345 х 8 + 5 = 98765
123456 х 8 + 6 = 987654
1234567 х 8 + 7 = 9876543
12345678 х 8 + 8 = 98765432
123456789 х 8 + 9 = 987654321

Любимая цифра.

Предложите  задумать свою любимую цифру. А теперь выполните умножение (на калькуляторе) числа 15873 на любимую цифру, умноженную на 7. Например, если любимая цифра 5, то умножить нужно на 35. Получится произведение, записанное только любимой цифрой.

Возможен и второй вариант: умножить число 12345679 на любимую цифру, умноженную на 9, в нашем случае это число 45.

Объяснение этого фокуса достаточно простое: если умножить 15873 на 7, то получится 111111, а если умножить 12345679 на 9, то получится 111111111.

Угадать возраст.

Умножаем число своих лет на 10, затем любое однозначное число умножить на 9,  из первого произведения вычесть второе и сообщить полученную разность. В этом числе “фокусник” должен цифру единиц сложить с цифрой десятков – получится число лет.

Всегда девятка

Предложите кому-нибудь написать число из трех разных цифр, под ним — написать число из этих же цифр, но в обратном порядке. Затем вычесть меньшее из большего. Когда зритель это сделает, скажите ему, что в середине числа стоит девятка.

Всегда 9

Секрет фокуса: Вы будете правы, потому что девятка всегда будет в середине независимо от того, какие цифры написаны.

Эффективные способы быстрого счета в уме

На чтение 11 мин. Просмотров 395 Опубликовано

Многие спрашивают, как научиться быстро считать в уме, чтобы это выглядело незаметно и неглупо. Ведь современные технологии позволяют меньше пользоваться своей памятью и умственными способностями. Но иногда нет под рукой данных технологий и порой легче и быстрее посчитать что-то в уме. Многие люди начали считать на калькуляторе или телефоне даже элементарные вещи, что также не очень хорошо. Умение считать в уме остается полезным навыком и для современного человека, несмотря на то, что он владеет всевозможными устройствами, способными считать за него. Возможность обходиться без специальных девайсов и в нужный момент оперативно решить поставленную арифметическую задачу – это не единственное применение данного навыка. Помимо утилитарного назначения, приемы устного счета позволят научиться организовывать себя в различных жизненных ситуациях. Кроме того, умение считать в уме, несомненно, положительно скажется на имидже ваших интеллектуальных способностей и выделит вас среди окружающих «гуманитариев».

Способы быстрого счета

Существует определенный набор простейших арифметических правил и закономерностей, которые не только нужно знать для устного счета, но и постоянно держать в голове, чтобы в нужный момент оперативно применить самый эффективный алгоритм. Для этого необходимо довести их использование до автоматизма, закрепить в машинальной памяти, чтобы от решения самых простых примеров успешно перейти к более сложным арифметическим действиям. Вот основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

Вычитание 7, 8, 9

Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3. Если обычно вы считаете по-другому, то для лучшего результата вам нужно привыкнуть к этому новому способу.

Умножение на 9

Быстро умножить любое число на 9 можно при помощи пальцев рук.

Эффективные способы быстрого счета в уме

Деление и умножение на 4 и 8

Деление (или умножение) на 4 и на 8 являются двукратным или трехкратным делением (или умножением) на 2. Производить эти операции удобно последовательно.

Например, 46*4=46*2*2 =92*2= 184.

Умножение на 5

Умножать на 5 очень просто. Умножение на 5, и деление на 2 – это практически одно и то же. Так 88*5=440, а 88/2=44, поэтому всегда умножайте на 5, поделив число на 2 и умножив его на 10.

Умножение на 25

Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100). Так 120*25 = 120/4*100=30*100=3000.

Умножение на однозначные числа

Чтобы быстро считать в уме, полезно уметь умножать двузначные и трехзначные числа на однозначные. Для этого нужно умножать двух- или трехзначное число поразрядно.

Например, умножим 83*7.

Для этого сначала умножим 8 на 7 (и допишем ноль, так как 8 — разряд десятков), и прибавим к этому числу произведение 3 и 7. Таким образом, 83*7=80*7 +3*7= 560+21=581.

Возьмем более сложный пример: 236*3.

Итак, умножаем сложное число на 3 по разрядно: 200*3+30*3+6*3=600+90+18=708.

Определение диапазонов

Чтобы не запутаться в алгоритмах и по ошибке не выдать совсем неверный ответ, важно уметь строить примерный диапазон ответов. Так умножение однозначных чисел друг на друга может дать результат не более 90 (9*9=81), двузначных — не более 10 000 (99*99=9801), трехзначных не более — 1 000 000 (999*999=998001).

Раскладка на десятки и единицы

Способ заключается в разбиении обоих множителей на десятки и единицы с последующим перемножением получившихся четырех чисел. Этот метод достаточно прост, но требует умения удерживать в памяти одновременно до трех чисел и при этом параллельно производить арифметические действия.

Например:

63*85 = (60+3)*(80+5) = 60*80 + 60*5 +3*80 +3*5=4800+300+240+15=5355

Проще такие примеры решаются в 3 действия:

1. Сначала умножаются десятки друг на друга.
2. Потом складываются 2 произведения единиц на десятки.
3. Затем прибавляется произведение единиц.

Схематично это можно описать так:

— Первое действие: 60*80 = 4800 — запоминаем
— Второе действие: 60*5+3*80 = 540 – запоминаем
— Третье действие: (4800+540)+3*5= 5355 – ответ

Для максимально быстрого эффекта потребуется хорошее знание таблицы умножения чисел до 10, умение складывать числа (до трехзначных), а также способность быстро переключать внимание с одного действия на другое, держа предыдущий результат в уме. Последний навык удобно тренировать путем визуализации совершаемых арифметических операций, когда вы должны представлять себе картинку вашего решения, а также промежуточные результаты.

Мысленная визуализация умножения в столбик

56*67 – посчитаем в столбик. Наверное, счет столбиком содержит максимальное количество действий и требует постоянно держать в уме вспомогательные числа.

Но его можно упростить:
Первое действие: 56*7 = 350+42=392
Второе действие: 56*6=300+36=336 (ну или 392-56)
Третье действие: 336*10+392=3360+392=3 752

Частные методики умножения двузначных чисел до 30

Преимуществом трех способов умножения двузначных для устного счета состоит в том, что они универсальны для любых чисел и при хорошем навыке устного счета, они могут позволить вам достаточно быстро прийти к правильному ответу. Однако эффективность умножения некоторых двузначных чисел в уме может быть выше за счет меньшего количества действий при использовании специальных алгоритмов.

Умножение на 11

Чтобы умножить любое двузначное число на 11, нужно между первой и второй цифрой умножаемого числа вписать сумму первой и второй цифры.

Например: 23*11, пишем 2 и 3, а между ними ставим сумму (2+3). Или короче, что 23*11= 2 (2+3) 3 = 253.

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10.

Например: 29*11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.
Быстро умножать на 11 устно можно не только двузначные числа, но и любые другие числа.

Например: 324 * 11=3(3+2)(2+4)4=3564

Квадрат суммы, квадрат разности

Для того чтобы возвести в квадрат двузначное число, можно воспользоваться формулами квадрата суммы или квадрата разности. Например:

23²= (20+3)2 = 202 + 2*3*20 + 32 = 400+120+9 = 529

69² = (70-1)2 = 702 – 70*2*1 + 12 = 4 900-140+1 = 4 761

Возведение в квадрат чисел, заканчивающихся на 5.Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост. Число до последней пятерки, умножаем на это же число плюс единица. К оставшемуся числу дописываем 25.

25² = (2*(2+1)) 25 = 625

85² = (8*(8+1)) 25 = 7 225

Это верно и для более сложных примеров:

155² = (15*(15+1)) 25 = (15*16)25 = 24 025

Методика умножения чисел до 20 очень проста:

16*18 = (16+8)*10+6*8 = 288

Доказать правильность этого метода просто: 16*18 = (10+6)*(10+8) = 10*10+10*6+10*8+6*8 = 10*(10+6+8) +6*8. Последнее выражение и является демонстрацией описанного выше метода. По сути, этот метод является частным способом использования опорных чисел . В данном случае опорным числом является 10. В последнем выражении доказательства видно, что именно на 10 мы умножаем скобку. Но в качестве опорного числа можно использовать и любые другие числа, из которых наиболее удобными являются 20, 25, 50, 100…

Опорное число

Посмотрите на суть этого метода на примере умножения 15 и 18. Здесь удобно использовать опорное число 10. 15 больше десяти на 5, а 18 больше десяти на 8.

Для того, чтобы узнать их произведение, нужно совершить следующие операции:

15*18

1. К любому из множителей прибавить число, на которое второй множитель больше опорного. То есть прибавить 8 к 15, или 5 к 18. В первом и втором случае получается одно и то же: 23.
2. Затем 23 умножаем на опорное число, то есть на 10. Ответ: 230
3. К 230 прибавляем произведение 5*8. Ответ: 270.

Опорное число при умножении чисел до 100.Наиболее популярной методикой умножения больших чисел в уме является прием использования, так называемого, опорного числа
Опорное число при умножении – это число, к которому близко находятся оба множителя и на которое удобно умножать. При умножении чисел до 100 опорными числами удобно использовать все числа кратные 10, а особенно 10, 20, 50 и 100.
Методика использования опорного числа зависит от того, являются ли множители больше или меньше опорного числа. Тут возможны три случая. Покажем, все 3 методики на примерах.
Оба числа меньше опорного (под опорным). Допустим, мы хотим умножить 48 на 47.
Эти числа находятся достаточно близко к числу 50, а следовательно удобно использовать 50 в качестве опорного числа.
Чтобы умножить 48 на 47, используя опорное число 50, нужно:

47*48

1. Из 47 вычесть столько, сколько не хватает 48 до 50, то есть 2. Получается 45 (или
из 48 вычесть 3 – это всегда одно и то же)
2. Дальше 45 умножаем на 50 = 2250
3. Затем прибавляем 2*3 к этому результату – 2 256

50 (опорное число)

47                          48

3(50-47)            2(50-48)

(47-2)*50+2*3=2250+6=2256

Если числа меньше опорного, то из первого множителя вычитаем разность между опорным числом и вторым множителем. Если числа больше опорного, то к первому множителю прибавляем разность опорного числа и второго множителя .

50(опорное число)

51                         63

1                           13

(51+13)*50+(13*1)=3200+13=3213

Одно число под опорным, а другое над.Третий случай использования опорного числа – когда одно число больше опорного, а другое меньше. Такие примеры решаются не сложнее, чем предыдущие. Меньший множитель увеличиваем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей. Или больший множитель уменьшаем на разность между вторым множителем и опорным числом, результат умножаем на опорное число и вычитаем произведение разностей опорного числа и множителей.

50(опорное число)

45                                   52

5(50-45)                    2(52-50)

(52-5)*50-5*2=47*50-10=2340 или (45+2)*50-5*2=47*50-10=2340

При умножении двузначных чисел из разных десятков в качестве опорного числа удобнее
брать круглое число , которое больше большего множителя.

27*89

90(опорное число)

27                             89

63 (90-27)             1 (90-89)

(89-63)*90+63*1=2340+63=2403

Таким образом, с помощью использования одного опорного числа можно умножать большую комбинацию двузначных чисел. Описанные выше методики можно разделить на универсальные (подходящие для любых чисел) и частные (удобные для конкретных случаев).

В крайнем случае, можно воспользоваться «крестьянским» счетом. Чтобы умножить одно число на другое, допустим 21*75, нам нужно записать числа в две колонки. Первое число левой колонки 21, первое число правого столбика 75. Затем числа стоящие в левой колонке делить на 2 и отбрасывать остаток, пока не получим единицу, а числа в правой колонке умножаем на 2. Все строчки, имеющие четные числа в левой колонке вычеркиваем, а оставшиеся числа в правой колонке складываем, у нас получается точный результат.

21*75

21     75

10                    150

5                      300

2                      600

1                    1200

Чтобы научиться быстро считать в уме, нужна практика, нет волшебных методик, чтобы с первого раза начать быстро считать в голове, необходимо постоянно тренировать свой мозг и заставлять его быстро работать и считать.

Заключение

Как и все способы вычислений, данные методы быстрого счета имеют свои достоинства и недостатки:

ПЛЮСЫ:

1.С помощью различных методов быстрых вычислений даже самый малообразованный человек может считать.
2. Способы быстрого счета могут помочь избавиться от сложного действия, путем замены его на несколько более простых.
3.Способы быстрого счета полезны в ситуациях, когда нельзя воспользоваться умножением в столбик.
4.Способы быстрого счета позволяют сократить время вычислений.
5.Устный счет развивает умственную деятельность, что помогает быстрее ориентироваться в сложных жизненных ситуациях.
6. Техника устного счета делает процесс вычислений более увлекательным и интересным.

МИНУСЫ:

1.Зачастую, решать пример, пользуясь способами быстрого счета, оказывается дольше, чем просто перемножать в столбик, так как приходится выполнять большее количество действий, каждое из которых проще первоначального.
2.Бывают ситуации, когда человек от волнения или еще чего-то забывает способы быстрого счета или вовсе — путается в них; в таких случаях ответ получается неправильным, а способы являются фактически бесполезными.
3.Не для всех случаев разработаны способы быстрого счета .
4.Вычисляя с использованием техники быстрого счета, нужно держать множество ответов в голове, в чем можно запутаться и прийти к ошибочному результату.

Несомненно, практика играет важнейшую роль в развитии любых способностей. Но навык устного счета не опирается на один лишь опыт. Это доказывают люди, которые способны считать в уме сложные примеры. Например, такие люди могут умножать и делить трехзначные числа, совершать арифметические операции, которые не каждый человек и в столбик сможет посчитать. Что же необходимо знать и уметь обычному человеку, чтобы овладеть такой феноменальной способностью? На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме.

Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка: 

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета. Нужно отметить, что третий фактор имеет ключевое значение. Не обладая необходимым опытом, вы не сможете удивить окружающих быстрым счетом, даже если вы знаете самый удобный алгоритм. Однако не стоит недооценивать важность первых двух составляющих, поскольку имея в своем арсенале способности и набор нужных алгоритмов, вы сможете удивить даже самого опытного «счетовода», при условии, что вы тренировались одинаковое время.

Как освоить устный счёт школьникам и взрослым — Лайфхакер

Кроме отличных оценок по математике, умение считать в уме даёт массу преимуществ на протяжении всей жизни. Упражняясь в вычислениях без калькулятора, вы:

  • Держите мозг в тонусе. Для эффективной работы интеллект, как и мускулатура, нуждается в постоянных тренировках. Счёт в уме развивает память, логическое мышление и концентрацию, повышает способность к обучению, помогает быстрее ориентироваться в ситуации и принимать правильные решения.
  • Заботитесь о своём психическом здоровье. Исследования показывают , что при устном счёте задействованы участки мозга, ответственные за депрессию и тревожность. Чем активнее работают эти зоны, тем меньше риск неврозов и чёрной тоски.
  • Страхуетесь от проколов в бытовых ситуациях. Способность быстро посчитать сдачу, размер чаевых, количество калорий или проценты по кредиту защищает вас от незапланированных трат, лишнего веса и мошенников.

Освоить приёмы быстрого счёта можно в любом возрасте. Не беда, если сначала вы будете немного «тормозить». Ежедневно практикуйте основные арифметические операции по 10–15 минут и уже через пару месяцев достигнете заметных результатов.

Как научиться складывать в уме

Суммируем однозначные числа

Начните тренировку с элементарного уровня — сложения однозначных чисел с переходом через десяток. Эту технику осваивают в первом классе, но почему-то часто забывают с возрастом.

  • Предположим, вам нужно сложить 7 и 8.
  • Посчитайте, сколько семёрке не хватает до десяти: 10 − 7 = 3.
  • Разложите восьмёрку на сумму трёх и второй части: 8 = 3 + 5.
  • Добавьте вторую часть к десяти: 10 + 5 = 15.

Тот же приём «опоры на десятку» используйте при суммировании однозначных чисел с двузначными, трёхзначными и так далее. Оттачивайте простейшее сложение, пока не научитесь совершать одну операцию за пару секунд.

Суммируем многозначные числа

Основной принцип — разбить слагаемые числа на разряды (тысячи, сотни, десятки, единицы) и суммировать между собой одинаковые, начиная с самых крупных.

Допустим, вы прибавляете 1 574 к 689.

  • 1 574 раскладывается на четыре разряда: 1 000, 500, 70 и 4. 689 — на три: 600, 80 и 9.
  • Теперь суммируем: тысячи с тысячами (1 000 + 0 = 1 000), сотни с сотнями (500 + 600 = 1 100), десятки с десятками (70 + 80 = 150), единицы с единицами (4 + 9 = 13).
  • Группируем числа так, как нам удобно, и складываем то, что получилось: (1 000 + 1 100) + (150 + 13) = 2 100 + 163 = 2 263.

Основная сложность — удержать в голове все промежуточные результаты. Упражняясь в таком счёте, вы заодно тренируете память.

Как научиться вычитать в уме

Вычитаем однозначные числа

Снова возвращаемся в первый класс и оттачиваем навык вычитания однозначного числа с переходом через десяток.

Предположим, вы хотите отнять 8 от 35.

  • Представьте 35 в виде суммы 30 + 5.
  • Из 5 вычесть 8 нельзя, поэтому раскладываем 8 на сумму 5 + 3.
  • Вычтем 5 из 35 и получим 30. Затем отнимем от 30 оставшуюся тройку: 30 − 3 = 27.

Вычитаем многозначные числа

В отличие от сложения, при вычитании многозначных чисел на разряды нужно разбивать только то, которое вы отнимаете.

Например, вас просят отнять 347 от 932.

  • Число 347 состоит из трёх разрядных частей: 300 + 40 + 7.
  • Сначала вычитаем сотни: 932 − 300 = 632.
  • Переходим к десяткам: 632 − 40. Для удобства 40 можно представить в виде суммы 30 + 10. Сперва вычтем 30 и получим 632 − 30 = 602. Теперь отнимем от 602 оставшиеся 10 и получим 592.
  • Осталось разобраться с единицами, используя всё ту же «опору на десятку». Сперва вычитаем из 592 двойку: 592 − 2 = 590. А затем то, что осталось от семёрки: 7 − 2 = 5. Получаем: 590 − 5 = 585.

Как научиться умножать в уме

Лайфхакер уже писал о том, как быстро освоить таблицу умножения.

Добавим, что наибольшие трудности и у детей, и у взрослых вызывает умножение 7 на 8. Есть простое правило, которое поможет вам никогда не ошибаться в этом вопросе. Просто запомните: «пять, шесть, семь, восемь» — 56 = 7 × 8.

А теперь перейдём к более сложным случаям.

Умножаем однозначные числа на многозначные

По сути, здесь всё элементарно. Разбиваем многозначное число на разряды, перемножаем каждый на однозначное число и суммируем результаты.

Разберём на конкретном примере: 759 × 8.

  • Разбиваем 759 на разрядные части: 700, 50 и 9.
  • Умножаем каждый разряд по отдельности: 700 × 8 = 5 600, 50 × 8 = 400, 9 × 8 = 72.
  • Складываем результаты, разбивая их на разряды: 5 600 + 400 + 72 = 5 000 + (600 + 400) + 72 = 5 000 + 1 000 + 72 = 6 000 + 72 = 6 072.

Умножаем двузначные числа

Тут уже рука сама тянется к калькулятору или хотя бы к бумаге и ручке, чтобы воспользоваться старым добрым умножением в столбик. Хотя ничего сверхсложного в этой операции нет. Просто нужно немного потренировать краткосрочную память.

Попробуем умножить 47 на 32, разбив процесс на несколько шагов.

  • 47 × 32 — это то же, что и 47 × (30 + 2) или 47 × 30 + 47 × 2.
  • Сначала умножим 47 на 30. Проще некуда: 47 × 3 = 40 × 3 + 7 × 3 = 120 + 21 = 141. Приписываем справа нолик и получаем: 1 410.
  • Поехали дальше: 47 × 2 = 40 × 2 + 7 × 2 = 80 + 14 = 94.
  • Осталось сложить результаты: 1 410 + 94 = 1 500 + 4 = 1 504.

Этот принцип можно применять и к числам с большим количеством разрядов, но удержать в уме столько операций не каждому под силу.

Упрощаем умножение

Кроме общих правил, есть несколько лайфхаков, облегчающих умножение на определённые однозначные числа.

Умножение на 4

Можно умножить многозначное число на 2, а потом снова на 2.

Пример: 146 × 4 = (146 × 2) × 2 = (200 + 80 + 12) × 2 = 292 × 2 = 400 + 180 + 4 = 584.

Умножение на 5

Умножьте исходное число на 10, а потом разделите на 2.

Пример: 489 × 5 = 4 890 / 2 = 2 445.

Умножение на 9

Умножьте на 10, а затем отнимите от результата исходное число.

Пример: 573 × 9 = 5 730 − 573 = 5 730 − (500 + 70 + 3) = 5 230 − (30 + 40) − 3 = 5 200 − 40 − 3 = 5 160 − 3 = 5 157.

Умножение на 11

Приём сводится к следующему: впереди и сзади подставляем первую и последнюю цифры исходного числа. А между ними последовательно суммируем все цифры.

При умножении на двузначное число всё выглядит крайне просто.

Пример: 36 × 11 = 3(3+6)6 = 396.

Если сумма переходит через десяток, в центре остаётся разряд единиц, а к первой цифре добавляем один.

Пример: 37 × 11 = 3(3+7)7 = 3(10)7 = 407.

Чуть сложнее с умножением на более крупные числа.

Пример: 543 × 11 = 5(5+4)(4+3)3 = 5 973.

Как научиться делить в уме

Это операция, обратная умножению, поэтому и успех во многом зависит от знания всё той же школьной таблицы. Остальное — дело практики.

Делим на однозначное число

Для этого разбиваем исходное многозначное число на удобные части, которые точно будут делиться на наше однозначное.

Попробуем разделить 2 436 на 7.

  • Выделим из 2 436 наибольшую часть, которая нацело разделится на 7. В нашем случае это 2 100. Получаем (2 100 + 336) / 7.
  • Продолжаем в том же духе, только теперь с числом 336. Очевидно, что на 7 разделится 280. А в остатке будет 56.
  • Теперь делим каждую часть на 7: (2 100 + 280 + 56) / 7 = 300 + 40 + 8 = 348.

Делим на двузначное число

Это уже высший пилотаж, но мы всё равно попытаемся.
Предположим, вам надо поделить 1 128 на 24.

  • Прикидываем, сколько раз 24 может поместиться в 1 128. Очевидно, что 1 128 примерно в два раза меньше, чем 24 × 100 (2 400). Поэтому для «пристрелки» возьмём множитель 50: 24 × 50 = 1 200.
  • До 1 200 нашему делимому 1 128 не хватает 72. Сколько раз 24 поместится в 72? Правильно, 3. А значит, 1 128 = 24 × 50 − 24 × 3 = 24 × (50 − 3) = 24 × 47. Стало быть, 1128 / 24 = 47.

Мы взяли не самый трудный пример, но пользуясь методом «пристрелки» и дроблением на удобные части, вы научитесь совершать и более сложные операции.

Что поможет освоить устный счёт

Для упражнений придётся ежедневно придумывать новые и новые примеры, только если вы сами этого хотите. В противном случае воспользуйтесь другими доступными способами.

Настольные игры

Играя в те, где необходимо постоянно вычислять в уме, вы не просто учитесь быстро считать. А совмещаете полезное с приятным времяпрепровождением в кругу семьи или друзей.

Карточные забавы вроде «Уно» и всевозможные варианты математического домино позволяют школьникам играючи освоить простое сложение, вычитание, умножение и деление. Более сложные экономические стратегии а-ля «Монополия» развивают финансовое чутьё и оттачивают сложные навыки счёта.

Что купить
  • «Уно»;
  • «7 на 9»;
  • «7 на 9 multi»;
  • «Трафик Джем»;
  • «Хекмек»;
  • «Математическое домино»;
  • «Умножариум»;
  • «Код фараона»;
  • «Суперфермер»;
  • «Монополия».

Мобильные приложения

С ними вы сможете довести устный счёт до автоматизма. Большинство из них предлагают решить примеры на сложение, вычитание, умножение и деление по программе младших классов. Но вы удивитесь, насколько это непросто. Особенно если задачи нужно щёлкать на время, без ручки и бумаги.

Математика: устный счёт, таблица умножения

Охватывает задания на устный счёт, которые соответствуют 1–6 классам школьной программы, включая и задачи на проценты. Позволяет тренировать скорость и качество счёта, а также настраивать сложность. Например, от простой таблицы умножения можно перейти к умножению и делению двузначных и трёхзначных чисел.

Цена: Бесплатно

Математика в уме

Ещё один простой и понятный тренажёр устного счёта с подробной статистикой и настраиваемой сложностью.

Цена: Бесплатно

1 001 задача для счёта в уме

В приложении используются примеры из пособия по математике «1 001 задача для умственного счёта», которое ещё в XIX веке составил учёный и педагог Сергей Рачинский.

Разработчик: Dwerty

Цена: Бесплатно

Цена: Бесплатно

Математические хитрости

Приложение позволяет легко и ненавязчиво освоить основные математические приёмы, которые облегчают и ускоряют устный счёт. Каждый приём можно отработать в тренировочном режиме. А потом поиграть на скорость вычислений с собой или соперником.

Цена: Бесплатно

Цена: Бесплатно

Quick Brain

Цель игры — правильно решить как можно больше математических примеров за определённый промежуток времени. Тренирует знание таблицы умножения, сложение и вычитание. А ещё содержит популярный математический пазл «2 048».

Цена: Бесплатно

Веб-сервисы

Регулярно заниматься интеллектуальной зарядкой с числами можно и на математических онлайн-тренажёрах. Выбирайте необходимый вам тип действия и уровень сложности — и вперёд, к новым интеллектуальным вершинам. Вот лишь несколько вариантов.

  • Математика.Club — тренажёр устного счёта.
  • Школа Аристова — тренажёр устного счёта (охватывает двузначные и трёхзначные числа).
  • «Развивайка» — тренировка устного счёта в пределах ста.
  • 7gy.ru — тренажёр по математике (вычисления в пределах ста).
  • Chisloboy — онлайн-игра на развитие скорости счёта.
  • kid-mama — тренажёры по математике для 0–6 классов.

Читайте также 🧠🎓😤

Методика быстрого счета без калькулятора

Цифры окружают нас с детства. Еще до школы или в первом классе человек учится складывать и вычитать, решать простые примеры и задачи. Позже он осваивает таблицу умножения, переходя к более сложной части математических упражнений. Большинство людей может производить в уме только простые вычисления. А вот умножение и деление больших значений приходится выполнять на бумаге или с помощью калькулятора. Но можно ли как-то научиться хорошо считать без использования подручных средств?

Счет без калькулятора

Быстрый счет без калькулятора

Жизнь любого современного человека неотрывно связана с числами. Без умения считать невозможно выполнять самые простые повседневные задачи. Конечно, сегодня у людей появились умные помощники – калькуляторы, смартфоны, компьютеры, но даже они могут иногда подвести – сломаться или не вовремя разрядиться. Да и не всегда можно полагаться на гаджеты, ведь на экзаменах в школе или в ВУЗе они не помогут. Именно поэтому многие люди стремятся научиться хорошо считать без помощи подручных средств. Особенно это актуально для школьников, ведь если с детства освоить техники быстрого устного счета, то и учеба в школе, и различные задачи во взрослой жизни будут даваться легче.

Есть еще одна серьезная причина для того, чтобы начать тренироваться хорошо считать в уме. Устный счет развивает человеческий мозг и способствует росту уровня интеллекта. Поэтому даже те студенты, которые обучаются на гуманитарных специальностях, все равно изучают такие точные науки, как высшая математика и математический анализ. Упражнения, направленные на устный счет больших чисел, являются отличной зарядкой для ума. Так развитие интеллекта и удобство в быту – это две самые главные причины научиться хорошо считать без калькулятора.

Человечество еще с древности стремилось найти такие способы быстрого счета. И речь не только о простых вычислениях, таких как сложение и вычитание, но и о более сложных – об умножении и делении. Пусть это и занимает много времени, но складывать и вычитать большие значения все же можно без предварительной подготовки, а вот такие действия, как умножение двузначных чисел, недоступны большинству людей.

Но, благодаря труду математиков со всего земного шара, сегодня появились некоторые математические хитрости, позволяющие считать в уме не только однозначные, но и двузначные числа. Чтобы понять принцип их работы, лучше рассмотреть каждый из этих приемов отдельно.

Устно считать большие числа

Популярная система быстрого счета

Существует несколько видов основных математических операций – сложение, вычитание, умножение и деление. И если с нахождением суммы и разности все более или менее понятно, то другие вычисления производить намного сложнее. Рассмотрим самые популярные математические хитрости, направленные на удобное умножение и деление в уме.

Умножение любого числа на 9

Решать устно такие примеры очень легко. Для этого достаточно умножить нужное значение на 10 и вычесть из получившегося ответа это же число. Например, нам нужно найти результат умножения 19 и 9. Пример будет выглядеть так: 19*10-19= 190-19=171. Этот прием достаточно легко применять на практике.

Умножение любого числа на 11

Похожим образом выглядит умножение любого значения на 11: мы находим произведение нашего числа и 10, а затем прибавляем к получившемуся выражению наше число. Допустим, мы ищем сколько будет 67*11, так у нас получается следующий пример: 67*10+67=670+67=737.

Умножение двузначного числа на однозначное

Проще всего производить такую операцию методом разбора множителей на десятки и единицы. Допустим, нам требуется перемножить 56 и 8. Для этого мы разделяем 56 на составные части, получается 50 и 6. Теперь мы отдельно перемножаем наши десятки и единицы на однозначное число и ищем их сумму. Получается 50*8+6*8=400+48=448. Но чем больше знаков в каждом из перемножаемых значений, тем сложнее производить подобные операции в уме.

Умножение двузначного числа на двузначное

Нахождение результата умножения двузначных чисел похоже на предыдущий метод. К примеру, необходимо найти произведение 24 и 52. Для этого мы разбиваем одно из чисел на десятки и единицы и перемножаем их на наш множитель, а затем складываем полученные выражения: 20*52+4*52=1040+208=1248. Чем больше каждое из чисел, тем сложнее находить результат умножения.

Нахождение процента от числа

Чтобы найти процент от любого значения, нужно умножить данное число на размер искомого процента и разделить на сто. Лучше рассмотреть данный подход на примере. Допустим, требуется найти 12% от 74. Мы производим умножение 12 и 74, разбирая это выражение на составные части. Получается 10*74+2*74=740+148=888. Теперь мы делим наш результат на 100 и получаем ответ – 8,88%. Так удается легко находить процент от любого значения без помощи калькулятора.

Деление многозначного числа на однозначное

Чтобы найти ответ на такой пример, нужно вспомнить таблицу умножения. Допустим, нам требуется разделить число 138 на 6. Для этого мы разбиваем делимое на части, получается 13 десятков и 8 единиц. Делим 13 на 6, получаем 2 и 1 в остатке. Это значит, что десятком в нашем ответе будет число 2. Остаток, а это 1 десяток, мы складываем с единицей делимого, получается 18. Делим 18 на 6, получается 3. Теперь складываем получившиеся десятки и единицы: 20+3=23. Целое выражение будет выглядеть так: 120/6+(10+8)/6=20+18/6=23.

Существуют и другие, более сложные приемы устных математических вычислений, которые позволяют выполнять операции с многозначными числами. Но и освоить эти техники труднее, так как они требуют высокой концентрации и хорошо развитой памяти.

К плюсам всех подобных приемов можно отнести уже то, что такому счету можно научиться достаточно быстро. Перечисленные способы имеют множество вариаций от простых до более сложных, поэтому некоторые из них охотно используют даже дети. Но все эти методы имеют один существенный недостаток, который не позволяет им называться полноценной системой счета в уме.

Такие способы вычислений подразумевают соблюдение целого ряда условий. Например, правила для умножения трехзначных чисел отличаются от правил для двузначных. Поэтому приходится запоминать большое количество условий, чтобы можно было применять в быту такие способы счета. Все это делает подобные методы сложения, вычитания, умножения и деления скорее зарядкой для ума, чем продуктивным подходом к вычислениям.

Но существуют и кардинально иные техники, позволяющие развить навыки человека и научиться очень хорошо считать без подручных средств. Одной из самых популярных методик быстрого устного счета является ментальная арифметика. Рассмотрим ее преимущества подробнее.

Техники быстрого счета

Как научить ребенка считать в уме

Ментальная арифметика – это далеко не новая система быстрого счета, ведь она зародилась еще в древности, около пяти тысяч лет назад. С тех пор данная методика не претерпела серьезных изменений и дошла до нас в практически первозданном виде. В ее основе лежат вычисления на абакусе – специальных счётах. Сначала человек учится решать простейшие примеры на них, а затем постепенно переходит к более сложному этапу обучения – учится представлять абакус в уме и производить вычисления на нем в своем воображении.

Лучше всего ментальная арифметика подходит именно детям. Нет, взрослые также могут ее освоить, но для этого им придется абстрагироваться от привычных методов операций с числами, а ребенок справляется с этим намного легче. Для него ментальная арифметика является не только помощником на уроках математики, но и способом развить свои интеллектуальные способности до очень высокого уровня.

Весь секрет этой методики в том, что она подразумевает разностороннее развитие человека. За логику и анализ отвечает правое полушарие мозга, именно оно задействуется на обычных уроках математики, когда мы решаем примеры или задачи. Правое полушарие, отвечающее за креативное мышление и фантазию, в этом случае к работе почти не подключается, а значит и не развивается должным образом. А ведь все области человеческого интеллекта необходимо тренировать.

Так как ментальная арифметика задействует и аналитическое мышление, и воображение, она является даже не столько способом быстро решать математические задачи, сколько средством для всестороннего развития. Другие методики чаще всего направлены на тренировку какой-то одной способности, а данная техника работает комплексно. Именно это выделяет ее среди прочих и делает одной из самых популярных систем развития интеллекта ребенка.

Обучение ментальной арифметике занимает достаточно много времени, но те преимущества, которые она дает, оправдывают затраченные усилия. Когда речь идет об обучении ребенка по данной методике, важно подобрать правильную программу тренировок. Ключевым фактором успеха является соблюдение плана занятий и контроль их регулярности. Несмотря на то, что в открытых источниках в интернете можно найти много информации по этому запросу, не всегда удается самостоятельно освоить ментальную арифметику. Поэтому большинство родителей предпочитают обучать ребенка этой технике в детских центрах дополнительного образования.

Методика быстрого счета

Как выбрать эффективную методику

Сегодня многие учебные заведения предлагают пройти курсы ментальной арифметики. Но детское образование – это очень сложный и многогранный процесс, поэтому родители должны походить к нему внимательно, и выбирать такие занятия, которые точно принесут пользу.

Выбирая школу ментальной арифметики, обращайте внимание на то, чтобы обучение велось по проверенной методике и учитывало возрастные особенности каждого ребенка. Нельзя, чтобы в одной группе обучались дети из начальной школы и старшеклассники, ведь в каждом возрасте своя скорость освоения, запоминания и закрепления материала.

К тому же, маленьким детям лучше всего преподавать любой предмет в игровой форме. Так они не будут уставать учиться и смогут сохранять концентрацию в течение всего урока. Внедрение игры в образовательный процесс способствует повышению интереса ребенка к математике.

Очень важно, чтобы тренер успевал уделить внимание каждому ученику в процессе занятия, но это возможно только в небольших группах. Поэтому стоит отдавать предпочтение тем детским центрам, где педагог обучает не более десяти детей единовременно. Только тогда удастся заниматься с максимальной продуктивностью.

Если учебный план организован правильно, то ребенку удастся приобрести полезные навыки, благодаря которым математика станет для него интересным и любимым предметом. Все это положительно скажется на успеваемости в школе, ведь, когда учеба дается легко, заниматься намного веселее.

Все это делает обучение ментальной арифметике самым продуктивным способом освоения быстрого устного счета.Ребенку больше не придется прибегать к различным математическим хитростям, чтобы легко справляться с задачами и примерами. Ученик приобретает навыки, которые сохраняются на всю жизнь, а значит они пригодятся ему не только в учебе, но и в карьерной деятельности. Все это делает обучение данной технике отличным вкладом в будущее своего ребенка.

Эффективный счёт в уме или разминка для мозга / Хабр

Эта статья навеяна топиком «Как и насколько быстро вы считаете в уме на элементарном уровне?» и призвана распространить приёмы С.А. Рачинского для устного счёта.
Рачинский был замечательным педагогом, преподававшим в сельских школах в XIX веке и показавшим на собственном опыте, что развить навык быстрого устного счёта можно. Для его учеников не было особой проблемой посчитать подобный пример в уме:

Используем круглые числа

Один из самых распространённых приёмов устного счёта заключается в том, что любое число можно представить в виде суммы или разности чисел, одно или несколько из которых «круглое»:

Т.к. на 10, 100, 1000 и др. круглые числа умножать быстрее, в уме нужно сводить всё к таким простым операциям, как 18 x 100 или 36 x 10. Соответственно, и складывать легче, «отщепляя» круглое число, а затем добавляя «хвостик»: 1800 + 200 + 190.
Еще пример:

31 x 29 = (30 + 1) x (30 - 1) = 30 x 30 - 1 x 1 = 900 - 1 = 899. 

Упростим умножение делением

При устном счёте бывает удобнее оперировать делимым и делителем нежели целым числом (например, 5 представлять в виде 10:2, а 50 в виде 100:2):
68 x 50 = (68 x 100) : 2 = 6800 : 2 = 3400;
3400 : 50 = (3400 x 2) : 100 = 6800 : 100 = 68. 

Аналогично выполняется умножение или деление на 25, ведь 25 = 100:4. Например,
600 : 25  = (600 : 100) x 4 = 6 x 4 = 24;
24 x 25 = (24 x 100) : 4 = 2400 : 4 = 600. 

Теперь не кажется невозможным умножить в уме 625 на 53:
625 x 53 = 625 x 50 + 625 x 3 = (625 x 100) : 2 + 600 x 3 + 25 x 3 = (625 x 100) : 2 + 1800 + (20 + 5) x 3 = 
= (60000 + 2500) : 2 + 1800 + 60 + 15 = 30000 + 1250 + 1800 + 50 + 25 = 33000 + 50 + 50 + 25 = 33125. 

Возведение в квадрат двузначного числа

Оказывается, чтобы просто возвести любое двузначное число в квадрат, достаточно запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25. Благо, квадраты до 10 мы уже знаем из таблицы умножения. Остальные квадраты можно посмотреть в нижеприведённой таблице:

Приём Рачинского заключается в следующем. Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его над 50-ю. Например,

37^2 = 12 x 100 + 13^2 = 1200 + 169 = 1369; 
84^2 = 59 x 100 + 34^2 = 5900 + 9 x 100 + 16^2 = 6800 + 256 = 7056;

В общем случае (M — двузначное число):

Попробуем применить данный трюк при возведении в квадрат трёхзначного числа, разбив его предварительно на более мелкие слагаемые:

195^2 = (100 + 95)^2 =  10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 70 x 100 + 45^2 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 
+ 7000 + 20 x 100 + 5^2 = 17000 + 19000 + 2000 + 25 = 38025. 

Хм, я бы не сказала, что это сильно легче, чем возведение в столбик, но, возможно, со временем можно приноровиться.
И начинать тренировки, конечно, следует с возведения в квадрат двузначных чисел, а там уже и до дизассемблирования в уме можно дойти.
Умножение двузначных чисел

Этот интересный приём был придуман 12-летним учеником Рачинского и является одним из вариантов добавления до круглого числа.
Пусть даны два двузначных числа, у которых сумма единиц равна 10:
M = 10m + n, K = 10a + 10 - n.

Составив их произведение, получим:

Например, вычислим 77 x 13. Сумма единиц этих чисел равна 10, т.к. 7 + 3 = 10. Сначала ставим меньшее число перед большим: 77 x 13 = 13 x 77.
Чтобы получить круглые числа, мы забираем три единицы от 13 и добавляем их к 77. Теперь перемножим новые числа 80 x 10, а к полученному результату прибавим произведение отобранных 3 единиц на разность старого числа 77 и нового числа 10:

13 x 77 = 10 x 80 + 3 x (77 - 10) = 800 + 3 x 67 = 800 + 3 x (60 + 7) = 800 + 3 x 60 + 3 x 7 = 800 + 180 + 21 = 800 + 201 = 1001. 

У этого приёма есть частный случай: всё значительно упрощается, когда у двух сомножителей одинаковое число десятков. В этом случае число десятков умножается на следующее за ним число и к полученному результату приписывается произведение единиц этих чисел. Посмотрим, как элегантен этот приём на примере.
48 x 42. Число десятков 4, последующее число: 5; 4 x 5 = 20. Произведение единиц: 8 x 2 = 16. Значит,
48 x 42 = 2016.

99 x 91. Число десятков: 9, последующее число: 10; 9 x 10 = 90. Произведение единиц: 9 x 1 = 09. Значит,
99 x 91 = 9009.

Ага, то есть, чтобы перемножить 95 x 95, достаточно посчитать 9 x 10 = 90 и 5 x 5 = 25 и ответ готов:
95 x 95 = 9025. 

Тогда предыдущий пример можно вычислить немного проще:
195^2 = (100 + 95)^2 =  10000 + 2 x 100 x 95 + 95^2 = 10000 + 9500 x 2 + 9025 = 10000 + (90+5) x 2 x 100 + 9000 + 25 = 
= 10000 + 19000 + 1000 +  8000  + 25 = 38025. 

Вместо заключения

Казалось бы, зачем уметь считать в уме в 21 веке, когда можно просто подать голосовую команду смартфону? Но если задуматься, что будет с человечеством, если оно будет взваливать на машины не только физическую работу, но и любую умственную? Не деградирует ли оно? Даже если не рассматривать устный счёт как самоцель, для закалки ума он вполне подходит.

Использованная литература:
«1001 задача для умственного счёта в школе С.А. Рачинского».

Приемы, облегчающие устный счет и запоминание таблицы умножения

Сколько вам нужно времени, чтобы выполнить довольно простое вычисление: например от 234 отнять 112? Девочки с фото решают от 70 до 90 примеров разной сложности за… 1 минуту.

Приемы быстрого счета: магия, доступная всем

Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счета жизнь невозможна. Но как тяжело иногда дается эта наука! Попробуйте быстро перемножить 65 на 23? Не получается? Рука сама тянется за мобильником с калькулятором. А, между тем, полуграмотные русские крестьяне 200 лет назад спокойно делали это, пользуясь лишь первым столбиком таблицы умножения — умножением на два. Не верите? А зря. Это — реальность.

«Компьютер» каменного века

Даже не зная чисел, люди уже пытались считать. Если нашим предкам, обитавшим в пещерах и носившим шкуры, нужно было поменяться чем-либо с соседним племенем, они поступали просто: расчищали площадку и выкладывали, например, наконечник стрелы. Рядом ложилась рыба или горсть орехов. И так до тех пор, пока не заканчивался один из обменных товаров, или глава «торговой миссии» не решал, что уже хватит. Примитивно, но по-своему очень удобно: и не запутаешься, и не обманут.

С освоением скотоводства задачи усложнились. Большое стадо нужно было как-то считать, чтобы знать, все ли козы или коровы на месте. «Счетной машиной» неграмотных, но умных пастухов стала долбленая тыква с камешками. Как только животное покидало загон, пастух клал в тыкву камешек. Вечером стадо возвращалось, и пастух вынимал по камешку с каждым входившим в загон животным. Если тыква пустела, он знал, что со стадом все в порядке. Если оставались камешки — шел искать потерю.

Когда появились цифры, дело пошло веселее. Хотя еще долго у наших предков в ходу было лишь три числительных: «один», «пара» и «много».

Можно ли считать быстрее компьютера?

Обогнать устройство, выполняющее сотни миллионов операций в секунду? Невозможно… Но тот, кто говорит так, жестоко лукавит, или просто кое-что умышленно упускает из вида. Компьютер — это лишь набор микросхем в пластике, он не считает сам по себе.

Поставим вопрос по-другому: может ли человек, считая в уме, обогнать того, кто выполняет вычисления на компьютере? И здесь ответ — да. Ведь, чтобы получить ответ от «черного чемоданчика», данные в него необходимо сначала ввести. Это будет делать человек при помощи пальцев или голосом. А все эти действия имеют ограничения по времени. Непреодолимые ограничения. Сама природа поставила их человеческому телу. Всему — кроме одного органа. Мозга!

Калькулятор умеет выполнять лишь две операции: сложение и вычитание. Умножение для него — это множественное сложение, а деление — множественное вычитание.

Наш мозг поступает по-другому.

Класс, где учился будущий король математики, Карл Гаусс, как-то получил задание: сложить все числа от 1 до 100. Карл написал на своей доске абсолютно правильный ответ, как только учитель закончил объяснять задание. Он не стал прилежно складывать числа по порядку, как поступил бы любой уважающий себя компьютер. Он применил открытую им самим формулу: 101 х 50 = 5050. И это далеко не единственный прием, ускоряющий вычисления в уме.

Простейшие приемы быстрого счета

Их изучают в школе. Самое простое: если вам нужно прибавить к любому числу 9, прибавляете 10 и вычитаете 1, если 8 (+ 10 — 2), 7 (+ 10 — 3) и т.д.

54 + 9 = 54 + 10 — 1 = 63. Быстро и удобно.

Двухзначные числа складываются так же легко. Если во втором слагаемом последняя цифра больше пяти, число округляется до следующего десятка, а потом «лишнее» вычитается. 22 + 47 = 22 + 50 — 3 = 69. Если ключевая цифра меньше пятерки, то надо сложить сперва десятки, затем единицы: 27 + 51 = 20 + 50 + 7 + 1 = 78.

С трехзначными числами точно так же не возникает никаких трудностей. Складываем их, как читаем, слева на право: 321 + 543 = 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 = 864. Гораздо проще, чем в столбик. И гораздо быстрее.

А вычитание? Принцип тот же: вычитаемое округляем до целого и добавляем недостающее: 57 — 8 = 57 — 10 + 2 = 49; 43 — 27 = 43 — 30 + 3 = 16. Быстрее чем на калькуляторе — и никаких претензий от учителя даже во время контрольной!

Нужно ли учить таблицу умножения?

Дети этого, как правило, терпеть не могут. И правильно делают. Ни к чему ее учить! Но не спешите возмущаться. Никто не утверждает, что таблицу не нужно знать.

Ее изобретение приписывают Пифагору, но, скорее всего, великий математик лишь придал законченную, лаконичную форму тому, что уже было известно. На раскопках древней Месопотамии археологи нашли глиняные таблички с сакраментальным: «2 х 2». Люди давно пользуются этой в высшей степени удобной системой вычислений и открыли множество способов, которые помогают постичь внутреннюю логику и красоту таблицы, понять — а не тупо, механически зазубрить.

В древнем Китае таблицу начинали учить с умножения на 9. Так проще, и не в последнюю очередь потому, что умножать на 9 можно «на пальцах».

Положите обе руки на стол ладонями вниз. Первый слева палец — 1, второй — 2 и т.д. Допустим, вам нужно решить пример 6 х 9. Поднимите шестой палец. Пальцы слева покажут десятки, справа — единицы. Ответ 54.

«На пальцах» можно посчитать всю таблицу Пифагора, если умеешь умножать на 2, то есть удваивать число, а с этим, как правило, легко справляются даже дети не очень способные к математике.

Пример: 8 х 7. Левая рука — первый множитель, правая — второй. На руке пять пальцев, а нам нужно 8 и 7. Загибаем на левой руке три пальца (5 + 3 = 8), на правой 2 (5 + 2 = 7). Загнутых пальцев у нас пять, значит пять десятков. Теперь перемножим оставшиеся: 2 х 3 = 6. Это единицы. Всего 56.

Это лишь один из наипростейших приемов «пальцевого» умножения Их много. «На пальцах» можно оперировать числами до 10 000!

У «пальцевой» системы есть бонус: ребенок воспринимает ее как веселую игру. Занимается охотно, испытывает массу положительных эмоций и в итоге очень скоро начинает проделывать все операции в уме, без помощи пальцев.

Делить так же можно при помощи пальцев, но это немного сложнее. Программисты до сих пор пользуются руками, чтобы перевести числа из десятичной системы в двоичную — это удобнее и гораздо быстрее, чем на компьютере. Но в рамках школьной программы научиться быстро делить можно даже без пальцев, в уме.

Допустим, нужно решить пример 91 : 13. Столбик? Нет нужды пачкать бумагу. Делимое заканчивается на единицу. А делитель — на тройку. Что там в таблице умножения самое первое, где задействована тройка, а заканчивается на единицу? 3 х 7 = 21. Семерка! Вот и все, мы ее поймали. Надо 84 : 14. Вспоминаем таблицу: 6 х 4 = 24. Ответ — 6. Просто? Еще бы!

Волшебство числа

Большинство приемов быстрого счета похоже на фокусы. Взять хотя бы известнейший пример умножения на 11. Чтобы, например, 32 х 11 нужно написать 3 и 2 по краям, а в середину поставить их сумму: 352.

Для умножения двузначного числа на 101 надо просто записать число два раза. 34 х 101 = 3434.

Для умножения числа на 4 нужно два раза умножить его на 2. Для деления — дважды разделить на 2.

Много остроумных и, главное, быстрых приемов помогают возводить число в степень, извлекать квадратный корень. Знаменитые «30 приемов Перельмана» для математически мыслящих людей будут покруче шоу Коперфильда, потому что они еще и ПОНИМАЮТ что происходит, и как оно происходит. Ну а остальные могут просто наслаждаться красивым фокусом. Например, нужно перемножить 45 на 37. Напишем числа на листе и разделим их вертикальной чертой. Левое число делим на 2, отбрасывая остаток, пока не получим единицу. Правое — умножаем до тех пор, пока число строчек в столбике не сравняется. Затем вычеркиваем из ПРАВОГО столбика все те числа, напротив которых в ЛЕВОМ столбике получился четный результат. Оставшиеся числа из правого столбика складываем. Получится 1665. Перемножьте числа привычным способом. Ответ сойдется.

«Зарядка» для ума

Приемы быстрого счета способны здорово облегчить жизнь и ребенку в школе, и маме в магазине или на кухне, и папе на производстве или в офисе. Но мы предпочитаем калькулятор. Почему? Не любим напрягаться. Нам тяжело держать числа, даже двухзначные, в голове. Почему-то не держатся.

Попробуйте выйти на середину комнаты и сесть на шпагат. Почему-то «не сажается», да? А гимнаст делает это совершенно спокойно, не напрягаясь. Тренироваться нужно!

Самый простой способ тренировки и, одновременно, разминки мозга: устный счет вслух (обязательно!) через число до ста и обратно. Утром, стоя под душем, или готовя завтрак, посчитайте: 2.. 4.. 6.. 100… 98.. 96. Можно считать через три, через восемь — главное, делать это вслух. Всего через пару недель регулярных занятий вы удивитесь, насколько ПРОЩЕ станет обращаться с числами.

Метод быстрого подсчета для 6-ти мотивов с низкой связью

1 Введение

В анализе социальных сетей любой фиксированный подграф с k узлами называется k-мотивом (или графлетом), и их анализ имеет был полезным методом для характеристики структуры реальных графов. В частности, в социальных сетях было замечено, что некоторые мотивы более распространены, чем другие, и структура сети отличается от структура случайных графов [12, 18, 29] .Зная, что одного анализа этих подграфов недостаточно чтобы понять структуру сетей, было подтверждено, что частоты мотивов предоставляют существенную информацию о локальной сети структура в различных доменах [12, 8, 9] . Подсчитав количество вложений каждого мотива в сеть, можно создать профиль с достаточной статистикой что характеризует структуру сети [24] .

Хотя был достигнут значительный успех и влияние в различных областях, от социальных наук до биологии, поиск более быстрых и эффективных алгоритмов для вычисления частот графовых шаблонов продолжается.Основная причина изучить алгоритмы для более быстрого подсчета мотивов — комбинаторный взрыв. время работы алгоритмов точного подсчета k-мотивов на множестве вершин V имеет порядок O (| V | k). Кол-во 6 мотивов в заказах. от миллиардов до триллионов для графов с более чем несколькими миллионами ребер. Таким образом, алгоритм перебора не может завершиться в разумные сроки. Идея, представленная в [19] и распространенная здесь на 6-мотивы, использует рамки подсчета с минимальным перечислением. Основным вкладом этой статьи является предварительное исследование. который обобщает алгоритм точного подсчета, представленный в [19] , на Коллекция из 6 мотивов.В меру наших знаний, это единственное исследование, которое считает 6-мотивов с использованием точных вычислений и выполняет все подсчеты в графах с миллионами ребер за минуты. В качестве предварительной работы мы можем точно посчитать мотивы, показанные на рисунке 2. Особая причина выбора этого подмножества мотивов заключается в том, что каждый из них содержит вырезанная вершина или вырезанная кромка, то есть удаление этой вершины или ребра делает мотив отсоединенным. Основная идея — построить каркас, чтобы вырезать каждый узор из 6 узлов. на более мелкие шаблоны, где каждый из шаблонов содержит этот конкретный набор раскроя, также называется сокращенным набором.Затем перечисление необходимо только для этих меньших шаблонов а не большой узор. Для наших целей мы не проводим перечисление и используйте счетчики для этих меньших шаблонов, полученные в [19] .

Существуют различные алгоритмы аппроксимации [4, 14, 20, 23, 31] , однако результаты, которые они предоставляют, не являются точными и масштабируемыми для подсчета более крупных мотивов с большим количеством чем 4 узла, тогда как представленный здесь метод также масштабируется до очень больших сетей.Как представлено в разделе 3, наш метод умеет считать 6 мотивов в Рисунок 2 для сети с 3 миллионами ребер менее 5 минут. Большинство исследований по подсчету мотивов были акцент на более мелкие мотивы размером не более 4. В частности, подсчет треугольников получил широкое распространение. изучен в связи с его важностью при анализе социальных сетей [28] . Эти результаты были полезны для классификации графов и часто использовались в качестве атрибутов графов. Еще одна группа недавних исследований по подграфу счетчики используются для обнаружения сообществ и плотные подграфы, такие как [2, 22, 25, 27] .Более свежие алгоритмические улучшения подсчета треугольников могут быть найдено в [23, 26] . Точный и приближенные алгоритмы вычисления количества неиндуцированных 4-мотивы предложены в [10] .

Было замечено, что алгоритмы выборки [4, 20, 30, 31] и рандомизированные алгоритмы, такие как метод цветового кодирования [3, 13, 32] , не подходит для подсчета мотивов размером больше 4. Один из последних разработанных алгоритмов в [5] оценивает количество 7-мотивов на графе с 65M узлами и 1.8B выравнивается примерно за 40 минут. Существуют точные алгоритмы подсчета, такие как [16, 15, 31] , но они очень медленные и не масштабируется до больших графов. Недавнее исследование [19] показало точный подсчет метод, который считает все шаблоны с не более чем 5 вершинами на графах с десятками миллионы граней за несколько минут.

Основной вклад в эту работу — вырезать каждый узор из выбранной коллекции. на более мелкие модели и используйте перечисление этих меньших шаблонов для подсчета большого шаблона, используя каркас в [19] .Несколько других алгоритмы, которые использовали идеи, позволяющие избежать перечисления, можно увидеть в [1, 6, 7, 11] .

2 Методика

Входной граф G = G (V, E) неориентированный, где V и E обозначают множество вершин и множество ребер G соответственно. Подграф G называется индуцированным, если все ребра, присутствующие в основном графе, существуют как ребра в этом графе. подграф. В противном случае он называется неиндуцированным. В нашем методе подсчета подграф означает неиндуцированный подграф. Треугольник с отсутствующим ребром назовем клином, К4 с отсутствующим краем ромб и треугольник, к одной из вершин которого прикреплено ребро, хвостатый треугольник.

Рисунок 1: Коллекция связанных 5-мотивов [19] .

В наших обозначениях для каждой вершины i мы используем d (i) и T (i) (соответственно T (e)) для обозначения степени i и количества треугольники, содержащие вершину i (соотв. ребро e) соответственно. Аналогично, C4 (i) (соответственно C4 (e)) и K4 (i) (соответственно K4 (e)) обозначают количество C4 и K4, содержащих вершину i (соответственно ребро e), соответственно. Количество ромбов, хвостатых треугольников и K4 в графе G равно обозначается D (G), TT (G) и K4 (G) соответственно.Количество клиньев между двумя вершинами i и j и заканчивающимися в вершине i записываются как W (i, j) и W (i). Номера 5-мотивов, приведенные на рисунке 1, описаны с помощью N5i, и те, что на Рисунке 2, обозначены Ni.

Рисунок 2: 6 мотивов с низкой связностью.

Стандартный метод подсчета треугольников — перечислить клинья и найти треугольники, проверив есть ли недостающий край или нет. По аналогичной идее формулировка здесь использует набор вырезок, скажем S, для каждого мотива H, удаление которого отключает H.Пусть компоненты — это Ci, а S∪Ci — Hi. При выборе необходимо соблюдать осторожность это множество разрезов, однако в нашем алгоритме это обычно вершина или ребро. Подсчет каждого возможного Hi, содержащего S, получается по подсчетам 4-мотивов и 5-мотивов, приведенным в [19] . Коллекцию из 5 мотивов, которые используются в нашем методе подсчета, можно увидеть на рисунке 1.

2.1 Основные теоремы

Точное вычисление мотивов, представленных на Рисунке 2: полученное в следующих теоремах.Мы отсылаем читателя к [19] для технические подробности используемого метода. Здесь мы кратко обсудим два примера, чтобы представить общую идею и то, как ее применить для получения Теоремы 2.1 и 2.2.

Теорема 2.1 (Cut — вершина)

N1 = ∑i∈V (d (i) 5) N2 = ∑i∈V (W (i) 2) (d (i) −2) −N57 − N52−2N56−2TT (G) −6D (G ) Н9 = Σi∈VT (я) (д (я) -23) N11 = Σi∈V (Т (я) 2) (д (я) -4) -N511N12 = Σi∈VK4 (я) ( T (i) −3) −2N519N13 = ∑i∈VK4 (i) (d (i) −32) N14 = ∑i∈VK4 (i) (W (i) −6) −2N519−2N515

Например, выражение для вычисления N9 в теореме 2.1 не имеет пересчета и рассматривает каждую вершину как разрезанная вершина i и считается соединение треугольников и трех соседи прикреплены к i.

Рисунок 3: Выбранный край для мотива-17.

Однако при вычислении N17, теорема 2.2

, мы вычитаем количество других мотивов, без надобности. Здесь набором разрезов является упорядоченная пара

e = . Имеется один пример перерасчета когда вершины, помеченные цифрами 1 и 3 на рисунке 3, являются выбраны одинаковыми, что означает также 5-мотивы с индексом 10 подсчитываются.Таким образом, мы дважды вычитаем его, считая, что i отображается в вершины, помеченные 1 или 4 (на рисунке 1). Аналогично все вычитания убрать вклады перерасчета.
Теорема 2.2 (Cut — это ребро)

Здесь обозначает упорядоченную, а (i, j) неупорядоченную пару.
N3 = ∑ (i, j) ∈E (d (i) −12) (d (j) −12) −N56 − D (G)
N4 = ∑ <я, j> ∈E (d (i) −13) (d (j) −1) −2N54
N5 = ∑ (i, j) ∈E (d (j) −12) (W (i) −2) −− 2N (5) 7−2N (5) 6 − ∑x∈V (d (x) 4)
N6 = ∑ (i, j) ∈E [W (i) — (d (j) −1)] [W (j) — (d (i) −1)] — 2N54−5N58−2N57−2N55− TT (G) -3T (G)
N7 = ∑e = (i, j) ∈E (T (i) −T (e)) (W (j) — (d (i) −1)) — 2N512−4N59−8D (G)
N8 = ∑e = ∈E (T (i) −T (e)) (d (j) −12) −2N511−6K4 (G)
N10 = ∑e = (i, j) ∈E (T (i) −T (e)) (T (j) −T (e)) — N516−6K4 (G)
N15 = ∑e∈E (K4 (e) 2) −3N520
N16 = ∑e∈EK4 (e)

.

методов подсчета, перестановок и комбинаций

Методы подсчета — обычно называемые в материалах GMAT «комбинациями и перестановками» — обычно представляют собой область математики с самым низким выходом в тесте. Под «самой низкой эффективностью» я подразумеваю, что ваш результат в тесте невысок по сравнению с количеством усилий, которые вы должны приложить для изучения темы. Если у вас есть сильные словесные показания, вы определенно можете сломать 700 или 720, не зная правил счета № 1 и № 2, приведенных ниже. Тем не менее, если вы стремитесь превзойти количественный раздел и освоили задачи со словами и вопросы по геометрии, пора обратиться к методам счета.

Как упоминалось ранее при обсуждении факториалов, на GMAT мы иногда должны подсчитывать возможности. По некоторым вопросам мы делаем это для вычисления вероятности, а по некоторым вопросам, потому что нас просят это сделать напрямую.

В некоторых случаях мы можем подсчитать возможности, просто перечислив их исчерпывающим образом — перечислив их. Этот метод прост и подходит для многих вопросов GMAT. В других случаях нам придется вычислить количество возможностей чего-либо, не имея возможности подсчитать все возможности, либо потому, что мы имеем дело с переменной, либо потому, что количество возможностей слишком велико для перечисления.

Правило продукта

Группы независимых возможностей при совместном рассмотрении умножаются. Если есть a способов сделать одно и b способов сделать другое, то есть ab способов выполнить оба действия.

Например, предположим, вы решили заказать пиццу. Для начала необходимо выбрать тип корочки: тонкое или глубокое блюдо (2 варианта). Затем вы выбираете одну начинку: сыр, пепперони или колбасу (3 варианта).Используя правило продукта, вы знаете, что существует (2) (3) = 6 возможных комбинаций заказа пиццы.

Если подумать об этом примере в обозначениях: если начинки — {A, B, C}, а варианты корок — {X, Y}, то возможный общий выбор — {AX, AY, BX, BY, CX, CY}. В этом примере правило гласит: умножьте 3 на 2, получив 6.

Ключ к правилу продукта состоит в том, что две категории возможностей рассматриваются или достигаются одновременно . Другими словами, ваша пицца будет иметь тип корочки и начинку .Вот почему вы размножаетесь. Когда вы рассматриваете взаимоисключающие категории, вы используете «Правило суммы».

Правило суммы

Правило суммы, как и правило произведения, является основным принципом подсчета. Идея заключается в том, что если у нас есть a способов сделать что-то и b способов сделать что-то еще, и мы не можем делать и то, и другое одновременно, тогда существует a + b способов выбрать одно из действий.

Рассмотрим модификацию примера пиццы.Скажем, пицца, которую вы заказываете по умолчанию, представляет собой пиццу на тонком тесте без начинки. Без дополнительной платы вы можете получить одно «улучшение» пиццы: толстое тесто или одну начинку — сыр, пепперони или колбасу. Правила магазина пиццы в этом случае другие. Мы можем выбрать толстое тесто или в качестве начинки, но не то и другое вместе. Поскольку возможности являются исключительными, применяется правило суммы: существует 1 + 3 = 4 способа выбрать одно бесплатное улучшение для вашей пиццы.

Упражнения

1.Томас идет в ресторан и решает создать свой собственный бургер. У него есть 2 вида сыра, 3 вида хлеба и 3 разных соуса, из которых он может выбирать, но он может выбрать только по одному из каждой категории. Сколько разных способов он может приготовить этот бургер?

2. Диана заказывает пиццу для своей семьи. Существует 4 размера пиццы. Кроме того, она должна выбрать одну из 5 начинок для пиццы и один из 3 различных видов сыра для пиццы. Кроме того, она должна выбрать один из 3 различных видов корочки.Сколько разных способов она может приготовить пиццу?

3. а) Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 2, 3, 4, 5, 7 и 9?

б) Сколько из этих чисел меньше 400?

ответов

1.

2.

3. а) Поскольку доступно шесть цифр, ответ —

.

b) Для того, чтобы значение трехзначного числа было меньше 400, у нас есть только два варианта для первой цифры, а именно 2 или 3. После этого мы можем свободно выбирать две другие цифры.Таким образом, ответ

.

Зависимые события и факториалы

Есть n ! различные способы упорядочивания n различных объектов в последовательность, перестановки этих объектов.

Предположим, Джон работает в библиотеке. Он должен поставить 5 книг на полку в любом порядке. Сколько разных способов он может расположить книги на полке? В отличие от случая с независимыми событиями, здесь, когда Джон кладет книгу на полку, это исключает одну книгу из оставшегося выбора книг, чтобы положить следующую на полку; поэтому они называются зависимыми событиями.Сначала у него есть 5 различных вариантов выбора, поэтому наше первое число в задаче умножения будет 5. Теперь, когда один отсутствует, число уменьшается до 4. Затем оно уменьшается до 3 и так далее. Итак, общее количество способов заказать 5 книг составляет:

.

Допустим, на собачьих соревнованиях принимают участие 10 собак. Сколько разных способов выбрать победителей, занявших первое и второе места? Начнем с первого места. Есть 10 разных собак, поэтому 10 разных способов выбрать первое место.Далее, сколько собак осталось, чтобы занять второе место? В любом случае, независимо от того, кто был выбран на первое место, есть 9 способов выбрать второе место. Итак, что в итоге? Есть 10 способов выбрать первое место, и есть 9 способов выбрать второе место для каждого способа выбрать первое место, так что есть 10 умножить на 9 или 90 способов выбрать первое место и второе место из 10 собак. , Фраза «для каждого» здесь и часто является подсказкой, которую мы должны умножать.

Правила подсчета

Правило 1. Повторные испытания одного типа. Если любое из k взаимоисключающих и исчерпывающих событий может произойти в каждом из испытаний n , имеется

различных последовательностей, которые могут возникнуть в результате серии таких испытаний.

Пример: Подбросьте монету три раза, определив количество возможных последовательностей. Поскольку у монеты две стороны, возможны два исхода, и k = 2. Имеется три подбрасывания, поэтому n = 3. Следовательно,

Правило 2: Испытания смешанных типов. Если числа

— это количество возможных в n этапах событий, количество различных общих последовательностей событий, которые могут произойти, является произведением этих чисел:

.

Пример: Подбросьте монету и бросьте кубик, найдя количество возможных последовательностей. Общее количество различных исходов:

Правило 1 и Правило 2 — это, по сути, одно и то же правило. Например, если вы рассматриваете применение правила 2, в котором вы просто делаете одно и то же n раз, так что все k равны, тогда вы получите k и n возможности власти.Вы также можете смешивать правила. Например, если вы трижды подбрасываете монету, а затем бросаете шестигранный кубик, количество возможных результатов будет

.

.

Правило 3: Перестановка. Расположение по порядку называется перестановкой. Количество различных способов упорядочивания n различных вещей (или расположения по линии или относительно одного измерения) составляет

.

То есть есть n ! способы заказа n элементов по одному измерению.

Пример: Расставьте 10 элементов по порядку, определив количество возможных способов. Количество возможных аранжировок

Пример: Мы хотим вычислить количество перестановок S = {1,2,3}. Поскольку множество S состоит из трех элементов, их всего 3! = 6 перестановок. Они могут быть указаны как 123, 132, 213, 231, 312, 321. Этот пример графически изображен ниже:

Возможные перестановки трех элементов

Правило 4: k -Пермутация. Количество способов выбора и расположения k объектов среди n различных объектов:

или, как видно на калькуляторах или написано от руки, [nPk].

Пример: выбирает 3 вещи из 10 и расставляет их по порядку. В таком случае n = 10, k = 3, поэтому общее количество исходов, выбранных и размещенных, составляет

.

Обратите внимание, как в этом вычислении дробь очень больших чисел 10! / 7! был значительно упрощен путем сведения его к (10) (9) (8).Подобное упрощение всегда возможно при применении этого правила или правила ниже. Всегда будет факториал в числителе и меньший факториал в знаменателе, а множители большего факториала всегда включают меньший факториал целиком.

Вы могли бы решить этот вопрос и другие k -перестановки, не используя формулу выше, а скорее используя правило произведения, рассмотренное выше. Обратите внимание, что приведенное выше очень похоже на рассмотренный нами пример выставки собак с двумя победителями, только в этом случае у нас есть три победителя.Тот же метод, который мы использовали для решения вопроса о выставке, может быть использован для решения этого вопроса.

Пример: Недавно созданная музыкальная группа имеет четыре оригинальные песни, которые они могут играть. Их просят исполнить две песни на музыкальном фестивале. Мы хотим подсчитать количество аранжировок, которые группа может предложить во время концерта. Абстрактно это эквивалентно вычислению числа 2-перестановок четырех песен. Таким образом, количество различных аранжировок равно 4! / 2! = 12.

Возможные варианты выбора-2 из 4 позиций

Перестановка «выберите — k » для n элементов аналогична простой перестановке n элементов, которую мы обсуждали в предыдущем правиле. Здесь есть дополнительная логическая загвоздка, заключающаяся в том, что мы не выбираем все элементы для сортировки. Другой способ подумать об этом состоит в том, что простая перестановка n элементов, как обсуждалось в предыдущем правиле, подобна перестановке select — k элементов n , в которой вы выбираете все элементы n , так что к = п .Подставляя это в формулу выше, мы получаем

Как и следовало ожидать, мы вернулись к предыдущему правилу, которое гласит, что существует n ! Способы заказа н шт.

Правило 5: Комбинация. Общее количество способов выбора k различных комбинаций объектов n , независимо от порядка (т.е. мы не упорядочиваем элементы после выбора k, , а просто делаем выбор):

или как на калькуляторах, [nCr].Этот выбор называется «комбинацией» , чтобы отличать его от перестановки, приведенной выше.

Пример: Выберите 3 элемента из 10 в любом порядке, где n = 10, k = 3. Общее количество способов сделать выбор составляет

Один из способов запомнить Правило № 5 состоит в том, что оно представляет собой вычисление, аналогичное тому, которое приводится в Правиле 4, но в Правиле 5 количество уменьшается на на путем деления. В этом правиле, Правиле 5, мы не заботимся о порядке, количество возможных способов выбора будет меньше, поэтому мы делим на k !.

Пример: Мы можем рассмотреть приведенный выше пример в модифицированном виде. У недавно созданной музыкальной группы есть четыре оригинальные песни, которые они могут сыграть. Их просят исполнить две песни на музыкальном фестивале. Если мы хотим вычислить количество аранжировок песен, которые группа может предложить во время концерта, игнорирует порядок, количество комбинаций 4! / (2!), Деленное на 2 !, или 6.

Количество комбинаций из 2 элементов, выбранных из 4
(Пунктирные линии показывают, что комбинации не упорядочены.)

Иногда полезно знать, что

Мы видим это прямо из определения,

Обратите внимание, что сумма двух членов знаменателя равна n . Так, например,

и

Этот факт может пригодиться на GMAT, когда вас попросят одну такую ​​комбинацию, но с эквивалентной комбинацией легче работать.

Практические вопросы

Возможные ответы на опрос:
http: // www.gmatfree.com/possible-answers-to-a-survey

Назначение пар:
http://www.gmatfree.com/assigning-pairs

,

Подсчет объектов с помощью более быстрого R-CNN

Точный подсчет экземпляров объектов в заданном изображении или видеокадре — сложная проблема, которую нужно решить в машинном обучении.
Разработан ряд решений для подсчета людей, автомобилей и других объектов, и ни одно из них не является идеальным.
Конечно, мы говорим здесь об обработке изображений, поэтому нейронная сеть кажется хорошим инструментом для этой работы.

Ниже вы можете найти описание различных подходов, общих проблем, проблем и последних решений в области подсчета объектов нейронных сетей.
В качестве доказательства концепции будет использована существующая модель сети Faster R-CNN для подсчета объектов на улице с видео-примерами, приведенными в конце сообщения.

Поиск правильного решения проблемы подсчета предметов зависит от многих факторов. Помимо некоторых проблем, общих для всей обработки изображений с помощью нейронных сетей, таких как размер обучающих данных, их качество и т.д.

  • минимальный размер обнаруженных объектов
  • скорость обучения и тестирования
  • Подход, используемый для подсчета автомобилей на шоссе или скопления людей на стадионе, где большинство объектов перекрываются, а перспективный вид обычно позволяет очень мелкие объекты на большом расстоянии , будет совершенно отличаться от подсчета людей на семейной фотографии.
    Кроме того, решение для подсчета объектов на одной фотографии может отличаться от решения, подходящего для подсчета объектов на видео в реальном времени.

    В этом посте я попытаюсь решить проблему подсчета объектов на улице, используя образцы видео с несколькими объектами, видимыми одновременно, но не слишком переполненными.
    Для обработки изображений многолюдной сцены или пробки с целью точного подсчета экземпляров объектов я рекомендую изучить последние исследования в этой области: На пути к бесперспективному подсчету объектов с помощью глубокого обучения.Результаты статьи могут быть воспроизведены с помощью кода, найденного на GitHub.
    Такие методы, как CCNN и Hydra CNN, описанные в вышеупомянутой статье, плохо работают, когда для изображения используется всего несколько объектов разных типов, поэтому пришлось применить другой подход.

    Существует очень интересный метод в области машинного обучения (и, в частности, в глубоком обучении со сверточными нейронными сетями), называемый сверточной нейронной сетью на основе регионов (RCNN), где мы идентифицируем несколько объектов и их местоположение на заданном изображении.

    Для нашей работы Proof Of Concept я буду использовать реализацию Keras ‘Faster R-CNN’, модифицированную для обработки видеофайлов и аннотирования изображений с помощью количества обнаруженных объектов данного класса.

    Было несколько подходов, объединяющих задачи поиска местоположения объекта и идентификации объекта для увеличения скорости и точности. С годами мы перешли от использования стандартных сетей RCNN через Fast R-CNN к более быстрому R-CNN, который мы используем для решения нашей простой задачи подсчета.
    Fast RCNN основывается на предыдущей работе по эффективной классификации предложений объектов с использованием глубоких сверточных сетей. По сравнению с RCNN, Fast R-CNN представил несколько нововведений для повышения скорости обучения и тестирования, а также точности обнаружения.

    Подходы с использованием моделей, обученных RCNN, в многоступенчатых конвейерах (сначала обнаружение границ объекта, а затем выполнение идентификации) были довольно медленными и не подходили для обработки в реальном времени.
    Недостатком этого подхода является, прежде всего, его скорость, как во время обучения, так и во время реального тестирования при обнаружении объектов.
    При использовании известного VGG16 процесс обучения стандартной RCNN занимает 2,5 графических дня для 5k изображений и требует сотни ГБ хранилища. Обнаружение объектов во время тестирования занимает 47 секунд на изображение с использованием графического процессора.
    Это в основном вызвано выполнением прямого прохода по сверточной сети для каждого предложения объекта без совместного использования вычислений.

    Fast R-CNN улучшил RCNN за счет введения одноэтапного алгоритма обучения, который классифицирует объекты и их пространственное расположение за один этап обработки.В Fast R-CNN внесены следующие улучшения:

    • Более высокое качество обнаружения
    • Обучение на одном этапе с потерей многозадачности
    • Обучение может обновлять все сетевые уровни
    • Для кэширования функций не требуется дискового хранилища

    Быстрее R-CNN представляет сеть предложений регионов (RPN), которая разделяет сверточные функции полного изображения с сетью обнаружения, что позволяет практически бесплатно предлагать регионы.
    Компонент RPN этого решения сообщает объединенной сети, где искать.Для той же модели VGG-16 Faster R-CNN имеет частоту кадров 5 кадров в секунду на графическом процессоре, обеспечивая при этом самую современную точность обнаружения объектов.
    RPN — это своего рода полностью сверточная сеть, которая может быть обучена от начала до конца специально для задачи генерации предложений по обнаружению и предназначена для эффективного прогнозирования предложений по регионам с широким диапазоном масштабов и соотношений сторон.

    Faster R-CNN использовалась Pinterest в прошлом году в качестве решения, позволяющего осуществлять визуальный поиск на их веб-сайте, и мы будем выбирать для обнаружения и подсчета объектов на образцах видео в описанном ниже PoC.

    Чтобы решить нашу воображаемую проблему, мы собираемся использовать вышеупомянутую модель Faster R-CNN с Keras на экземпляре AWS с GPU. Живя в эпоху множества доступных фреймворков глубокого обучения и постоянных соревнований, мы находимся в удобном положении, чтобы загружать уже предварительно обученные модели, наилучшим образом соответствующие нашим потребностям и выбранным фреймворкам.
    Конечно, вы можете обучить модель самостоятельно, используя предоставленный обучающий скрипт Python, но имейте в виду, что это может занять много дней.

    Существует несколько реализаций Faster R-CNN, включая Caffe, TensorFlow и, возможно, многие другие. Мы собираемся использовать Keras (v. 2.0.3) с TensorFlow в бэкэнде.
    Код доступен как форк оригинальной реализации Keras F R-CNN на GitHub.

    Сценарий тестирования сети был изменен так, чтобы он мог обрабатывать видеофайлы и аннотировать каждый кадр соответствующими данными для обнаруженных объектов (с вероятностью), а также сводкой подсчитанных объектов.
    Я активно использую opencv для обработки видео и уже обученную модель (доступную для скачивания здесь) при обработке кадров.
    Существует ряд служебных методов для обработки видео, например:

      def convert_to_images ():
        cam = cv2.VideoCapture (input_video_file)
        counter = 0
        в то время как True:
            флаг, frame = cam.read ()
            если флаг:
                cv2.imwrite (os.path.join (img_path, str (counter) + '.jpg'), frame)
                counter = counter + 1
            еще:
                перерыв
            если cv2.0-9] | [0-9] + ', var)])
        img0 = cv2.imread (os.path.join (output_path, '0.jpg'))
        высота, ширина, слои = img0.shape
    
        # fourcc = cv2.cv.CV_FOURCC (* 'mp4v')
        fourcc = cv2.VideoWriter_fourcc (* 'mp4v')
        #fourcc = cv2.cv.CV_FOURCC (* 'XVID')
        videowriter = cv2.VideoWriter (output_video_file, fourcc, frame_rate, (width, height))
        для f в list_files:
            print ("сохранение ..." + f)
            img = cv2.imread (os.path.join (output_path, f))
            videowriter.write (IMG)
        videowriter.release ()
        CV2.destroyAllWindows ()
      

    Пока обнаружение объекта происходит во время тестирования, мы создаем список кортежей с обнаруженным классом объекта и номером 1, который позже сокращается для подсчета количества вхождений для определенного класса объекта:

      для jk в диапазоне (new_boxes .shape [0]):
                    (x1, y1, x2, y2) = new_boxes [jk ,:]
    
                    cv2.rectangle (img_scaled, (x1, y1), (x2, y2), class_to_color [ключ], 2)
    
                    textLabel = '{}: {}'. format (key, int (100 * new_probs [jk]))
                    all_dets.Append ((ключ, 100 * new_probs [JK]))
                    all_objects.append ((key, 1))  

    и метод уменьшения:

      def Накопить (l):
        it = itertools.groupby (l, operator.itemgetter (0))
        для ключа, в нем подитер:
            ключ доходности, сумма (элемент [1] для элемента в подиттере)
      

    Аргументы скрипта говорят сами за себя:

    • «—input_file», Путь к входному видеофайлу.
    • «—output_file», Путь к выходному видеофайлу.
    • «—input_dir», Путь к входному рабочему каталогу, где хранятся обработанные кадры
    • «—output_dir» Путь к выходному рабочему каталогу, в котором хранятся обработанные аннотированные кадры
    • «—frame_rate» Частота кадров, используемая при построении видеовыход

    Пример использования:

      python test_frcnn_count.py --input_file ~ / videos / MVI_6848.mp4 --output_file ~ / output4.mp4 --frame_rate = 25  

    Несколько примеров, обработанных скриптом:

    Глубокие сверточные сети на основе регионов захватывающие инструменты, позволяющие разработчикам программного обеспечения решать множество интересных задач. Представленное решение лишь поверхностно.
    Путем точной настройки сети для конкретного набора данных или использования трансферного обучения от других обученных моделей мы можем достичь высокой точности и скорости при обнаружении объектов.

    Ссылки и загрузки

    .

    Методы оценки состояния заряда батареи: обзор

    Дан обзор новых и текущих разработок в методах оценки состояния заряда (SOC) для батареи, в котором основное внимание уделяется математическим принципам и практическим реализациям. Поскольку SOC батареи является важным параметром, который отражает производительность батареи, точная оценка SOC не только защищает батарею, предотвращает перезаряд или разрядку и увеличивает срок службы батареи, но также позволяет приложению принимать рациональные стратегии управления для достижения цели: беречь энергию.В данной статье дается обзор литературы по категориям и математическим методам оценки SOC. На основе оценки методов оценки SOC предлагается дальнейшее направление развития оценки SOC.

    1. Введение

    Рост цен на сырую нефть и мировая осведомленность об экологических проблемах привели к активному развитию систем хранения энергии. Батарея является одной из самых привлекательных систем хранения энергии из-за ее высокой эффективности и низкого уровня загрязнения окружающей среды [1].В настоящее время в промышленности используются несколько типов батарей: свинцово-кислотные, никель-металлгидридные, никель-кадмиевые и литий-ионные. Батарея имеет преимущества высокого рабочего напряжения ячейки, низкого уровня загрязнения, низкой скорости саморазряда и высокой плотности мощности. Аккумуляторы обычно используются в портативных коммунальных службах, гибридных электромобилях и в промышленности [2].

    Оценка SOC является фундаментальной проблемой при использовании батарей. SOC батареи, который используется для описания ее оставшейся емкости, является очень важным параметром для стратегии управления [3].Поскольку SOC является важным параметром, который отражает характеристики батареи, точная оценка SOC может не только защитить батарею, предотвратить переразряд и увеличить срок службы батареи, но также позволит приложению разработать рациональные стратегии управления для экономии энергии [4] , Однако батарея является источником химического хранения энергии, и к этой химической энергии нельзя получить прямой доступ. Эта проблема затрудняет оценку SOC батареи [5]. Точная оценка SOC остается очень сложной и трудной для реализации, потому что модели батарей ограничены и есть параметрические неопределенности [6].На практике встречается много примеров низкой точности и надежности оценки SOC [7].

    В этой статье представлен подробный обзор существующих математических методов, используемых при оценке SOC, и дополнительно определены возможные разработки в будущем.

    2. Определение и классификация оценки SOC

    SOC — один из наиболее важных параметров для батарей, но его определение связано с множеством различных проблем [5]. В общем, SOC батареи определяется как отношение ее текущей емкости () к номинальной емкости ().Номинальная емкость указывается производителем и представляет собой максимальное количество заряда, которое может храниться в аккумуляторе. SOC можно определить следующим образом:

    Различные математические методы оценки классифицируются в соответствии с методологией. Классификация этих методов оценки SOC различается в различных источниках. Однако в некоторых литературных источниках [5, 7] допускается разделение на следующие четыре категории: (i) Прямое измерение: этот метод использует физические свойства батареи, такие как напряжение и импеданс батареи.(ii) Бухгалтерская оценка: этот метод использует ток разряда в качестве входа и интегрирует ток разряда с течением времени для расчета SOC. (iii) Адаптивные системы: адаптивные системы проектируются самостоятельно и могут автоматически настраивать SOC для различных условий разгрузки. Были разработаны различные новые адаптивные системы для оценки SOC. (Iv) Гибридные методы: гибридные модели извлекают выгоду из преимуществ каждого метода оценки SOC и обеспечивают глобально оптимальную производительность оценки.Литература показывает, что гибридные методы обычно дают хорошую оценку SOC по сравнению с отдельными методами.

    В таблице 1 представлены конкретные методы оценки SOC с учетом методологии. Применение конкретных методов оценки SOC в системе управления батареями (BMS) соответственно различается.


    Категории Математические методы

    Прямое измерение (i) Метод напряжения холостого хода
    (ii) Метод напряжения на клеммах
    (iii) Метод импеданса
    (iv) Метод импедансной спектроскопии

    Бухгалтерская оценка (i) Метод кулоновского счета
    (ii) Модифицированный метод кулоновского счета

    Адаптивные системы (i) нейронная сеть BP
    (ii) нейронная сеть RBF
    (iii) машина опорных векторов
    (iv) Нечеткая нейронная сеть
    (v) Фильтр Калмана

    Гибридные методы (i) Комбинация кулоновского счета и ЭДС
    (ii) Комбинация кулоновского подсчета и фильтра Калмана
    (iii) Комбинация системы на единицу и EKF

    3.Обзор математических методов оценки SOC
    3.1. Прямое измерение

    Методы прямого измерения относятся к некоторым физическим свойствам батареи, таким как напряжение на клеммах и импеданс. Было использовано множество различных прямых методов: метод измерения напряжения холостого хода, метод измерения напряжения на клеммах, метод измерения импеданса и метод спектроскопии импеданса.

    3.1.1. Метод измерения напряжения холостого хода

    Существует приблизительно линейная зависимость между уровнем заряда свинцово-кислотной батареи и ее напряжением разомкнутой цепи (OCV), определяемая по формуле где — SOC батареи в, — напряжение на клеммах батареи, когда SOC = 0%, и получается из знания значения и при SOC = 100%.Согласно (2) оценка SOC эквивалентна оценке его OCV [8]. Метод OCV, основанный на OCV батарей, пропорционален SOC, когда они отключены от нагрузок на период более двух часов. Однако такое длительное время отключения может оказаться слишком большим, чтобы быть реализованным для батареи [9].

    В отличие от свинцово-кислотной батареи, литий-ионная батарея не имеет линейной зависимости между OCV и SOC [10]. Типичное соотношение литий-ионных аккумуляторов между SOC и OCV показано на рисунке 1 [11].Взаимосвязь OCV и SOC была определена путем приложения импульсной нагрузки к литий-ионной батарее, после чего батарея достигла равновесия [12].


    Отношения между OCV и SOC не могут быть одинаковыми для всех батарей. Поскольку обычные OCV-SOC различаются между батареями, существует проблема, заключающаяся в том, что для точной оценки SOC необходимо измерять соотношение OCV-SOC. Ли и др. [13] предложили модифицированное отношение OCV-SOC, основанное на обычном OCV-SOC.SOC и емкость литий-ионного аккумулятора оцениваются с помощью двойного расширенного фильтра Калмана по предложенному методу.

    3.1.2. Метод напряжения на клеммах

    Метод определения напряжения на клеммах основан на падении напряжения на клеммах из-за внутренних импедансов при разряде аккумулятора, поэтому электродвижущая сила (ЭДС) аккумулятора пропорциональна напряжению на клеммах. Поскольку ЭДС батареи приблизительно линейно пропорциональна SOC, напряжение на клеммах батареи также приблизительно линейно пропорционально SOC.Метод напряжения на клеммах использовался при различных токах и температурах разряда [14]. Но в конце разряда батареи оценочная погрешность метода измерения напряжения на клеммах велика, потому что напряжение на клеммах батареи внезапно падает в конце разряда [15].

    3.1.3. Метод импеданса

    Среди применявшихся методов измерения импеданса позволяют получить информацию о нескольких параметрах, величина которых может зависеть от состояния заряда батареи.Хотя параметры импеданса и их вариации в зависимости от SOC не уникальны для всех систем батарей, представляется необходимым провести широкий спектр экспериментов по импедансу для идентификации и использования параметров импеданса для оценки SOC данной батареи [16, 17] ,

    3.1.4. Метод импедансной спектроскопии

    Метод импедансной спектроскопии позволяет измерять импеданс батареи в широком диапазоне частот переменного тока при различных токах заряда и разряда. Значения импедансов модели находятся методом наименьших квадратов, аппроксимирующих измеренные значения импеданса.SOC может быть косвенно выведен путем измерения текущего импеданса батареи и сопоставления его с известным импедансом на различных уровнях SOC [18, 19].

    3.2. Бухгалтерская оценка

    Бухгалтерская оценка использует в качестве входных данных текущие данные о разряде батареи. Этот метод позволяет включить некоторые внутренние эффекты батареи, такие как саморазряд, потеря емкости и эффективность разряда. Были использованы два вида методов бухгалтерской оценки: метод кулоновского счета и модифицированный метод кулоновского счета.

    3.2.1. Метод кулоновского счета

    Метод кулоновского счета измеряет ток разряда батареи и интегрирует ток разряда с течением времени, чтобы оценить SOC [20]. Метод кулоновского подсчета используется для оценки, которая оценивается по току разряда, и ранее оцененным значениям SOC,. SOC рассчитывается по следующей формуле:

    Но есть несколько факторов, которые влияют на точность метода кулоновского счета, включая температуру, историю батареи, ток разряда и срок службы [20].

    3.2.2. Модифицированный метод подсчета кулонов

    Для улучшения

    .
    Разное

    Leave a Comment

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *